二阶矩阵群的表示与自守形式 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:黎景辉

出品人:

页数:229

译者:

出版时间:2000-06-01

价格:12.50元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301011010

丛书系列:北京大学数学丛书

图书标签:

• 数学
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• 复分析5
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• 二阶矩阵群
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内容提要 本书深入探讨了二阶矩阵群的表示论及其与自守形式的深刻联系，为读者提供了一个全面而详尽的理论框架。我们将从二阶矩阵群的定义和基本性质出发，逐步揭示其表示的精妙结构，并在此基础上，深入剖析自守形式的构造、分类及其在数论、几何和物理等领域的重要应用。 第一部分：二阶矩阵群的表示 本部分将详细介绍二阶矩阵群的表示理论。我们将从群的定义和基本概念入手，包括子群、正规子群、商群以及同态定理等。然后，我们将聚焦于二阶矩阵群，特别是与数论中整数环相关的特殊线性群 $SL(2, mathbb{R})$ 和 $SL(2, mathbb{C})$。 群的引入： 详细阐述群的代数结构，探讨二阶矩阵群的乘法运算、单位元和逆元的存在性。 线性群： 介绍线性群的概念，重点分析 $GL(2, mathbb{R})$ 和 $GL(2, mathbb{C})$ 的性质，包括其作为李群的结构。 特殊线性群 $SL(2, mathbb{R})$： 深入研究 $SL(2, mathbb{R})$ 的结构，包括其作为非紧李群的特性，以及其李代数的计算。我们将讨论其主要的子群，例如庞加莱群、仿射群等，并分析它们之间的关系。 特殊线性群 $SL(2, mathbb{C})$： 探讨 $SL(2, mathbb{C})$ 的结构，分析其作为复李群的性质。我们将讨论其与 $SL(2, mathbb{R})$ 和 $SL(2, mathbb{Z})$ 的联系，以及其在表示论中的重要地位。 表示的概念： 严格定义群表示，包括线性表示、不可约表示、酉表示等。我们将介绍表示的迹（character）的概念，并阐述可约表示可以分解为不可约表示的原理。 二阶矩阵群的不可约表示： 详细分类和构造二阶矩阵群（特别是 $SL(2, mathbb{R})$ 和 $SL(2, mathbb{C})$）的不可约表示。我们将讨论离散系列表示、连续系列表示、主系列表示等，并计算它们的指标（character）。 表示之间的扩张和张量积： 研究不同表示之间的扩张关系，以及两个表示的张量积的分解。这对于理解更复杂的表示结构至关重要。 第二部分：自守形式 本部分将深入研究自守形式，重点关注其与二阶矩阵群表示的联系。我们将从模形式的概念出发，将其推广到更一般的自守形式，并探索其在数论中的应用。 模群 $SL(2, mathbb{Z})$： 详细介绍模群 $SL(2, mathbb{Z})$ 的结构及其在复上半平面上的作用。我们将引入模形式（holomorphic modular forms）和西格尔模形式（Siegel modular forms）的概念，并讨论它们的定义、性质以及傅里叶展开。 自守形式的定义： 将模形式的概念推广到一般的自守群（automorphic group）。我们将定义自守形式，并讨论其在李群作用下的变换性质。 二阶自守形式： 聚焦于与二阶矩阵群相关的自守形式，例如与 $SL(2, mathbb{R})$ 相关的赫克类型自守形式（Hecke-type automorphic forms）。我们将讨论它们与复上半平面上的微分算子之间的关系。 赫克算子： 介绍赫克算子（Hecke operators）的概念，并阐述它们在自守形式理论中的重要作用。我们将讨论赫克算子的性质，以及它们如何作用于自守形式的傅里叶系数。 L-函数： 探讨自守形式相关的L-函数，特别是狄利克雷L-函数和更一般的自守L-函数。我们将介绍L-函数的解析延拓、函数方程以及与表示论之间的联系。 朗兰兹纲领（Langlands Program）的初步介绍： 简要介绍朗兰兹纲领的核心思想，即建立表示论与数论（特别是L-函数）之间的深刻联系。我们将强调二阶矩阵群及其自守形式在朗兰兹纲领中的基础性地位。 第三部分：表示与自守形式的联系 本部分将是本书的核心，旨在揭示二阶矩阵群的表示与自守形式之间密不可分的关系。我们将通过具体的例子和理论推导，展现这种联系如何为理解两者提供统一的视角。 表示论的角度看自守形式： 从表示论的角度出发，将自守形式视为某个广义群（如 Adele 群）的特定表示的“截面”或“函数”。我们将解释如何通过表示的性质来理解自守形式的结构。 自守形式的谱分解： 探讨自守形式的谱分解，即将自守形式空间分解为与不可约表示相关的“固有函数”的线性组合。 角分解（Cuspidal Decomposition）： 深入研究自守形式的角分解，并分析角形式（cuspidal forms）与狄拉克测度（principal series representations）的联系。 与黎曼 Zeta 函数的联系： 讨论二阶自守形式与黎曼 Zeta 函数及相关L-函数的深刻联系。我们将介绍如何从自守形式的傅里叶系数中提取出L-函数的系数。 数论应用： 阐述自守形式在数论中的各种应用，例如二次型的分类、丢番图方程的求解、素数分布的研究等。 几何和物理应用： 简要提及自守形式在几何（如模曲面）和物理（如弦理论）中的应用，以展现其广泛的普适性。 读者对象 本书适合具有扎实的线性代数、抽象代数、复变函数和基础数论知识的研究生和高年级本科生。特别适合对表示论、自守形式、数论、代数几何以及理论物理等领域感兴趣的读者。 本书特色 理论严谨： 引入了大量的数学定义、定理和证明，保证了理论的严谨性和准确性。 循序渐进： 从基础概念出发，逐步深入到复杂的理论，结构清晰，逻辑性强。 内容详实： 涵盖了二阶矩阵群表示与自守形式研究的核心内容，为读者提供了一个全面而深入的视角。 联系广泛： 强调了表示与自守形式在数论、几何和物理等领域交叉的联系，展现了数学研究的统一性。 丰富的示例： 穿插了大量的具体例子，帮助读者更好地理解抽象的理论概念。 通过阅读本书，读者将能够深入理解二阶矩阵群的表示结构，掌握自守形式的理论框架，并深刻体会到表示论与自守形式在现代数学中的重要地位和广泛应用。

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这本书的封面设计得相当朴实，那种带着深邃蓝或沉稳灰的色调，让我一下就感觉到了它的专业性和厚重感。刚拿到手的时候，那种微微泛着油墨香的纸张触感，让人忍不住想立刻翻开扉页。我首先关注的是目录，它如同一个精密的路线图，清晰地勾勒出了整个论述的脉络。从基础的群论概念引入，到具体矩阵群的结构剖析，再到表示论的理论构建，每一步都显得逻辑严谨，层层递进。作者在引言部分非常诚恳地阐述了研究的动机和难点，这对于初学者来说是极大的福音，它并没有将读者直接抛入晦涩的数学符号海洋，而是先搭建起一个坚实的认知框架。我特别欣赏它在讲解抽象概念时，穿插的那些经典的历史背景和思想演变，这让冰冷的数学公式仿佛拥有了鲜活的生命力，让人在理解“是什么”的同时，也能领悟到“为什么会是这样”的深层原因。这本书的排版也十分考究，公式居中且编号清晰，注释详尽，阅读起来的流畅度远超我之前接触过的同类教材。

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如果说这本书有什么可以让我提出改进意见的话，那可能在于其对计算工具的依赖性上。在某些章节，为了展示某一特定表示类的构造细节，作者似乎更多地依赖于计算机代数系统（CAS）得出的数值结果作为支撑，而非完全依赖纯粹的笔算推导。当然，我知道在处理高阶矩阵群时，纯粹的解析方法往往会变得过于繁琐，引入计算工具是现代数学研究的必然趋势。但对于那些希望完全掌握每一个数学细节的读者而言，如果能在这些计算密集型部分，提供更多的解析思路的“脚手架”或者至少给出关键的中间步骤，将会更加完美。尽管如此，这本书的整体水准无疑是顶级的，它不仅是一本严肃的学术著作，更像是一位经验丰富的大师在耳边细语，引导我们穿越迷雾，领略二阶矩阵群表示理论那令人心驰神往的壮丽景象。

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我花了大量时间仔细研读了关于酉群（Unitary Group）部分的章节，那里的论述简直可以用“行云流水”来形容。作者对于如何将抽象的群作用具体化到矩阵空间的操作上，给出了极其细致的推导过程。特别是涉及到不可约表示的选取和特征标的计算时，那些本应让人感到头疼的积分和特征值分解，在作者的笔下，仿佛变成了某种优雅的几何操作。我记得有一处关于Frobenius-Schur指示函数应用的论证，通常这部分在其他著作中需要花费数小时才能勉强消化，但在这里，作者巧妙地运用了投影算子的视角，使得整个证明结构豁然开朗。我甚至能想象作者在撰写时，是如何反复斟酌每一个数学符号的摆放位置，力求达到最高效的信息传递。对于我这种需要在实际研究中应用这些理论工具的人来说，这种层层剥茧的讲解方式，远比那种只给出结论而跳过中间步骤的“高屋建瓴”式的写作要实用得多，它真正培养的是读者的独立思考能力和推导能力。

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作为一本偏向前沿课题的专著，我对它的术语一致性和符号规范性格外关注。坦白说，这是一个很容易出错的地方，因为不同的数学学派对同一概念可能存在细微的差异表述。然而，这本书在全书范围内展现出了惊人的自洽性。无论是希尔伯特空间（Hilbert Space）的选取标准，还是群作用的共轭变换定义，都保持了高度的统一和清晰。这种严苛的自我要求，使得读者在跟进复杂证明时，几乎不用担心因为符号歧义而产生误解。而且，书中对一些非标准的或较新的术语，都有明确的脚注或在首次出现时进行详尽的定义，这种对读者的体贴，体现了作者深厚的学术功底和强烈的责任感。阅读过程中，我几乎没有遇到需要反复查阅上下文来确认某个符号含义的困扰，这极大地提升了阅读效率和心流体验。

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这本书的价值，不仅仅体现在其理论的深度上，更在于它在连接不同数学分支时的广度。读到涉及自守形式的部分时，我惊讶地发现，作者并没有将其视为一个孤立的分析课题，而是巧妙地将其与数论中的L-函数理论、代数几何中的模空间联系了起来。这种跨学科的视野，极大地拓宽了我对“表示”这一概念的理解边界。比如，在探讨模空间的紧化结构时，作者引入了一些几何直觉来辅助理解代数条件，这对于习惯于纯代数思维的人来说，无疑是一种宝贵的思维体操。我尤其喜欢其中关于“仙麻（Izumi）分解”的讨论，作者不仅仅是复述了既有的成果，还深入剖析了其背后的对称性破缺机制，这使得原本静态的数学对象似乎动了起来，具有了某种动态的演化美感。这种深层次的洞察力，是区分一本优秀教材和一本卓越专著的关键所在。

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抽象调和分析就是群表示论，本书就是讲解这个如何从分析过渡几何及代数问题

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