中师几何第一册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:人民教育出版社

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页数:0

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出版时间:1998-05-01

价格:5.4

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isbn号码:9787107081163

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《现代空间解析几何：从向量到微分流形》 前言 本书旨在为读者提供一套扎实、系统且深入的现代空间解析几何理论框架。我们深知，几何学是数学的基石，而解析几何则是连接代数、分析与几何的桥梁。本书的视角超越了传统欧氏几何的范畴，聚焦于在更高维度、更抽象的代数结构下，如何精确描述和分析空间中的对象及其相互关系。我们的目标是使读者能够熟练运用向量空间、内积空间、线性变换、二次型等工具，为后续的微分几何、拓扑学乃至理论物理学的学习打下坚实的数学基础。 第一章 基础代数结构与向量空间 本章是全书的逻辑起点，我们将重新审视并深化对向量空间的理解。我们从集合、运算和公理的抽象定义出发，构建起线性代数的基石。 1.1 域的性质与标量运算： 详细阐述实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构，着重讨论域的完备性（特别是 $mathbb{R}$ 的构造及其对几何直观的支撑）。 1.2 线性组合、生成子集与线性无关性： 严格定义线性相关与线性无关，证明线性无关集的极大性与线性相关集的极小性之间的内在联系。引入“基”（Basis）的概念，并证明任何有限维向量空间都存在基，且基的维度（Cardinality）是唯一的，从而确立了“维数”这一核心量度。 1.3 子空间、商空间与同构： 系统讨论向量子空间的交、和与直和。重点讲解商空间（Quotient Space）的构造，即如何通过等价关系构建新的向量空间，这是理解截面空间和规范场论中纤维丛结构的基础。通过构造同构定理（Isomorphism Theorems），展示不同结构在本质上的等价性。 1.4 线性映射与矩阵表示： 深入探讨线性映射的核（Kernel）与像（Image），再次运用秩-零化度定理。重点讨论基选择对矩阵表示的影响，理解矩阵变换的本质是基变换，而非线性映射本身的变化。 第二章 内积空间与正交几何 本章将为无序的向量空间结构赋予“长度”和“角度”的度量，这是解析几何的核心任务。 2.1 双线性形式与内积的定义： 从双线性函数出发，严格定义实内积和复内积。讨论内积的性质，如对称性、共轭对称性以及正定性。 2.2 范数、距离与角度： 利用内积诱导出范数 $|v| = sqrt{langle v, v angle}$，并证明柯西-施瓦茨不等式。引入角度的余弦定义，将代数运算与几何直观完美结合。 2.3 正交基与施密特（Gram-Schmidt）正交化过程： 详细推导和分析格拉姆-施密特正交化算法，证明任何有限维内积空间都存在一组正交基。讨论正交补（Orthogonal Complement）的概念及其性质。 2.4 自伴算子与谱定理： 引入伴随算子（Adjoint Operator）的概念，并着重研究自伴算子（Self-Adjoint Operators）。详尽阐述实对称矩阵和厄米特矩阵的对角化——谱定理，证明其特征值必为实数，特征向量构成一组完备的正交基。 第三章 二次型、二次曲面与欧几里得空间 本章将解析几何的工具应用于描述空间中的几何对象，特别是二次方程所定义的曲线和曲面。 3.1 二次型与对称矩阵： 定义二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是对称矩阵。讨论二次型的秩、惯性定律（Sylvester's Law of Inertia）。 3.2 主轴定理与二次曲面的分类： 利用谱定理，证明任何二次型都可以通过正交变换（旋转）对角化，即将二次型转化为标准形 $sum lambda_i y_i^2$。基于此，系统分类二维的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）和三维的二次曲面（椭球面、双曲面、抛物面等）。 3.3 欧几里得空间 $mathbb{E}^n$ 的构造： 将 $mathbb{R}^n$ 配备标准的内积结构，定义欧几里得空间。讨论刚体运动（欧几里得变换），包括平移和正交变换（旋转）。 第四章 张量代数基础 为了更有效地处理高维几何和物理中的坐标无关性，本章引入张量的概念。 4.1 多线性函数与张量的定义： 从双线性函数推广到 $k$ 阶多线性函数。定义张量空间 $V^{otimes k}$。 4.2 上下标指标与爱因斯坦求和约定： 介绍上下标表示法，区分协变张量（下指标）和反变张量（上指标）。严格区分向量（反变张量）和线性函数（协变张量）。 4.3 度量张量与指标提升/下降： 引入度量张量 $g_{ij}$ 作为将协变分量转换为反变分量的工具。详细演示如何使用度量张量和其逆 $g^{ij}$ 进行指标的升降操作，从而建立协变与反变分量之间的联系。 4.4 张量积与缩并运算： 讨论两个张量的张量积运算，以及张量的缩并（Contraction）如何降低张量的阶数，这是微分几何中连接切空间和余切空间的关键操作。 第五章 仿射空间与射影空间 解析几何不应仅仅局限于向量空间，本章将几何概念提升到更一般的仿射和射影框架。 5.1 仿射空间的概念： 定义仿射空间 $A$ 作为一个集合，它拥有一个关联的向量空间 $V$（称为方向空间）。区别于向量空间，仿射空间中不存在“零点”。讨论仿射子空间（平行线、平面等）。 5.2 仿射变换： 定义仿射变换，即保持点之间相对位置（如中点、平行性）的变换，形式为 $x' = L(x) + t$，其中 $L in GL(V)$ 且 $t in V$。 5.3 射影空间的构造： 从向量空间 $V$ 出发，通过定义“线”作为通过原点的 1 维子空间，构造射影空间 $mathbb{P}(V)$。 5.4 射影坐标与对偶性： 介绍射影坐标的表示。讨论射影空间中的“点”与“超平面”之间的对偶关系，这是射影几何中对偶原理的几何体现。 结语 本书的结构遵循了从具体到抽象、从度量到结构的递进路线。通过对向量空间、内积、二次型和张量的深入剖析，读者将获得处理高维几何问题的必要工具箱。这些知识不仅是纯粹数学研究的基石，也是理解广义相对论中的弯曲时空、流体力学中的张量分析以及计算机图形学中变换理论的先决条件。我们希望读者能将此书视为一个坚实的起点，迈向更广阔的微分几何和拓扑学世界。

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我对老式教材有一种莫名的情结，总觉得里面藏着一股不褪色的智慧。《中师几何第一册》就是我最近挖掘出的这样一本。它不像现在的书那样花里胡哨，封面就非常朴素，但就是这种朴素，反而让人觉得它是一本“硬核”的教材。我最欣赏的是它讲解问题的方式，特别讲究“追根溯源”。比如，当介绍某个几何定理的时候，它不会立刻丢给你一个结论，而是会先回顾相关的基础知识，然后一步步地推导，让你看到这个定理是如何“诞生”的。这种严谨的推导过程，对于建立牢固的数学逻辑至关重要。我记得其中有一部分是关于“平行线与截线”的，书里画了好几种不同角度的截线，然后让你去数一数，哪些角是同位角，哪些角是内错角，哪些角是同旁内角。通过这种动手操作，再去讲解它们之间的关系，比直接定义要生动形象多了。而且，这本书的语言风格也特别“实在”，没有太多华丽的辞藻，就是简练、准确地告诉你知识点。我感觉，就像是在和一位经验丰富的老师对话，他不会说太多没用的废话，而是直奔主题，把最核心的东西讲给你听。这对于想要扎实学习几何的人来说，绝对是一笔宝贵的财富。

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最近迷上了一些老版本的教材，偶然间翻到了这本《中师几何第一册》，光看名字就觉得充满了怀旧感，也隐隐期待着那些可能已经消失在时代洪流中的教学智慧。我一直觉得，经典之所以为经典，一定有其独特之处，或许是那种朴实无华却直击本质的讲解方式，又或者是那些看似古老却依然闪耀着数学光芒的思想。这本书的封面设计就很有那个年代的特色，简洁明了，没有花哨的插图，仿佛在默默地告诉读者：“我要讲的是纯粹的数学”。我仔细翻阅了一下，发现这本书的编排逻辑非常清晰，每一章都围绕着一个核心概念展开，层层递进，循序渐进。就拿圆的部分来说，它并没有一开始就抛出复杂的定理和公式，而是从最基础的圆的定义、性质入手，通过一个个精心设计的图形和问题，引导读者自己去发现圆的规律。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学理念，在现代教材中已经越来越少见了，不禁让人眼前一亮。我特别喜欢书中那些辅助图形的绘制方式，线条清晰，比例协调，虽然是黑白的，却能让人在脑海中勾勒出立体的几何空间。总而言之，这本《中师几何第一册》给我带来了一种回归数学本质的感受，仿佛置身于一个安静的角落，与几何图形进行着最纯粹的对话。

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最近一股“复古风”刮到了我的书架上，我开始搜罗一些老版本的教材，这次《中师几何第一册》就是其中的佼佼者。拿到这本书，我立刻被它散发出的那种沉静而专注的气质吸引了。就我个人而言，我更倾向于那些不那么“快餐化”的学习资料，而这本教材恰恰符合我的口味。它对基础概念的阐释非常到位，并且强调了知识之间的内在联系。例如，在讲解“多边形”这一章节时，它会先回顾三角形和四边形的性质，然后自然地引出更一般的多边形，并逐步介绍外角和内角的关系。这种“温故知新”的学习方式，能够帮助读者建立起一个更完整的知识体系。我特别欣赏书中对一些定理的证明过程的呈现，逻辑严谨，步步为营，没有跳跃式思维，让读者能够清晰地理解每一个推导的依据。而且，这本书的语言风格非常朴实，没有丝毫的浮夸，就是用最直接、最清晰的方式传递知识。这对于那些希望深入理解几何原理，而不是仅仅满足于死记硬背的学生来说，绝对是一本不可多得的好书。它就像一位循循善诱的老者，耐心地引导你一步步走进几何的奥秘。

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我最近真的沉迷于一些已经绝版的旧书，感觉像是淘到宝藏一样！这次拿到的是一本叫做《中师几何第一册》的书，看到这个名字，我脑海里立刻浮现出那种年代特有的书香气息，那种质朴又带着点仪式感的学习氛围。我一直觉得，很多老教材的优点是现在的书无法比拟的，它们往往更注重基础的打磨，讲解的思路也更加透彻。这本书给我的第一印象就是它的排版非常舒服，字体大小适中，行距也恰到好处，读起来一点也不会觉得累。翻开书页，里面没有任何多余的装饰，就是满满的数学内容。我尤其注意到，它在讲解几何概念的时候，非常强调图形的直观性和逻辑性。举个例子，比如在讲到“三角形全等的条件”时，它不是直接给出SAS、ASA这样的缩写，而是通过画出各种三角形，然后一步步引导你去比较边和角的关系，让你自己去体会为什么满足这样的条件，两个三角形就一定会全等。这种探索式的学习过程，真的比直接背诵公式要有趣得多，也更容易理解。书中的例题和练习题设计得也非常巧妙，不会过于刁钻，但又能有效地检验你对概念的掌握程度。我感觉，学习几何，尤其是初学阶段，就是要这样一点点啃，把基础打牢，这样往后学习才会如鱼得水。这本书，真的做到了这一点。

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说实话，我最近沉迷于各种老教材，这次《中师几何第一册》更是让我眼前一亮。感觉就像是回到了那个年代，学习氛围特别纯粹。我一直认为，几何的学习，最关键的还是在于对图形的理解和对逻辑的把握，而这本书在这方面做得非常出色。它不是那种一口气给你灌输一大堆概念的书，而是非常有耐心地，从最基本的点、线、面讲起，然后逐步引入角度、直线、相交线、平行线等等。我印象特别深刻的是，它讲解“垂线”概念的时候，用了大量的插图，从不同的角度展示了垂直的意义，并且强调了“垂线段最短”这个重要的性质。这种图文并茂的方式，对于初学者来说，无疑是极大的帮助。而且，这本书的练习题设计得也非常有梯度，从最简单的辨认图形，到需要运用定理进行简单推理的题目，循序渐进，不会让学生产生畏难情绪。我感觉，学习几何，尤其是基础几何，最怕的就是概念不清、逻辑混乱，而这本书正是通过一种非常“接地气”的方式，帮助你理清这些脉络。它没有炫技，没有花哨的排版，只有扎扎实实的数学内容。

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