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出版者:Addison Wesley

作者:G Hadley

出品人:

页数:290

译者:

出版时间:1961-1-1

价格:USD 503.06

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201026559

丛书系列:

图书标签:

• 经济
• 数学
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• 线性代数
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• 解空间

《几何的光辉：探索向量空间与变换的奥秘》 本书将带领读者踏上一段引人入胜的旅程，深入探寻数学中最基本、最强大的语言之一——线性代数。我们并非仅仅停留在抽象的符号和公式，而是着眼于其背后所蕴含的深刻几何直觉与广阔应用前景。 核心概念的直观呈现： 本书的一大亮点在于，我们致力于将抽象的线性代数概念转化为生动具体的几何图像。读者将不再被枯燥的定义所困扰，而是通过对二维、三维乃至更高维空间的直观理解，来把握向量、线性组合、张成空间、线性无关等核心要素。我们将展示向量如何优雅地描绘方向和大小，线性组合如何构建出无限的可能性，而张成空间则如同一个由向量“编织”而成的画布，线性无关则保证了其“画布”的丰富性与独特性。 矩阵：连接几何与代数的桥梁： 矩阵，作为线性代数的核心工具，将被赋予鲜活的生命。我们不仅仅将其视为数字的集合，更将其看作是描述线性变换的强大语言。读者将亲眼见证矩阵如何作用于向量，从而实现旋转、缩放、剪切等一系列几何变换。本书将深入剖析矩阵的秩、零空间、列空间等概念，揭示其与线性方程组解的存在性、唯一性之间的紧密联系。通过对矩阵分解（如奇异值分解）的探讨，我们将展现其在数据压缩、图像处理等领域的强大能力。 线性方程组：现实世界的数学模型： 线性方程组是线性代数最直接的应用之一。本书将从实际问题出发，例如电路分析、经济模型、工程设计等，引出线性方程组的构建。我们将详细介绍高斯消元法、LU分解等求解线性方程组的经典算法，并深入分析其数值稳定性和计算效率。读者将学会如何通过分析系数矩阵的性质（如可逆性、正定性）来判断方程组解的性质，从而更深入地理解问题的本质。 向量空间与子空间：抽象的结构，无限的可能： 本书将逐步引导读者超越有限维度的束缚，进入抽象的向量空间。我们将探讨各种类型的向量空间，如多项式空间、函数空间等，并深入理解它们的代数结构。线性子空间的概念将被清晰地阐述，读者将理解子空间如何是更大向量空间中的“局部”结构，并学习如何判断一个集合是否构成一个子空间。基与维度的概念将帮助我们量化向量空间的“大小”和“复杂性”，为后续更高级的理论奠定基础。 特征值与特征向量：揭示变换的内在本质： 特征值和特征向量是理解线性变换内在性质的关键。本书将深入浅出地讲解如何计算特征值和特征向量，并揭示它们在描述变换的“不变方向”上的重要作用。我们将探讨特征值在系统稳定性分析、动力学系统研究等领域的广泛应用，以及它们如何帮助我们揭示复杂系统的行为模式。 正交性与投影：几何的简化与最优逼近： 正交性是线性代数中一个极其重要且充满几何美感的概念。本书将详细介绍正交向量、正交基、正交矩阵等概念，并展示如何利用施密特正交化方法构建正交基。投影的概念将被生动地呈现，我们将其视为在某个子空间上的“最优拟合”，并将其应用于最小二乘法等重要的数值计算方法。读者将理解，通过正交化和投影，我们可以极大地简化复杂问题，并找到最优的解决方案。 多线性代数初步：迈向更广阔的数学天地： 为了满足部分读者对更深层次理论的探索需求，本书的最后部分将初步介绍多线性代数中的一些基本概念，如张量。这部分内容将为读者打开一扇通往微分几何、张量分析等更高级数学分支的大门，展示线性代数作为整个数学体系基石的强大延展性。 本书特色： 强调几何直觉： 大量运用图形和可视化工具，帮助读者建立对抽象概念的直观理解。 理论与应用并重： 在讲解理论的同时，穿插大量的实际应用案例，展示线性代数的实用价值。 循序渐进的教学方法： 从基础概念入手，逐步深入，确保读者能够扎实掌握每一个知识点。 丰富的习题： 每章都配有精心设计的习题，帮助读者巩固所学，提升解题能力。 无论您是初次接触线性代数的学生，还是希望深化理解的专业人士，亦或是对数学之美充满好奇的探索者，《几何的光辉：探索向量空间与变换的奥秘》都将是您不可或缺的良师益友。它将点亮您对数学的认知，帮助您掌握解决复杂问题的强大工具。

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这本书的封面设计得相当引人注目，那种深邃的蓝色调和简洁的几何图形搭配，立刻让人联想到严谨与逻辑。我刚拿到手的时候，就被它厚实的质感和精美的装帧所吸引，这显然不是那种敷衍了事的教材。翻开扉页，作者的简介非常简短，但字里行间透露出一种对数学本质的深刻理解。我特别欣赏它在引入新概念时的那种铺垫，不像有些书上来就抛出一堆定义和定理，让人无所适从。它更像是请了一位经验丰富、循循善诱的导师，耐心地引导你进入一个全新的思维领域。比如，在讲解向量空间时，作者没有急于给出抽象的定义，而是先从实际的几何意义和物理模型入手，比如力的合成、坐标系的变换，让初学者能够迅速建立起直观的感受。随后的形式化过程，就变得水到渠成了。阅读体验非常流畅，插图清晰且恰到好处，它们绝不是简单的装饰，而是帮助理解复杂结构的有力工具。这本书的排版也做得非常出色，公式居中对齐，字体选择经典且易于辨认，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。总而言之，从物理触感到精神引导，这本读物在设计上体现出对读者的极大尊重。

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在整体的叙事结构上，这本书展现出一种罕见的平衡感和节奏感。它没有为了追求形式上的“普适性”而将内容泛化到失焦，也没有为了追求“严谨性”而变得过于碎片化。作者巧妙地将“几何直观”、“代数计算”和“应用实例”三条主线交织在一起，像编织一张网一样，让读者在学习过程中时刻能感受到理论之间的内在联系。例如，当讲解到子空间的正交投影时，作者会立刻回顾前面关于矩阵零空间和列空间的讨论，并用几何图形直观地展示这种关系是如何在更高维空间中保持一致性的。这种前后呼应的设计，极大地减轻了记忆负担，因为知识点之间不再是孤立的“孤岛”，而是构成了一个有机的整体。我尤其欣赏那些从不同角度重复阐述同一核心概念的段落，每一次的侧重点略有不同，总能在我以为自己理解透彻时，带来新的顿悟。这种“螺旋式上升”的教学法，让知识的积累变得扎实而牢固，而不是像沙堡一样，一冲就散。

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作为一个已经接触过其他教材的读者，我对比发现这本书在处理“矩阵分解”这一核心内容时，采取了一种非常现代且实用的视角。它没有将LU分解、QR分解、SVD（奇异值分解）等内容割裂开来，而是将它们统一在一个更宏大的优化和数据压缩的框架下进行讨论。作者非常清楚地知道，在当代的科学计算和数据科学领域，读者最需要掌握的是什么。例如，在讲解SVD时，它被清晰地定位为“最优低秩近似”的工具，而不是仅仅一个通过复杂特征值计算得来的副产品。书中关于数值稳定性和计算效率的讨论也比我以往读到的任何材料都要深入和具体，虽然没有直接给出大量的编程代码，但它通过对算法步骤的精炼描述，让你清晰地知道在实际操作中应该关注哪些核心问题。这本书真正做到了“面向未来”，它不仅传授了数学的基础知识，更传递了一种解决现代工程和科学问题的思维路径，让我感觉这本书的价值远超出一本单纯的数学教科书的范畴。

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这本书的练习题设计是其最让我称赞的亮点之一，它体现出对不同学习阶段读者的深刻关怀。你翻到每一章的末尾，会发现题目的难度是呈阶梯式上升的。一开始是基础的计算巩固，这些题目数量适中，能让你牢牢掌握刚学过的基本操作，确保基本功扎实。接着，你会遇到一些概念性的思考题，它们往往只用几句话就能表达出来，但需要你对前文的理论进行反刍和提炼。最精彩的，是那些穿插在章节中间的“应用探索”小节。这些部分通常不被认为是必考内容，但它们展现了线性代数如何渗透到诸如密码学、机器学习的梯度下降，甚至是网络排版算法中。它们不是标准的习题，更像是开放性的研究课题的引子。我发现自己经常被这些小小的挑战所吸引，花费额外的时间去查阅相关背景知识，这极大地拓展了我的学习边界。这本书成功地将“练习”从“负担”转化成了“发现新大陆的兴奋点”，这在学术著作中是极其难得的。

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坦白说，我过去对这方面的学习总是抱有一种敬而远之的态度，总觉得那些矩阵运算和行列式展开是枯燥乏味的机械劳动。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。作者似乎深谙“授人以渔”的道理，他不仅教会我们如何计算，更重要的是解释了“为什么”要这样计算，以及这些运算在更高维度空间中究竟代表了什么。我尤其喜欢其中关于特征值和特征向量的章节，那部分通常是学习的难点和分水岭。这本书没有采用传统的、堆砌公式的方式，而是通过一个非常精妙的例子——可能是关于系统稳定性分析或者图像压缩的基础原理——来展现特征分解的强大威力。它让你感觉到，你手中的每一步计算，都在揭示事物内在的结构和运动规律。书中对抽象代数概念的描述也保持了一种惊人的克制和精准，不多余的术语，不晦涩的哲学探讨，一切都聚焦于工具本身的应用价值。对于那些想真正掌握线性代数核心思想，而非仅仅应付考试的读者来说，这本书提供了无与伦比的深度和洞察力。读完之后，我感觉自己看待世界的方式都发生了一些微妙的、积极的转变。

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