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出版者:科學齣版社

作者:周義倉

出品人:

頁數:328

译者:

出版時間:2003-7

價格:32.00元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787030115447

叢書系列:

圖書標籤:

常微分方程
常微分方程5
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大學教材
常微分方程
微分方程
數學
應用數學
高等數學
工程數學
數值分析
數學模型
科學計算
偏微分方程

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具體描述

《常微分方程及其應用:方法、理論、建模、計算機》是常微分方程理論、方法與應用有機結閤的一本教材，它保持我國現行教材中理論性強、方法多樣、技巧和實例豐富等特點，結閤國外教材中強調建模、應用和計算機等特點，形成理論、方法、建模、應用、計算機互相滲透與補充的新體係。不僅訓練學生嚴密的數學思維方式，而且引導學生建立數學模型去解決實際問題。既講述求解各類微分方程解析解、數值解的方法，又介紹用計算機分析求解的過程。本教材的主要內容包括求解各類微分方程的方法、常微分方程的基本理論、定性穩定性基礎、近似方法及其實現、建立微分方程模型解決實際問題。

《常微分方程及其應用:方法、理論、建模、計算機》可以作為數學與應用數學專業、信息科學與計算數學專業的常微分方程課程教材，也可以作為理工科學生數學建模、數學實驗等參考書。

《常微分方程及其應用》：穿越時空，洞察萬象的數學語言在浩瀚的數學海洋中，常微分方程（Ordinary Differential Equations，簡稱ODE）宛如一條連接著理論世界與現實應用的璀璨紐帶，以其獨特的優雅與強大的解釋力，描繪著自然界和人類社會中瞬息萬變的動態過程。本書《常微分方程及其應用》，正是帶領讀者深入探索這一迷人領域的權威指南。它不僅係統梳理瞭常微分方程的理論基石，更將其觸角延伸至科學、工程、經濟、生物等諸多學科的前沿，展現瞭數學模型在理解和預測復雜現象中的至關重要作用。本書的編排邏輯清晰，層層遞進，旨在為不同背景的讀者提供一條平滑的學習路徑。我們從最基本的概念入手，如函數、導數、積分以及它們在描述變化率上的直觀意義。通過一係列生動形象的例子，讀者將逐漸領悟到，一個簡單的導數關係，例如“物體的速度是其位置隨時間的變化率”，便是一個最原始的微分方程。這種從“變化”到“關係”的思維轉變，是理解整個微分方程理論的起點。隨後，我們將正式引入“常微分方程”這一核心概念。這裏，我們將嚴謹定義一階、二階乃至高階常微分方程的形式，並介紹其構成要素：未知函數、自變量以及它們各階導數。為瞭使抽象的數學符號變得鮮活，我們引入瞭許多經典的例子，例如牛頓第二定律描述的物體運動，以及描述人口增長或放射性衰變的指數模型。這些例子不僅展示瞭 ODE 的數學結構，更揭示瞭它們如何抽象地概括現實世界中的基本規律。理論的建立離不開求解方法的掌握。本書將係統性地介紹求解各類常微分方程的解析方法。我們從最簡單的一階方程開始，如變量可分離方程、綫性一階方程（包括伯努利方程），講解如何通過代數運算將微分方程轉化為積分問題。隨後，我們將深入探討齊次方程、綫性二階方程（包括常係數和變係數）、歐拉方程等更復雜的類型，並介紹特徵方程法、常數變易法、冪級數解法等經典求解技巧。對於那些解析解難以獲得或不存在的方程，本書也將介紹數值解法的基本思想和常用算法，如歐拉法、改進歐拉法、龍格-庫塔法等，讓讀者能夠通過近似計算來逼近方程的解，從而在實踐中獲得有意義的結果。除瞭靜態的方程求解，理解微分方程解的性質同樣至關重要。本書將深入探討解的存在性與唯一性定理，這為我們斷言一個解的可靠性提供瞭數學保障。我們還將分析解的穩定性，例如在描述係統平衡點附近的振蕩或衰減行為，這對於工程控製和係統預測具有極其重要的意義。通過相平麵分析等幾何直觀方法，讀者將能更深刻地理解動態係統的演化軌跡及其長期行為。本書的核心價值在於其“應用”導嚮。我們堅信，數學的生命力在於其解決實際問題的能力。因此，本書的後半部分將聚焦於常微分方程在各個學科領域的廣泛應用，力求展現數學模型強大的解釋力和預測能力。在物理學領域，常微分方程是描述經典力學、電磁學、熱力學等分支的基石。從行星的軌道運動到電路中電流的變化，從振子的自由振動到機械係統的阻尼振動，無數物理現象都可以通過建立相應的微分方程模型來刻畫和預測。本書將詳細剖析這些經典應用，例如單擺的運動方程、LC 電路的振蕩方程、以及傅裏葉熱傳導方程的簡化形式等，展示如何將物理定律轉化為數學語言，並通過求解 ODE 來獲得對物理過程的深刻理解。在工程學中，常微分方程的應用更是無處不在。在自動控製理論中，PID 控製器、狀態空間方程等都離不開微分方程的描述。在電路分析中，RLC 電路的瞬態響應、放大器的頻率響應等，都需要利用微分方程來求解。在機械工程中，結構的振動分析、流體動力學的模擬，例如管道中的水流速度變化、風洞中的氣流模型，都依賴於微分方程的求解。本書將提供具體的工程案例，例如橋梁結構的共振分析、飛行器姿態控製的動力學模型，展示 ODE 如何指導工程師設計和優化係統。化學領域同樣受益於微分方程。化學反應速率的描述，例如酶促反應動力學、自催化反應的演化，都常被建模為微分方程組。這些模型能夠幫助我們理解反應進程，預測産物生成速率，並優化反應條件。本書將介紹如何構建和求解描述簡單化學反應動力學的 ODE 模型。生物學界，常微分方程也發揮著越來越重要的作用。種群動態學是其中一個經典的例子，例如捕食者-獵害者模型（Lotka-Volterra 方程）就生動地描述瞭兩個物種數量的相互影響與周期性波動。流行病學中，SIR 模型等經典的傳染病傳播模型，也是基於微分方程來描述疾病在人群中的傳播過程。此外，藥物在體內的代謝過程、神經網絡中的信號傳遞等，都能夠通過微分方程進行建模和分析。本書將深入探討這些生物學應用，揭示 ODE 如何幫助我們理解生命的奧秘。在經濟學領域，常微分方程也被用於宏觀經濟模型的構建。例如，經濟增長模型，如索洛增長模型，就涉及描述資本存量、勞動力的動態變化。金融市場中，例如期權定價模型（Black-Scholes 模型）的推導，也巧妙地運用瞭偏微分方程，而其基礎的隨機過程分析往往也與常微分方程的理論緊密相連。本書將介紹一些基礎的經濟學 ODE 應用，例如描述資本積纍和人口增長的耦閤模型。本書在闡述理論知識的同時，也十分注重理論與實踐的結閤。我們提供大量的例題和習題，覆蓋瞭從基礎概念到復雜應用的各個層麵，旨在幫助讀者鞏固所學，提升解題能力。對於一些具有挑戰性的問題，我們還提供瞭詳細的解題思路和步驟。此外，本書鼓勵讀者利用現有的數學軟件（如 MATLAB, Python 的 SciPy 庫等）來求解復雜的微分方程，體驗數值計算的強大威力，並探索真實世界數據。《常微分方程及其應用》不僅僅是一本教材，更是一扇通往理解世界背後運行規律的大門。它教會我們如何用精確的數學語言來描述變化，如何通過建立模型來洞察復雜係統，以及如何利用求解工具來預測未來。無論您是數學專業的學生，還是對科學、工程、金融等領域感興趣的研究者或從業者，本書都將為您提供寶貴的知識和深刻的啓迪，助您在探索未知、解決難題的道路上，擁有更強大的分析工具和更廣闊的視野。踏上這場數學之旅，我們將一起揭開常微分方程那穿越時空、洞察萬象的神秘麵紗。

作者簡介

目錄資訊

D1二版前言
D1一版前言
D11章引論
1.1微分方程的概念和實例
1.1.1導齣微分方程的一些實際例子
1.1.2微分方程的概念
1.1.3微分方程的發展
習題1.1
1.2解的存在唯Yi性
1.2.1例子和思路
1.2.2存在唯Yi性定理及其證明
1.2.3存在唯Yi性定理的說明及例子
習題1.2
1.3一階微分方程的嚮量場
1.3.1嚮量場
1.3.2積分麯綫的圖解法
習題1.3
復習題1
D12章一階微分方程
2.1綫性方程
2.1.1綫性齊次方程
2.1.2綫性非齊次方程
2.1.3Bemoulli方程
2.1.4綫性微分方程的應用舉例
習題2.1
2.2變量可分離的方程
2.2.1變量可分離方程的求解
2.2.2齊次方程
2.2.3變量可分離方程的應用
習題2.2
2.3全微分方程
2.3.1全微分方程的定義與充要條件
2.3.2全微分方程的積分
2.3.3積分因子
習題2.3
2.4變量替換法
2.4.1形如dy/dx=f-axbyc的方程
2.4.2形如yf-xydxxg-xydy=0的方程
2.4.3其他變換舉例
2.4.4Riccati方程
習題2.4
2.5一階隱式微分方程
2.5.1可解齣y或x的方程與微分法
2.5.2不顯含x或y的方程與參數法
2.5.3奇解與包絡
習題2.5
2.6近似解法
2.6.1逐次迭代法
2.6.2Taylor級數法
2.6.3Euler摺綫法
習題2.6
2.7一階微分方程的應用
2.7.1麯綫族的等角軌綫
2.7.2放射性廢物的處理問題
2.7.3我國人口的發展預測
習題2.7
復習題2
D13章二階及高階微分方程
3.1可降階的高階方程
3.1.1不顯含未知函數z的方程
3.1.2不顯含自變量￡的方程
3.1.3全微分方程和積分因子
3.1.4可降階的高階方程的應用舉例
習題3.1
3.2綫性微分方程的基本理論
3.2.1綫性微分方程的有關概念
3.2.2齊次綫性方程解的性質和結構
3.2.3非齊次綫性方程解的結構
習題3.2
3.3綫性齊次常係數方程
3.3.1復值函數
3.3.2常係數齊次綫性方程
3.3.3某些變係數綫性齊次微分方程的解法
習題3.3
3.4綫性非齊次常係數方程的待定係數法
3.4.1非齊次項為多項式的情形
3.4.2非齊次項為多項式與指數函數之積的情形
3.4.3非齊次項為多項式與指數函數、正餘弦函數之積的情形
習題3.4
3.5高階微分方程的應用
3.5.1機械振動
3.5.2RLC電路
習題3.5
復習題3
D14章微分方程組
4.1微分方程組的概念
4.1.1微分方程組的實例及有關概念
4.1.2函數嚮量和函數矩陣
4.1.3微分方程組解的存在唯Yi性定理
習題4.1
4.2微分方程組的消元法和首次積分法
4.2.1微分方程組的消元法
4.2.2微分算子與綫性微分方程組
4.2.3微分方程組的首次積分法
習題4.2
4.3綫性微分方程組的基本理論
4.3.1綫性齊次方程組解的結構
4.3.2非齊次綫性微分方程組解的結構
習題4.3
4.4常係數齊次綫性微分方程組
4.4.1係數矩陣A有單特徵根時的解
4.4.2係數矩陣A具有重特徵根時的解
4.4.3矩陣指數函數的定義和性質
習題4.4
4.5常係數非齊次綫性微分方程組
4.5.1常數變易法
4.5.2綫性變換法
4.5.3待定係數法
習題4.5
4.6微分方程組應用舉例
4.6.1兩個彈簧和物體的竪直運動
4.6.2復雜電路的計算
4.6.3人造衛星的軌道方程
習題4.6
復習題4
D15章非綫性微分方程組
5.1非綫性方程研究的例子與概念
5.1.1例子
5.1.2自治微分方程與非自治微分方程、動力係統
5.1.3基本定義
習題5.1
5.2自治微分方程組解的性質
5.2.1自治係統軌綫的特點
5.2.2自治係統解的基本性質
習題5.2
5.3平麵綫性係統的奇點及相圖
……
5.4幾乎綫性係統解的穩定性
5.5LyapunOvD1二方法
5.6二維自治微分方程組的周期解和極限環
復習題5
D16章Maple簡介與應用
6.1Maple的基本功能
6.2微積分運算
6.3綫性代數
6.4圖形
6.5方程求解
6.6Maple編程
參考文獻
· · · · · · (收起)

讀後感

評分☆☆☆☆☆

用戶評價

评分☆☆☆☆☆

老實講，這本書的閱讀體驗是漸進式的，它要求讀者具備一定的預備知識，如果你是完全零基礎，直接上手可能會感到挫敗。我第一次翻閱時，對其中關於泛函分析的一些基礎知識點感到有些吃力，不得不經常停下來查閱其他參考書進行補充。然而，一旦跨過瞭最初的知識壁壘，接下來的學習過程就變得如絲般順滑瞭。作者在處理高階內容時，展示瞭一種非凡的組織能力，他總能將看似分散的知識點，通過一個清晰的主綫邏輯串聯起來，構建齣一個宏大的理論體係。特彆是關於穩定性分析的部分，作者對李雅普諾夫函數法的闡述極為精妙，他不僅介紹瞭如何構造這些函數，更深入剖析瞭不同構造方法的適用場景和局限性，這種“辯證”地看待數學工具的視角，讓我受益匪淺。這本書不是一本讓你快速通過考試的書，而是一本需要你沉下心來，與之進行深度對話的“良師益友”。

评分☆☆☆☆☆

這本書，說實話，拿到手裏的時候，我就感覺到一股厚重的學術氣息撲麵而來。裝幀設計雖然樸實，但紙張的質感相當不錯，拿在手裏很有分量，讓人覺得這是一部真正用心打磨的作品。我一直對數學理論的嚴謹性有著很高的要求，翻開目錄，看到那些熟悉又陌生的章節標題，心裏就有點小小的期待和緊張。特彆是那些關於定性分析和穩定性理論的部分，作者的行文風格顯得非常沉穩，每一個定義、每一個定理的引入都像是精心設計的棋局，步步為營，不留一絲可以被質疑的空隙。我尤其欣賞它在引入新概念時，並非急於展示高深的數學技巧，而是先從直觀的物理背景或實際問題入手，將抽象的數學語言與現實世界的現象巧妙地勾連起來。這種“先知其然，後求其所以然”的敘述方式，極大地降低瞭初學者進入這個深奧領域的心理門檻，即便麵對復雜的微分方程組，也能感受到背後蘊含的清晰邏輯脈絡。對於那些想紮紮實實打好理論基礎的研究人員來說，這本書無疑是一份極佳的參考資料，它不僅僅是知識的羅列，更像是一套嚴謹的思維訓練手冊。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書在內容的選擇上顯得極為“剋製”，它幾乎沒有涉及太多新興的數值解法或者基於計算的探索性內容，幾乎所有的篇幅都聚焦於解析理論的深度挖掘。這可能讓一些期待快速獲得計算工具的讀者感到不滿足。但恰恰是這種“固守經典”的態度，賦予瞭本書無與倫比的深度和穿透力。作者在處理邊界條件和特解的求解過程中，展現瞭極高的數學修養，他對於傅立葉級數、拉普拉斯變換這些經典工具的應用達到瞭爐火純青的地步，並將它們完美地融入到偏微分方程的求解框架中。閱讀這本書的過程，就像是跟著一位技藝精湛的工匠學習打磨一件藝術品，每一步的精細處理，都旨在達到理論上的完美和優雅。對於那些渴望理解解析方法內在美感，並希望在純數學領域有所建樹的讀者而言，這本書無疑是近些年來難得一見的佳作，它強調的是數學的“永恒性”而非“時效性”。

评分☆☆☆☆☆

這本書的版式設計真是讓人眼前一亮，這在通常嚴肅的數學專著中是比較少見的。它沒有那種令人壓抑的黑白灰風格，而是巧妙地運用瞭不同顔色的字體和粗細變化來突齣重點概念、引理和關鍵步驟。例如，當涉及到收斂性證明時，那些依賴於特定參數的項會被特彆標記齣來，使得讀者在追蹤長串的推導公式時，視綫不容易迷失。我個人對那些例題的選取非常贊賞，它們不落俗套，很多都是在控製論、振動理論或者流體力學中齣現的經典模型，而且每一個例題後麵都附帶瞭詳細的幾何解釋或者物理意義的解讀，這對於我這種偏嚮工科背景的讀者來說，是莫大的福音。更棒的是，在某些章節的末尾，作者會設置一些“思考題”或“拓展閱讀建議”，這些建議往往指嚮瞭該領域最前沿的研究方嚮，而不是簡單重復課本內容，這無疑為有誌於繼續深造的讀者指明瞭方嚮，體現瞭作者的廣闊視野和對學科發展的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

說來慚愧，我是在一個項目催得緊，需要快速掌握某個特定領域應用時纔翻開這本書的。坦率地說，我更偏愛那種直擊應用、代碼實現緊隨其後的教材。然而，這本書卻給瞭我一種“溯本清源”的頓悟。它的敘述邏輯並非那種快餐式的技巧傳授，而是更傾嚮於深入挖掘數學工具的內在美學。初讀時可能會覺得有些吃力，因為它用瞭大量的篇幅去論證一些看起來像是“理所當然”的性質，比如解的存在性和唯一性，那些詳盡的 $epsilon-delta$ 語言的推導，對於習慣瞭直接調用現有工具的我來說，簡直是一種摺磨。但堅持讀下去後，我發現正是這些看似繁瑣的細節，構築瞭整個理論大廈的堅實地基。一旦你真正理解瞭這些基礎是如何被搭建起來的，你在處理那些高度非綫性的、邊值問題時，就不會再像無頭蒼蠅一樣亂撞瞭。它教會我的不隻是“怎麼解”，更是“為什麼能這麼解”，這種對底層原理的深刻洞察，遠比速成的應用技巧更有價值，也更持久。

评分☆☆☆☆☆

挺注重運用的。

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挺注重運用的。

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挺注重運用的。

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挺注重運用的。

评分☆☆☆☆☆

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