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出版者:高等教育出版社

作者:东北师范大学微分方程教研室

出品人:

页数:299

译者:

出版时间:2006-1

价格:15.10元

装帧:平装

isbn号码:9787040161359

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《数值分析引论》 本书旨在为读者提供坚实的数值分析理论基础和丰富的实际应用指导，是数学、计算机科学、工程技术以及数据科学等领域学生的理想入门读物。全书涵盖了数值分析的核心概念、关键方法及其在解决实际问题中的应用，力求在理论深度和实践指导性之间取得平衡。 第一部分：基础概念与误差分析 本部分首先对数值计算中不可避免的误差来源进行系统梳理，包括截断误差、舍入误差以及它们在计算过程中的累积效应。我们将深入探讨不同类型的误差度量方式，并介绍误差传播的规律，这为后续理解数值方法的稳定性和准确性奠定理论基石。此外，本章还将复习和巩固读者在函数逼近、插值和外插等预备知识，为后续章节的学习打下坚实基础。 第二部分：方程的求解 本部分将详细介绍求解单变量方程 (f(x) = 0) 的多种数值方法。从简单直观的二分法开始，我们将逐步引入更高效的迭代方法，如不动点迭代法、牛顿法及其变种。重点在于分析这些方法的收敛性、收敛阶以及适用范围，并通过具体的算例展示它们在实际问题中的应用，例如在物理学、工程学中计算临界点或平衡态。对于多变量非线性方程组的求解，我们将介绍广义牛顿法（Newton-Raphson method）以及拟牛顿法（Quasi-Newton methods），强调其在优化问题和系统建模中的重要性。 第三部分：线性方程组的求解 线性方程组的求解是数值计算中最基础也是最重要的问题之一。本部分将从直接法入手，详细讲解高斯消元法（Gaussian elimination）、LU分解（LU decomposition）以及Cholesky分解（Cholesky decomposition）等经典算法，并分析它们的计算复杂度和数值稳定性。随后，我们将转向迭代法，介绍雅可比迭代法（Jacobi iteration）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel iteration）以及超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）等，探讨它们的收敛条件和提高收敛速度的策略。此外，还将讨论稀疏线性方程组的求解方法，这在科学计算和大数据分析中具有广泛应用。 第四部分：插值与逼近 插值与逼近是根据一组离散的数据点来构建连续函数模型的重要工具。本部分将深入研究多项式插值，包括拉格朗日插值（Lagrange interpolation）和牛顿插值（Newton interpolation），并分析龙格现象（Runge's phenomenon）及其规避方法。接着，我们将介绍分段多项式插值，重点讲解三次样条插值（Cubic spline interpolation），阐述其良好的连续性和光滑性。此外，本部分还将涉及最佳逼近理论，如最佳平方逼近（Best least-squares approximation），并介绍傅里叶级数（Fourier series）和泰勒级数（Taylor series）在函数逼近中的作用。 第五部分：数值积分与微分 数值积分是将连续函数的定积分近似计算为离散点上的数值和。本部分将介绍梯形法则（Trapezoidal rule）和辛普森法则（Simpson's rule）等牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式，分析它们的精度和误差。进一步，我们将学习复合求积公式（Composite quadrature rules）以及高斯求积公式（Gaussian quadrature formulas），以实现更高的计算精度。对于高维积分，我们将简要介绍蒙特卡洛方法（Monte Carlo methods）的应用。在数值微分方面，本部分将讲解有限差分法（Finite difference method）的原理，如何利用函数值计算导数的近似值，并分析其精度。 第六部分：特征值与特征向量的计算 特征值和特征向量是线性代数和许多科学领域中的核心概念。本部分将介绍求解实对称矩阵的特征值和特征向量的幂法（Power method）和反幂法（Inverse power method），以及它们在局部最优解搜索中的应用。对于一般的矩阵，我们将学习QR分解（QR decomposition）及其在QR算法中的应用，该算法是计算特征值和特征向量的常用且高效的方法。还将简要提及胡尔威茨矩阵（Hessenberg matrix）的化简等预处理步骤。 第七部分：优化方法 优化问题是寻找使某个目标函数达到最大值或最小值的变量取值。本部分将介绍无约束优化的经典方法，如最速下降法（Gradient descent）和牛顿法。我们将详细阐述它们的工作原理、收敛性以及如何选择步长。此外，还将引入共轭梯度法（Conjugate gradient method）等更高级的优化技术。对于约束优化问题，将简要介绍拉格朗日乘子法（Lagrange multipliers）以及罚函数法（Penalty methods）的思想。 第八部分：数值稳定性与算法分析 数值稳定性是衡量数值算法在存在误差时计算结果可靠性的重要指标。本部分将深入探讨病态问题（Ill-conditioned problems）和良态问题（Well-conditioned problems）的概念，以及它们对计算结果精度的影响。我们将学习如何分析算法的数值稳定性，包括条件数（Condition number）的计算和应用。此外，本部分还将讨论算法的时间复杂度和空间复杂度，以及如何选择和设计高效且稳定的数值算法。 应用案例与编程实践 本书的每一章都配有丰富的算例，涵盖物理学、工程学、经济学、生物学以及计算机图形学等多个学科领域。读者将学习如何利用所学的数值方法来解决实际问题，例如模拟弹簧振子运动、求解流体力学方程、拟合实验数据、进行图像处理和机器学习中的模型训练等。为方便读者动手实践，本书还将提供伪代码示例，并推荐使用Python、MATLAB等常用的数值计算软件环境。 通过对本书的学习，读者将不仅掌握数值分析的基本理论和方法，更能培养严谨的科学思维和解决实际问题的能力，为未来在各领域的深入研究和工作打下坚实基础。

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坦白讲，我买这本书的时候是有点忐忑的，毕竟“常微分方程”这几个字听起来就带着一股令人生畏的学术气息。然而，当我翻开这本《常微分方程》后，我的顾虑瞬间烟消云散了。这本书的叙事方式非常独特，它不是简单地罗列公式和解法，而是像在讲述一个侦探故事，一步步引导你追踪方程背后的规律。作者对于线性微分方程组的处理简直是教科书级别的典范，矩阵方法的引入自然流畅，讲解了特征值和特征向量是如何揭示系统长期行为的秘密。我尤其对其中关于稳定性和相平面分析的那几章印象深刻，它将二维系统的动态演化过程可视化了，那些相轨迹的汇合、发散、甚至周期振荡，都清晰地呈现在脑海中，这比死记硬背某个特定解的公式要有效得多。阅读过程中，我常常需要停下来，在草稿纸上演算着作者给出的例子，每一次成功推导出结论，都带来一种智力上的巨大满足感。它不仅仅是一本工具书，更像是一把钥匙，开启了理解复杂自然现象的数学之门。

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这本书的独特之处，在于它对数学思想的渗透和熏陶。它不仅仅是一本教你如何求解方程的书，更是在培养你用“动态的眼光”看待问题的能力。作者对“解”的理解是多维度的：它既是代数上的一个函数表达式，也是一个随时间演化的物理过程，同时还是一个几何上的轨道。在讲解更高阶的线性方程时，作者巧妙地引入了算子理论的视角，虽然没有深入探讨泛函分析，但已经为读者建立起了一个更宏大、更抽象的框架。这种由具体到抽象，再由抽象回归到具体的教学路径，极大地提升了我的数学思维的灵活性。阅读完后，我发现自己看任何动态系统描述时，都会不自觉地去寻找那个潜在的、驱动其变化的微分方程。这本书的价值在于，它在你脑中种下了一种深刻的数学直觉，这种直觉会持续地影响你未来的学习和研究方向。

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对于一个需要用微分方程解决实际工程问题的专业人士来说，我更看重工具的适用性和可靠性。《常微分方程》这本书在这一点上做得非常出色。它没有停留在解析解的范畴，而是花了相当大的篇幅讲解了数值方法的原理和局限性。从欧拉法到更精确的龙格-库塔方法，作者不仅给出了算法，更重要的是，他深入探讨了每种方法的误差来源和步长选择的依据，这一点对于实际编程实现至关重要。我曾经被一个ODE模型的结果困扰许久，最终是书中关于局部截断误差和全局误差累积的讨论，帮我找到了数值不稳定的症结所在。这本书的实用价值体现在它教会我们如何“负责任地”使用工具，而不是盲目地相信计算机的输出。此外，它对边值问题和摄动理论的介绍，也为处理更复杂的实际约束条件提供了理论支撑。

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这本《常微分方程》真是让我眼前一亮，它不是那种干巴巴的教科书，更像是一位耐心又深入的老师在陪你探索这个迷人的数学分支。作者在讲解基本概念时，总能找到最贴切的比喻，比如描述解的存在性和唯一性时，不是堆砌复杂的定理，而是用生活中的动态系统做类比，让你一下子就能抓住问题的核心。我尤其欣赏它对物理背景的融入，很多例子都直接来源于经典力学或者电路理论，这使得那些抽象的数学模型突然变得“有血有肉”，不再是孤立的符号游戏。读起来一点都不觉得枯燥，反而有一种拨开云雾见青天的畅快感。书中的习题设计也相当巧妙，从基础的检验性练习到需要综合运用多种方法的综合题，层次分明，真正做到了“学以致用”。那些证明部分，逻辑推导严密而又不失优雅，让人在理解每一个步骤的同时，也能感受到数学之美。对于初学者来说，这本书提供了坚实的理论基础，而对于有一定基础的人来说，它也提供了更深层次的见解和更广阔的视野。

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说句实在话，市面上关于常微分方程的书籍汗牛充栋，但真正能让人读进去的却凤毛麟角。这本《常微分方程》之所以能脱颖而出，关键在于它在严谨性与可读性之间找到了一个近乎完美的平衡点。它没有为了追求最快的解题速度而牺牲对理论深度的挖掘，相反，它把傅里叶级数、拉普拉斯变换这些工具放在了恰当的位置上，作为解决特定类型方程的强有力后盾，而非核心叙事。我特别喜欢作者对非线性方程组的讨论，虽然知道这部分内容非常棘手，但作者通过引入庞加莱映射和分岔理论的初步概念，让我们得以一窥混沌世界的迷人景象。这种对前沿和难点的适度引入，极大地激发了我的求知欲，让我明白微分方程远非初级微积分的延伸，而是一个充满活力和开放问题的研究领域。这本书的排版也很舒服，公式编号清晰，图表清晰度高，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。

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这本常微分方程比较基础了，应该算是登堂入室的一个类别吧。

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其实书蛮好的。尤其适合自学。嗯。。。。。

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和另一本王克配套看比较好

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一般般啦

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我们的教材，学过一部分，后面的常微分定性理论没学，内容还行，但是错误超级多，我好像改出了几十处错误