线性代数习题课教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:华中科技大学出版社

作者:林升旭

出品人:

页数:343

译者:

出版时间:2002-3

价格:12.8

装帧:平装

isbn号码:9787560926575

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 线性代数
• 习题课
• 教程
• 高等数学
• 大学教材
• 数学辅导
• 解题技巧
• 考研
• 工程数学
• 矩阵
• 向量

几何拓扑基础：从欧几里得空间到流形理论 作者： [此处可填写作者名，例如：张伟、李明] 出版社： [此处可填写出版社名，例如：高等教育出版社] ISBN： [此处可填写ISBN号] 开本与装帧： [例如：16开，平装/精装] 定价： [例如：88.00元] --- 内容简介 《几何拓扑基础：从欧几里得空间到流形理论》是一部全面而深入的教材，旨在为读者构建一个坚实的几何学和拓扑学知识体系。本书聚焦于现代几何学和拓扑学的核心概念、基本工具以及重要的理论结构，尤其强调几何直觉的培养与严格数学证明的结合。全书内容跨越了从基础的欧几里得几何和度量空间，到抽象的拓扑空间，并最终过渡到微分几何的基石——光滑流形理论。 本书的编写严格遵循了由浅入深的逻辑顺序，力求使初学者能够平稳过渡，同时为高年级学生和研究人员提供必要的深度和广度。我们认为，理解几何拓扑的关键在于掌握空间结构在不同尺度和抽象程度下的内在属性。 第一部分：度量空间与拓扑的起源 本书伊始，我们首先回顾了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的重要性质，为后续更抽象空间的讨论打下基础。随后，我们将焦点引向度量空间的概念，这是几何学中最基础的“距离”概念的推广。我们详细讨论了完备性、紧致性、开集与闭集的定义，并通过大量的例子（如函数空间 $C[a, b]$）说明这些概念在无限维空间中的重要性。 接着，本书正式引入拓扑空间。我们从商拓扑、子空间拓扑等构造方式出发，解释了如何从已知的空间结构构造新的拓扑结构。关键概念如连续映射、同胚（Homeomorphism）被赋予了严格的定义和详尽的讨论。我们用拓扑的视角重新审视了欧几里得空间中的连通性（路径连通性与连通分支）和紧致性，并证明了紧致集的连续像仍然是紧致的这一基本定理。此外，分离公理（如 $ ext{T}_1, ext{T}_2$ 豪斯多夫性质）的引入，使得我们能够区分不同“足够好”的空间，为后续研究光滑结构奠定基础。 第二部分：代数拓扑的初探 本部分将几何直觉与代数工具相结合，是理解拓扑不变量的关键。我们着重讨论基本群（Fundamental Group） $pi_1(X)$ 的构造与性质。 首先，本书详细介绍了自由群的性质，并利用它来描述圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群，这是代数拓扑中最经典的例子之一。随后，我们讨论了商空间、覆盖空间（Covering Spaces）理论。覆盖空间的理论不仅在代数拓扑中至关重要，也是理解黎曼曲面的基础。我们运用覆盖空间理论，严谨地证明了 $mathbb{R}^n$ 中任意 $n$ 维球面的基本群是平凡群（即零维球面 $mathbb{S}^0$ 除外）。 本书随后引入了更强的工具——同调群（Homology Groups）。我们从单纯复形（Simplicial Complexes）的构建入手，详细阐述了链复形、边界算子以及奇链群的计算方法。我们清晰地展示了奇异同调（Singular Homology）与单纯同调之间的关系，并给出了Mayer-Vietoris序列的完整推导，这是一个强大的计算工具。通过同调理论，我们能够区分出拓扑形体上的“洞”的数量和维度，例如，我们计算了球面 $mathbb{S}^n$ 和环面 $T^2$ 的同调群，从而展示了拓扑不变量的强大区分能力。 第三部分：微分几何的基石——光滑流形 本书的最后一部分将读者带入现代几何学的核心领域——光滑流形（Smooth Manifolds）。这是连接拓扑学和微积分的桥梁。 我们首先定义了拓扑流形，并强调了坐标卡（Coordinate Charts）和转移映射（Transition Maps）在定义局部结构上的作用。核心工作在于引入“光滑性”的要求，从而定义光滑流形。我们详细讨论了欧几里得空间中的光滑函数和向量场，并将其推广到一般的流形上。 本书系统地介绍了切空间（Tangent Space）的概念。切空间是流形上每一点的线性化近似，是进行微积分运算的必备工具。我们不仅从切向量的极限定义出发，还给出了基于导函数的更具操作性的定义。在此基础上，我们构建了向量场（Vector Fields）和微分形式（Differential Forms）的理论框架。 对微分形式的深入讨论包括楔积、外微分算子 $d$ 的性质，以及最重要的德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。我们清晰地阐述了德拉姆定理，它揭示了微分形式所定义的上同调群与奇异同调群之间的深刻联系，即 $ ext{H}_{ ext{dR}}^k(M) cong H^k(M; mathbb{R})$。最后，本书以斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的推广形式作结，该定理是微积分基本定理在微分几何中的终极表达，它统一了格林公式、高斯公式和斯托克斯经典公式。 本书特点： 1. 几何直觉与代数严谨的平衡： 努力在抽象定义和几何图像之间架起桥梁，避免纯粹的代数堆砌。 2. 丰富的例证与习题： 每一章后均附有大量精心设计的习题，难度梯度适中，旨在巩固和深化所学概念。 3. 面向未来研究： 为后续学习黎曼几何、辛几何或代数几何提供了必要的先修知识和概念基础。 本书适合数学、物理、以及相关工程学科的高年级本科生和研究生作为教材或参考书。掌握本书内容，读者将具备深入探索现代几何拓扑前沿问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆