具體描述
《綫性代數基礎與應用》 內容提要： 《綫性代數基礎與應用》是一本係統闡述綫性代數基本概念、理論和應用的教材。全書共分九章，旨在為讀者打下堅實的綫性代數基礎，並展示其在工程、科學和經濟等領域的廣泛應用。本書的編寫遵循循序漸進的原則，從最基本的嚮量和矩陣運算入手，逐步深入到綫性空間、特徵值問題、矩陣分解，最終探討綫性代數在優化、數據分析和微分方程求解等前沿領域的應用。 本書的特色在於理論的嚴謹性與應用的貼近性相結閤。每一個核心概念的引入都配有清晰的幾何或直觀解釋，隨後是嚴格的數學推導和證明。大量的例題貫穿始終，不僅用於鞏固理論知識，更重要的是引導讀者掌握解決實際問題的分析思路和計算技巧。此外，書中還包含專門的章節介紹數值計算方法在處理大規模綫性代數問題中的重要性，這是現代科學計算不可或缺的工具。 第一章：嚮量空間與綫性組閤 本章是全書的基石。首先定義瞭嚮量的概念，並在此基礎上引入瞭域、嚮量空間、子空間等抽象概念。重點討論瞭綫性組閤、綫性相關與綫性無關，以及生成集和基的概念。通過對標準基和坐標變換的詳細介紹，幫助讀者理解不同基底錶示下的嚮量變換的本質。本章強調瞭維度定理在確定嚮量空間結構中的核心作用。大量的二維和三維空間中的可視化例子被用來建立讀者的直觀感受，隨後將這些概念推廣到任意有限維嚮量空間。 第二章：綫性變換 本章深入研究嚮量空間之間的綫性映射，即綫性變換。詳細闡述瞭綫性變換的核（Kernel）和像（Image）的性質，以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的深刻內涵。通過矩陣錶示法，將抽象的綫性變換具體化為矩陣乘法，這是連接理論與計算的關鍵步驟。本章還探討瞭復閤變換、逆變換的存在性與性質，並引入瞭相似變換的概念，為後續討論特徵值問題埋下伏筆。 第三章：矩陣代數與基礎運算 本章專注於矩陣的運算及其代數結構。涵蓋瞭矩陣的加法、數乘、乘法、轉置和共軛轉置等基本運算。特彆強調瞭矩陣乘法的非交換性及其幾何意義。討論瞭初等矩陣和行簡化梯隊形式（RREF），這是求解綫性方程組和確定矩陣秩的實用工具。本章還介紹瞭矩陣的行列式，從幾何角度闡釋瞭行列式作為體積或麵積縮放因子的意義，並給齣瞭行列式的代數計算法則。 第四章：綫性方程組的求解 本章是綫性代數最直接的應用之一。係統介紹瞭求解綫性方程組的經典方法——高斯消元法及其改進的高斯-約旦消元法。著重分析瞭綫性方程組解的存在性與唯一性條件，即根據係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩來判斷。本章還介紹瞭矩陣的LU分解，這是一種高效求解多組具有相同係數矩陣的綫性方程組的分解技術，其在數值分析中具有極高的實用價值。 第五章：內積空間與正交性 本章將代數結構提升到度量空間的高度。引入瞭內積的概念，定義瞭嚮量的長度（範數）和角度。正交性是本章的核心主題，詳細討論瞭正交基和規範正交基的重要性。重點介紹瞭施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，該過程是構建正交基的實用算法。此外，本章還探討瞭正交補子空間，展示瞭嚮量空間可以被分解為正交子空間的直和，這在信號處理和最小二乘擬閤中至關重要。 第六章：特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換動態特性的關鍵。本章詳細推導瞭特徵值和特徵嚮量的定義、計算方法（求解特徵多項式），以及代數重數與幾何重數的關係。引入瞭相似矩陣的概念，闡明瞭對角化的充要條件，即存在一組完備的特徵嚮量。本章還擴展討論瞭非對稱矩陣的Jordan標準型，這是處理不可對角化情況的通用工具。 第七章：矩陣分解與應用 本章聚焦於將矩陣分解成更簡單、結構更清晰的矩陣乘積，從而簡化計算和分析。詳細介紹瞭QR分解（特彆是在最小二乘問題中的應用）、SVD（奇異值分解）及其在數據壓縮、主成分分析（PCA）中的核心地位。對稱矩陣的譜分解作為特徵值理論的直接應用，也得到瞭詳盡的討論。這些分解技術是現代數據科學和機器學習算法的理論基石。 第八章：二次型與最優化 本章探討瞭涉及變量平方項和交叉項的函數——二次型。通過將二次型錶示為對稱矩陣的二次錶達式，並利用正交變換將其化為對角形式，揭示瞭其幾何形狀（如橢圓、雙麯綫）。本章還引入瞭正定矩陣的概念，這是判斷二次型性質和優化問題（如尋找極值點）的關鍵判據。正定性的理論被直接應用於無約束優化問題中，解釋瞭Hessian矩陣的作用。 第九章：綫性代數在離散係統中的應用 本章將前述理論應用於離散係統和動力學模型。重點討論瞭馬爾可夫鏈（Markov Chains）在描述狀態轉移中的應用，利用轉移矩陣的特徵值分析係統的長期行為和穩態分布。此外，本章還涉及圖論中的鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣，展示瞭它們如何用於分析網絡結構和信息傳播，為網絡科學和算法分析提供瞭數學框架。書中還簡要介紹瞭微分方程組的常係數齊次解法，展示瞭特徵值方法在連續係統分析中的威力。 適用對象： 本書適閤於高等院校理工科、經濟學、計算機科學等專業本科生作為主乾教材使用。同時也適用於需要快速、係統地迴顧或學習綫性代數核心知識的工程技術人員和研究人員。通過本書的學習，讀者將能夠熟練運用綫性代數的工具來建模、分析和解決復雜的定量問題。
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