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出版者:Wiley-Interscience

作者:Marshall Hall

出品人:

页数:464

译者:

出版时间:1998-07-02

价格:USD 120.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780471315186

丛书系列:

图书标签:

• combinatorics
• 组合数学
• 离散数学
• 图论
• 排列组合
• 数学
• 算法
• 理论计算机科学
• 数学建模
• 优化
• 计数原理

《组合学探微：从计数到结构》 引言 组合学，作为数学的一个重要分支，以其独特的视角审视对象集合的排列、组合与构造，并从中挖掘规律与联系。它不仅是抽象数学的精深领域，更是连接理论与实践的桥梁，其思想与方法渗透于计算机科学、统计学、物理学、生物学乃至经济学等诸多学科。本书《组合学探微：从计数到结构》旨在深入浅出地引领读者走进组合学的奇妙世界，从最基础的计数原理出发，逐步攀升至更抽象、更具结构的理论，展现组合学的广阔图景及其在解决实际问题中的强大生命力。本书力求理论严谨，例证丰富，语言生动，让初学者能够顺利入门，让有一定基础的读者能够获得更深层次的理解和启发。 第一部分：组合学的基石——计数原理与基本对象 本部分将为读者打下坚实的组合学基础，重点介绍组合学中最核心的计数思想和最基本的组合对象。 第一章：计数的基本原则 加法原理与乘法原理： 这是组合学中最基础也最重要的两个计数工具。我们将通过大量的实例，如规划行程、分配任务等，来阐述如何运用这两个原理来解决各种计数问题。从简单的选择问题到复杂的路径计数，都离不开这两个基本原则的灵活运用。 容斥原理： 当集合的交集难以直接计算时，容斥原理便显现出其威力。我们将通过集合论的视角，结合图示和代数推导，讲解容斥原理的原理以及其在解决“至少”、“至多”等问题的应用。例如，计算不满足特定条件的排列，或是有重叠的集合的计数。 鸽巢原理： 这个看似简单的原理，却蕴含着深刻的逻辑。我们将从直观的“鸽子”与“巢”的比喻出发，逐步推广至一般情况，并展示其在证明某些性质存在性时的强大作用，如证明在特定条件下一定存在某个满足条件的元素。 第二章：排列与组合 排列： 讨论元素有序选取的所有可能方式。我们将区分可重复排列和不可重复排列，并引入全排列、部分排列的概念。例如，安排运动员比赛名次，或者字母的重新组合。 组合： 讨论元素无序选取的所有可能方式。同样，我们将区分可重复组合和不可重复组合。例如，从一群人中选出若干代表，或者从集合中选取子集。 组合数与二项式定理： 组合数（又称“n选k”）是组合学中的核心概念，其计算公式及其性质将得到详细介绍。在此基础上，我们将深入探讨二项式定理，展示 $(x+y)^n$ 的展开式中各项系数与组合数的关系，并介绍二项式定理的一些重要推论和应用。 第三章：生成函数初步 生成函数的概念与构造： 生成函数是一种强大的代数工具，可以将复杂的计数问题转化为多项式或幂级数的运算。我们将介绍普通生成函数的基本思想，以及如何根据问题的描述构造相应的生成函数。 利用生成函数解决计数问题： 学习如何通过对生成函数进行代数运算（如加法、乘法、求导、积分）来求解组合问题的答案。我们将通过例子，如整数分拆、斐波那契数列的生成函数等，来展示生成函数的便捷性。 第二部分：结构的探索——图论与组合设计 本部分将视角从简单的计数转向更具结构性的组合对象，深入探讨图论和组合设计这两个重要的领域。 第四章：图论基础 图的基本概念： 介绍图的定义、表示方法（邻接矩阵、邻接表），以及各种类型的图，如无向图、有向图、完全图、二分图等。 图的连通性与通路： 探讨图的连通分量、割顶、桥等概念，以及欧拉通路、哈密顿通路的存在性问题。我们将介绍相关的判定定理，如欧拉图的判定定理。 图的着色问题： 介绍图的顶点着色和边着色问题，引出图的色数概念。我们将讨论一些经典图着色问题的应用，如地图着色问题，并介绍一些基本的着色算法。 树： 作为一种特殊的连通无环图，树在组合学和计算机科学中扮演着至关重要的角色。我们将介绍树的基本性质，如生成树、最小生成树，以及它们在网络设计、数据结构等方面的应用。 第五章：组合设计初步 组合设计的概念与分类： 介绍组合设计的核心思想——在满足特定约束条件下，构造元素集合及其子集。我们将初步介绍区组设计（Block Designs）的概念，如平衡不完全区组设计（BIBD）。 有限域与组合设计： 探讨有限域在构造某些特殊组合设计中的作用，例如，利用有限域构造拉丁方、射影平面等。 组合设计的应用： 展示组合设计在编码理论、密码学、实验设计等领域的广泛应用，例如，如何利用组合设计构造纠错码，或者设计高效的统计实验。 第三部分：进阶理论与应用 本部分将进一步拓展组合学的视野，介绍更深入的理论，并探讨其在现代科学技术中的前沿应用。 第六章：偏序集与格论 偏序集与哈斯图： 介绍偏序集的概念，以及用哈斯图来直观表示偏序关系。 格： 讨论格的定义和性质，以及一些重要的格，如布尔格。我们将探讨格在逻辑、集合论等领域的联系。 米塔格-莱夫勒定理（Mittag-Leffler Theorem）简介： （此章节为展望，可根据内容深度调整）提及更高级的组合学理论，例如，在复分析中与级数展开相关的米塔格-莱夫勒定理，展示组合学在其他数学分支中的影响。 第七章：随机组合学简介 随机图模型： 介绍Erdos-Renyi随机图模型等，研究随机图中各种性质的概率，如连通性、存在孤立点等。 随机过程与组合学： 简要介绍随机游走等概念，以及它们在组合结构中的应用。 算法分析中的随机组合学： 探讨随机化算法的设计与分析，以及它们在解决复杂组合问题时的优势。 第八章：组合学在计算机科学中的应用 算法分析： 组合学的计数原理和生成函数是分析算法复杂度、渐近行为的重要工具。 数据结构： 树、图等组合结构是各种数据结构的基础。 计算几何： 组合学在计算几何问题中扮演着重要角色，例如，点集的凸包、直线段的相交等。 离散概率与随机算法： 结合随机组合学的思想，介绍随机算法的设计与分析。 第九章：组合学在其他领域的应用 物理学： 统计力学、量子场论中涉及大量的组合计算和图论模型。 生物学： DNA序列分析、蛋白质结构预测等领域也运用了组合学的思想。 经济学与运筹学： 资源分配、网络优化等问题常常需要组合优化的方法。 编码理论与密码学： 组合设计和有限域理论是现代编码与密码学的基础。 结语 《组合学探微：从计数到结构》力求为读者打开一扇通往组合学奇妙世界的大门。本书循序渐进，内容丰富，旨在激发读者对组合学的兴趣，培养其严谨的数学思维和解决问题的能力。无论您是初涉数学领域的学生，还是希望拓展研究视野的科研人员，本书都将是您探索组合学奥秘的忠实伴侣。组合学的世界广阔而深邃，等待着您去发现更多的精彩。

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这本《组合数学原理》简直是数学爱好者的福音，内容编排得极其精妙，从最基础的计数原理讲起，循序渐进地深入到更复杂的排列组合问题。我特别欣赏作者在讲解每一个定理和公式时，都会附带大量贴合实际生活的例子，这让抽象的数学概念变得生动易懂。比如，在讨论二项式定理时，作者没有仅仅停留在代数运算上，而是巧妙地将它与概率论中的伯努利试验联系起来，让读者不仅学会了“怎么算”，更理解了“为什么这么算”。书中的习题设计也非常到位，难度梯度设置合理，从基础巩固到挑战思维的难题一应俱全，尤其是一些开放性的探讨题，激发了我对组合结构更深层次的思考。读完这本书，感觉自己对离散世界的基本运行逻辑有了更清晰的认识，对算法设计和数据结构中的优化问题也找到了理论支撑。唯一的小遗憾是，某些高级主题如生成函数的高阶应用部分，如果能再多一些图示辅助理解，对初学者来说会更加友好一些。总而言之，这是一本兼具深度与广度，理论与实践并重的优秀教材。

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翻开《离散数学的魅力》这本书时，我原以为会是一本枯燥的教科书，没想到作者以一种近乎诗意的笔触，勾勒出了离散世界的美感。这本书的叙事风格非常独特，它不像传统教材那样直接给出定义和证明，而是像一位经验丰富的向导，带着读者在逻辑、集合和图论的森林中漫步。我尤其喜欢其中关于图论的章节，作者用非常生动的语言描述了欧拉路径和哈密顿回路的探索过程，仿佛在讲述一场古老的谜题解谜之旅。它不仅仅是数学知识的堆砌，更是一种思维方式的培养。书中关于关系和函数的探讨，清晰地展示了数学的抽象美学，让人在严谨的逻辑推导中感受到一种智力上的愉悦。这本书的排版和插图设计也值得称赞，简洁而不失雅致，很多复杂的概念图被处理得非常直观。虽然对于那些急于应试的学生来说，它可能显得有些“慢热”，但对于真心想领悟离散数学精髓的人来说，这本书提供了无与伦比的沉浸式体验。

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《算法的艺术与几何》这本书给我的感觉是“轻快”且“富有创意”。它避开了纯粹的理论证明，转而聚焦于如何将抽象的数学工具应用于实际的算法设计中。书中用大量的篇幅讲解了鸽巢原理在资源分配和调度问题中的妙用，那种“不动声色间解决大问题”的感觉，让人拍案叫绝。关于“构造性证明”的讲解尤其精彩，作者鼓励读者去“动手创造”数学结构，而不是仅仅“发现”它们。例如，在讲解图的着色问题时，它不仅给出了算法，还探讨了不同着色方案在实际网络优化中的性能差异，这种跨学科的视野非常开阔。这本书的语言风格轻松幽默，作者似乎总是在和读者进行一场智力游戏，而不是在教授课程。虽然在某些证明的细节上处理得比较简洁，可能需要读者自己脑补一些中间步骤，但它极大地激发了我对利用数学工具解决实际工程问题的热情。

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我最近在阅读这本《数论与代数结构概论》时，发现它在拓扑结构和代数群论方面的内容占了相当大的比重，这让我略感意外，因为它似乎更侧重于更宏观的数学框架构建而非纯粹的计数问题。这本书的特点在于它试图建立一个更统一的数学视角，将组合结构置于更广阔的代数背景下进行考察。书中关于对称群和置换理论的讲解非常深入，对于理解复杂系统的不变性至关重要。作者在处理“有限域”和“编码理论”的交汇点时，展示了令人惊叹的洞察力，清晰地揭示了看似不相关的数学领域是如何相互印证的。这本书对读者的数学背景要求较高，尤其是在线性代数和抽象代数方面有扎实基础的读者会受益良多。它的价值在于提供了一种看待数学问题的全新“上帝视角”，虽然阅读过程需要高度集中精神，但其带来的知识深度和思维拓展是无可替代的。

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我最近在研究算法复杂度时，感觉自己的基础知识有些薄弱，于是找到了这本《计算结构与逻辑基础》。坦白说，这本书的起点非常高，它似乎假定读者已经对初级代数有了一定的掌握。它的优势在于对形式逻辑和布尔代数部分的讲解极其透彻和严谨，几乎每一个推导步骤都给出了详尽的理由，这对于需要进行严格数学证明的读者来说是巨大的帮助。书中对递归思想的阐述，特别是通过数学归纳法来验证算法正确性的部分，展示了极高的学术水准。我花了好大力气才消化完关于集合论和数理证明的章节，但一旦攻克下来，感觉自己的逻辑思维能力得到了质的飞跃。这本书的难度系数不低，更像是一本面向研究生的参考书，对于想深入理解计算理论底层逻辑的读者，它是不可多得的宝藏。不过，对于初次接触这方面知识的读者，建议先搭配一本入门级的读物作为前置知识铺垫。

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