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出版者:科学出版社

作者:陈恕行

出品人:

页数:205

译者:

出版时间:1990-02-01

价格:13.5

装帧:平装

isbn号码:9787030015013

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

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《仿微分算子引论》—— 探索数学新前沿 数学的浩瀚星空中，总有璀璨的新星冉冉升起，照亮前行的道路。仿微分算子，正是这样一颗冉冉升起的新星，它以其独特的视角和强大的工具，正在深刻地改变着我们理解和解决数学问题的范式。本书《仿微分算子引论》正是为有志于探索这一前沿领域的读者精心打造的一份入门指南，它将带领您系统地、深入地了解仿微分算子的基本概念、核心理论、重要性质以及在各个分支中的应用。 什么是仿微分算子？ 传统上的微分算子，如拉普拉斯算子、狄拉克算子等，是我们研究偏微分方程、量子力学、几何分析等领域不可或缺的工具。它们直接作用于函数，并利用函数的导数来描述其局部变化。然而，在许多复杂系统中，我们遇到的算子往往不像传统微分算子那样“光滑”或“局部”，它们可能具有“跳跃性”、“非局部性”，甚至是在分形结构上定义的。这时，传统的微分算子理论就显得捉襟见肘。 仿微分算子应运而生，它泛化了经典微分算子的概念，能够更灵活地描述和处理那些具有非经典性质的算子。其核心思想在于，通过引入“仿”（pseudo）的概念，将算子与一种更广阔的函数空间或更一般的分析框架联系起来。这使得我们能够将曾经难以企及的数学对象纳入到统一的理论框架之下，并借助于已经发展成熟的分析工具来研究它们。 本书将为您揭示仿微分算子世界的奥秘 《仿微分算子引论》并非仅仅停留在概念的介绍，而是力求为读者构建一个扎实而全面的理论基础。本书的编排结构严谨，内容循序渐进，旨在让初学者能够逐步掌握仿微分算子的精髓。 第一部分：基础概念与构造 在本书的开篇，我们将首先回顾与仿微分算子密切相关的数学基础，包括函数空间（如Sobolev空间、Besov空间等）、傅里叶分析以及一些基本的算子理论。这些是理解仿微分算子不可或缺的铺垫。 接着，我们将正式引入仿微分算子的概念。我们将从最简单的仿微分算子（如傅里叶乘法算子）出发，逐步介绍其构造方法和基本性质。其中，我们将重点阐述“仿”字所代表的数学意义，例如，通过对算子在傅里叶空间中的行为进行描述，来定义更一般的算子。我们将学习如何利用“符号”（symbol）这一核心工具来刻画仿微分算子，并理解符号的性质如何决定算子的行为。 第二部分：核心理论与性质 随着基础概念的建立，本书将深入探讨仿微分算子的核心理论。我们将研究仿微分算子的范畴，包括它们的有界性、紧性、Fredholm性质等。这些性质是理解算子行为的关键，也是我们在应用中判断解的存在性、唯一性和稳定性等问题的基础。 我们还将详细讨论仿微分算子的谱理论。谱是算子在复平面上的特征值集合，它蕴含着算子最重要的信息，例如，它能够告诉我们方程的解是否稳定，以及系统的振动模式等。理解仿微分算子的谱结构，对于分析相关的微分方程以及其他数学模型至关重要。 此外，本书还将涉及仿微分算子在不同函数空间上的行为，以及它们与偏微分方程解的正则性之间的联系。我们将学习如何利用仿微分算子的性质来估计偏微分方程解的光滑性，这在许多应用领域都是一个核心问题。 第三部分：重要分支与应用 仿微分算子并非孤立的数学理论，它与数学的许多分支有着深刻的联系，并催生了许多新的研究方向。本书的第三部分将重点介绍仿微分算子在不同数学领域中的重要分支和典型应用。 多项式算子代数（Pseudodifferential Operator Algebras）： 我们将介绍由仿微分算子构成的代数结构，以及这些代数的性质。这有助于我们更系统地研究仿微分算子类。 局部化算子（Localization Operators）和多尺度分析（Multiscale Analysis）： 仿微分算子在多尺度分析中扮演着重要角色，能够捕捉函数在不同尺度下的局部信息。我们将探讨其在小波分析、信号处理等领域的应用。 分形分析（Fractal Analysis）和分形上的算子： 传统的分析工具在分形集上常常失效。仿微分算子为研究分形结构上的分析问题提供了新的途径，例如，在分形网络上的扩散过程、分形边界上的势流等。 几何分析（Geometric Analysis）： 仿微分算子在黎曼流形、辛流形等几何空间上有着广泛的应用。例如，研究流形上的微分方程、曲率的估计、拓扑不变量的计算等。 量子力学与量子信息（Quantum Mechanics and Quantum Information）： 仿微分算子在量子力学中扮演着核心角色，例如，薛定谔方程中的动能项就可以看作是一种仿微分算子。在量子信息理论中，仿微分算子也用于描述量子系统的演化和量子纠缠的性质。 概率论与随机过程（Probability Theory and Stochastic Processes）： 许多随机过程（如布朗运动）都可以用仿微分算子来描述。本书将探讨仿微分算子在分析随机方程、研究粒子扩散、金融建模等方面的应用。 信号处理与图像分析（Signal Processing and Image Analysis）： 仿微分算子的非局部性和多尺度特性使其在信号去噪、边缘检测、图像复原等问题中展现出强大的能力。 谁适合阅读本书？ 《仿微分算子引论》适合以下读者： 数学专业的研究生和高年级本科生： 尤其是对偏微分方程、泛函分析、几何分析、调和分析等领域感兴趣的学生。 相关领域的科研人员： 希望将仿微分算子的工具引入到自己的研究中，或者希望了解该领域的最新进展。 对数学前沿有浓厚兴趣的读者： 具备一定的数学基础，并渴望探索新的数学思想和工具。 学习本书将为您带来什么？ 通过阅读本书，您将： 建立坚实的理论基础： 深刻理解仿微分算子的定义、构造和基本性质。 掌握重要的分析工具： 熟悉如何利用符号、函数空间、谱理论等工具来分析仿微分算子。 拓宽研究视野： 了解仿微分算子在数学各个分支中的广泛应用，并激发新的研究灵感。 提升解决问题的能力： 掌握利用仿微分算子来分析和解决复杂数学问题的能力。 走在数学前沿： 掌握当前数学研究中最具活力和发展潜力的方向之一。 《仿微分算子引论》是一扇通往数学新世界的窗口。它不仅仅是一本教材，更是一次思想的启迪，一次智慧的探索。我们相信，本书将成为您在仿微分算子研究道路上不可或缺的伙伴，引导您在这个充满挑战与机遇的领域中，发现更多精彩。

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我是在一个应用数学的暑期学校报告中听闻这本书的，当时报告人引用了其中关于‘弱解的正则性’的某个推论。我对这个领域的研究兴趣颇浓，但苦于找不到一本能将理论基础与前沿问题平滑过渡的教材。这本书恰好填补了这一空白。它并没有止步于传统的柯西问题，而是非常前瞻性地探讨了具有奇异性或退化特性的微分方程组的解的性质。特别是关于非光滑数据的处理部分，它引用的工具和技巧明显比我手头上其他经典的分析书籍要新颖和强大。阅读这部分内容时，我感觉自己仿佛站在了学科的最前沿，那些抽象的数学结构似乎都和现实世界中那些‘不完美’的物理现象紧密地连接起来了。这本书的价值在于，它不仅教会你‘如何’证明定理，更重要的是阐明了‘为什么’需要这些特定的理论工具来解决那些传统方法束手无策的难题，极大地拓宽了我的研究视野。

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这本书的封面设计就给我一种非常专业且严谨的感觉，深蓝色的底色配上银色的字体，立刻让人联想到高等数学和物理学的深奥领域。我是在准备一个关于非线性偏微分方程的研讨会时偶然发现它的，起初只是抱着试试看的心态翻阅，但很快就被其内容的深度和广度所吸引。作者在开篇部分花了大量篇幅构建了关于算子理论的坚实基础，这对于我这样理论背景相对薄弱的读者来说，起到了至关重要的铺垫作用。特别是对泛函分析中一些核心概念的阐述，清晰得令人赞叹，仿佛有一位经验丰富的导师在你身边，循循善诱地讲解每一个复杂的定义和定理。我特别欣赏它在引入新的数学工具时，总是会立刻关联到它们在实际物理模型，比如流体力学或电磁学中的潜在应用。虽然目前我还没能完全消化其中所有的细节，但那种‘拨开云雾见月明’的学术成就感，是近期阅读其他教材所未曾体验到的。这本书无疑为深入研究微分方程的现代方法提供了一把精妙的钥匙，其对细节的关注程度，绝对值得数学和工程领域的同仁们花费时间细细品味。

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与其他偏向纯数学证明导向的著作相比，我发现这本书在历史背景和动机的阐述上做得尤为出色。每当引入一个全新的算子或空间结构时，作者都会花笔墨介绍这个概念最初是为了解决哪个具体的物理或几何问题而诞生的，以及它是如何从早期不完备的模型中一步步演化而来的。这种叙事性的处理方式，让枯燥的数学演进过程变得生动有趣，极大地增强了读者的学习代入感。我不再感觉自己只是在机械地学习一套符号和规则，而是在参与一场跨越数百年的数学思想的探索之旅。这种对知识‘来龙去脉’的尊重和展现，对于培养一个真正的研究者至关重要。它让读者明白，数学工具并非空中楼阁，而是人类智慧解决具体问题的结晶。这本书，无疑是一部将严谨性、前沿性和人文关怀完美融合的上乘之作。

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拿到这本厚重的著作，我的第一印象是它简直就是一本为研究生量身定做的工具书。里面的习题设计简直是鬼斧神工，它们不仅仅是简单的计算练习，更多的是对核心概念的深度挖掘和灵活运用。我记得有一组关于索博列夫空间嵌入定理的练习，涉及到对边界条件处理的细微差别，稍微一个不注意就会掉进陷阱里。作者没有给出详细的解答，而是提供了极为详尽的提示和相关引用的文献，这种“引导式学习”的风格非常高明，它迫使读者必须主动地去查阅资料、构建自己的解题思路，而不是被动地接收现成的答案。这种对读者主动思考能力的激发，是很多市面上教材所缺乏的。在阅读过程中，我常常需要借助其他的参考书来辅助理解某些跳转极快的论证步骤，但这反而让我对整个知识体系的连接有了更宏观的认识。可以说，这本书更像是一位严厉但充满智慧的导师，它不轻易给你答案，但永远指引你正确的方向。

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这本书的排版和符号系统达到了教科书的典范水准。在处理涉及高维空间和复杂边界条件的积分方程时，数学符号的准确性和一致性是保证阅读流畅度的关键。我过去经常为不同章节中同一个概念却使用不同符号而感到困惑，但在这本书里，作者对符号的定义和使用具有惊人的一致性，这极大地降低了阅读过程中的认知负担。例如，当涉及到函数空间的范数定义时，无论是$L^p$空间还是Hadamard 连续性，符号的选取都非常具有直觉性，即便对于初次接触这些高级概念的读者也能较快地建立起心理模型。尤其值得称赞的是，它在推导过程中大量的图示和注释，虽然文字不多，但那些精妙的图形有效地帮助我视觉化了抽象的几何结构和函数的局部行为。这种对‘视觉辅助’的重视，体现了作者深厚的教学经验，使得原本冰冷晦涩的理论拥有了一丝温度和可触感。

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