微积分题解（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华中科技大学出版社

作者:周泰文等编

出品人:

页数:484

译者:

出版时间:2001年01月

价格:18.0

装帧:平装

isbn号码:9787560924175

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
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• 基础知识
• 习题集

《高等代数精要与习题解析》 第一部分：内容概述 本书旨在为高等代数初学者提供一套全面、深入且兼具实践性的学习资源。全书共分十五章，涵盖了线性代数和抽象代数的基础核心概念，侧重于概念的清晰阐述、定理的严格证明以及大量典型例题的透彻解析。我们摒弃了冗长空泛的理论堆砌，力求以最精炼的语言，勾勒出高等代数知识体系的骨架与血肉。 第一章：集合与映射 本章作为预备知识，对后续内容至关重要。我们首先回顾并强化集合论的基本概念，包括集合的运算、笛卡尔积等。重点在于阐述集合间的各种映射关系——单射、满射、双射的精确定义及其相互联系。通过大量的实例，帮助读者建立对“关系”这一数学核心思想的初步认识。特别地，我们引入了等价关系和划分的概念，为后续群论的结构分析奠定基础。 第二章：数域与多项式 本章是代数运算的基石。我们详细讨论了有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$、复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构特征。核心内容在于多项式的代数性质。我们深入探讨了多项式的加法、乘法、除法（带余除法）的运算规则，并用严格的代数方法证明了域上的多项式环具有唯一因子分解的性质。拉格朗日插值公式的推导及其在数值分析中的初步应用被单独列为重点解析。关于多项式的根，我们不仅讨论了代数基本定理，还详细分析了有理根与无理根的存在性判断，以及如何通过配方法和三次、四次方程的求根公式来理解特定方程的求解过程。 第三章：矩阵的基本概念与运算 矩阵是线性代数的语言。本章从矩阵的定义出发，系统介绍了矩阵的加法、数乘、乘法等基本运算，并着重分析了矩阵乘法的非交换性及其带来的结构性影响。对称矩阵、正交矩阵、初等矩阵等特殊矩阵的性质被详尽剖析。本章的难点在于矩阵乘积的几何意义，我们通过二维和三维空间中的旋转、伸缩变换实例，直观展示矩阵作为线性映射的本质。 第四章：行列式 行列式是判断线性系统解的唯一性的关键工具。我们从二阶、三阶行列式的定义入手，归纳出 $n$ 阶行列式的定义（基于置换的定义）。重点在于推导行列式的基本性质，例如行（列）互换、倍加性质等。拉普拉斯展开定理是本章的理论核心，我们提供了详尽的归纳证明步骤。最后，我们应用行列式来求解线性方程组（克拉默法则），并引入了伴随矩阵的概念，展示了矩阵求逆过程的代数实现。 第五章：线性方程组 本章聚焦于线性方程组的求解问题，这是高等代数应用最广泛的部分。我们首先引入向量空间的初步概念，随后深入讲解高斯消元法（行变换）的完整流程，并证明了该方法是求解任意线性方程组的通用算法。针对线性方程组的解的存在性与唯一性，我们结合秩的概念进行了深入探讨，给出了充要条件。对于齐次线性方程组，本章详细分析了其解空间的结构，即零空间。 第六章：向量空间 向量空间是抽象代数的第一个重要结构。本章严格定义了域上的向量空间，并明确了其满足的八条公理。我们通过实例验证了多项式空间、函数空间、矩阵空间等是否构成向量空间。线性相关性、基与维数的概念是本章的重中之重，我们提供了线性相关性判定的矩阵方法，并严格证明了任何向量空间的基都是有限且等价的。维度是向量空间内在“大小”的度量，具有不可变性，我们对此进行了深入论证。 第七章：线性变换 线性变换是连接不同向量空间的重要桥梁。本章从线性映射的定义出发，证明了线性变换的叠加性质。关键在于理解矩阵如何表示线性变换，即“坐标系下的表示矩阵”。我们详细分析了变换的核（Kernel）和像（Image），以及维度定理（秩-零化度定理）的深刻内涵。本章还讨论了线性变换的复合、逆变换的矩阵表示，并探讨了基变换对表示矩阵的影响。 第八章：二次型与欧几里得空间 本章将代数与几何紧密结合。我们定义了二次型，并将其矩阵化。核心内容是合同变换，即将二次型化为规范形。雅可比定理和施里德定理被用来证明二次型的标准形是唯一的（仅差在符号上）。在欧几里得空间（实内积空间）部分，我们引入内积的概念，定义了向量的长度和夹角。格拉姆-施密特正交化过程被详细拆解，并展示了如何利用正交基来简化二次型的表示。 第二部分：抽象代数基础 第九章：特征值与特征向量 本章是关于线性变换内在属性的研究。特征值的定义及其求法（通过特征多项式 $det(A - lambda E) = 0$）是基础。我们详细讨论了特征值的代数重数与几何重数的概念和关系。本章的难点在于对角化问题，我们给出了一个 $n$ 维空间中的线性变换可对角化的充要条件（存在一组基由特征向量构成）。对于不可对角化的情况，我们简要引入了 Jordan 标准形的意义，但主要精力放在了可对角化情形的计算上。 第十章：环的基本概念 从向量空间过渡到更一般的代数结构——环。本章首先定义了环的代数结构，并区分了交换环、单位环等。我们重点考察了整环的性质，特别是域是整环的特例。理想的概念被引入，作为环中“特殊子集”的推广。我们详细讨论了主理想、极大理想和素理想，并证明了它们之间的层次关系。同态与同构的概念被首次引入，用于比较不同环的结构相似性。 第十一章：域 域是满足加法和乘法运算的特殊环。本章从有理数域、实数域出发，着重研究有限域（特征 p）和代数扩域。多项式在域上的性质，特别是不可约多项式的定义，是理解域扩张的关键。本章的难点在于伽罗瓦理论的初步探讨，我们通过构建扩域来证明某些方程的可解性或不可解性，尽管深入的伽罗瓦理论需要更高阶的知识，但本章提供了必要的代数工具。 第十二章：群的基本概念 群论是现代代数的核心。我们用严格的语言定义了群、子群、陪集。拉格朗日定理（有限群的子群阶整除群的阶）是本章的理论支柱，我们提供了详尽的构造性证明。正规子群、商群的构造是理解群结构分解的关键。我们通过实例分析了循环群、二面体群 $D_n$ 和对称群 $S_n$ 的结构。 第十三章：群的同态与同构 本章利用同态的概念来揭示群的内部联系。群同态的核与像的性质被详细阐述，并证明了规范子群是同态像的唯一原像。第一同构定理（商群与同态像的同构关系）是本章的总结，它为复杂群的分解提供了强大的理论依据。 第十四章：矩阵群与线性群 本章将抽象的群论概念应用于具体的矩阵结构。我们重点考察了可逆矩阵构成的乘法群 $GL_n(F)$，以及它的重要子群，如特殊线性群 $SL_n(F)$ 和正交群 $O(n)$。通过研究这些矩阵群的性质，读者可以更深刻地理解线性代数中变换的内在对称性结构。 第十五章：环上的模 模是向量空间在环上的推广。本章将环作为系数域，定义模的运算。虽然模的理论比向量空间复杂得多（例如，模不一定有基），但本章通过类比向量空间的知识，帮助读者理解其基本结构，并简要提及了射影模、内射模等更高级的概念作为展望。 学习特色与习题设计： 本书的每一章节后都附有精心设计的习题，分为基础巩固、定理证明、计算与应用三类。基础巩固题旨在检验基本概念的掌握程度；定理证明题要求读者重构关键理论论证过程；计算与应用题则侧重于将理论应用于实际代数问题，特别是涉及到矩阵运算、线性方程组求解和特征值计算的复杂案例。全书后附有详细的解题步骤与思路解析，确保读者能够独立攻克难关。本书的编写风格严谨而不失灵动，致力于将高等代数从一门“计算的学科”提升为“思维的学科”。

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