椭圆曲线的算术理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:J.H.Silverman

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:1999-11

价格:68.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506201353

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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椭圆曲线的算术理论：探索几何与代数的交融 本书深入剖析了椭圆曲线这一迷人数学对象的算术理论，揭示了其背后深刻的代数结构和丰富的几何性质。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起理解椭圆曲线的坚实基础，并在此之上探索其在现代数学和计算机科学领域的广泛应用。 第一部分：椭圆曲线的基本构建 我们将从定义入手，介绍在不同数域（如实数域、复数域、有限域）上椭圆曲线的标准方程形式，如维尔斯特拉斯方程。在此基础上，我们将详细探讨构成椭圆曲线的几何要素，包括“无穷远点”的概念以及点在曲线上的加法运算。这一部分将直观地展示椭圆曲线并非仅仅是一个孤立的方程，而是一个具有内在代数结构的几何对象。我们将通过清晰的图示和严谨的证明，帮助读者理解点加法的几何意义及其代数表述。 第二部分：群论的视角与结构 椭圆曲线上的点加法运算并非任意，它赋予了椭圆曲线上的点集以一个重要的代数结构：一个阿贝尔群。本书将从群论的视角深入分析这一结构。我们将详细阐述群的定义、性质，并证明椭圆曲线上的点集确实满足群的所有公理，包括封闭性、结合律、单位元（无穷远点）的存在性、以及逆元（点关于x轴的对称点）的存在性。此外，我们还将探讨群的阶、子群、以及循环群等概念在椭圆曲线中的体现。 第三部分：有限域上的椭圆曲线 随着密码学的发展，有限域上的椭圆曲线（ECC）受到了前所未有的关注。本部分将重点介绍在有限域（特别是素数域 $F_p$ 和二元域 $F_{2^m}$）上椭圆曲线的定义、性质以及点加法运算。我们将详细讲解在有限域中进行模运算的技巧，以及如何计算有限域上椭圆曲线的阶。此外，还将深入探讨一些关键的数学工具，如离散对数问题（DLP）和其在有限域上椭圆曲线的变种——椭圆曲线离散对数问题（ECDLP），并分析其在密码学中的重要性。 第四部分：深入的代数性质与定理 本书还将深入探讨椭圆曲线更深层次的代数性质。我们将介绍一些著名的定理，如Nagell-Lutz定理和Mazur定理，这些定理揭示了有理数域上椭圆曲线的有理点群的结构。我们将详细阐述Nagell-Lutz定理如何帮助我们确定有理点群的挠部分，以及Mazur定理如何刻画了有理数域上椭圆曲线的挠部分可能存在的有限多种结构。这些定理不仅展示了椭圆曲线理论的深度，也为理解其复杂性提供了关键的工具。 第五部分：应用与展望 最后，我们将简要回顾椭圆曲线在现代科学技术中的重要应用，并对未来的发展方向进行展望。从强大的加密算法（如ECDSA、ECDH）到在量子计算领域的潜在应用，椭圆曲线无处不在。我们将概述椭圆曲线密码学的工作原理，解释其高效性和安全性来源。此外，我们还将提及椭圆曲线在整数分解、可计算性理论等其他领域的应用，勾勒出这一数学分支广阔而令人兴奋的未来图景。 本书旨在为有志于深入理解椭圆曲线的读者提供一条清晰的学习路径，无论您是数学专业学生、计算机科学家，还是对密码学充满好奇的研究者，都能从中获得丰富的知识和深刻的洞见。我们将努力以严谨而不失趣味的方式，展现椭圆曲线这一古老而又充满活力的数学领域的魅力。

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《椭圆曲线的算术理论》这本书的排版设计也十分用心，清晰的章节划分，合理的段落布局，以及精美的数学公式排版，都极大地提升了阅读体验。我尤其喜欢书中对数学公式的注释，它们不仅仅是简单的符号解释，更是对公式背后思想的深入阐述，这让我能够更准确地理解公式的含义。书中关于“有限域上的椭圆曲线”的应用，更是让我看到了数学的实用性。作者在介绍“椭圆曲线密码学”时，详细分析了其在数据加密、数字签名等领域的应用，这让我对数学在现代科技中的重要作用有了更深的认识。我感觉这本书不仅仅是一本学术著作，更是一件艺术品，它将严谨的数学内容与精美的设计完美地结合在一起，给人带来愉悦的阅读体验。

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这本书的语言风格十分吸引人，它既有严谨的数学学术语，又不失通俗易懂的解释。作者善于运用比喻和类比，将复杂的数学概念转化为读者易于理解的语言。我记得在学习“模形式”的部分，作者通过将模形式比作“数学上的变奏曲”，让我对这种具有高度对称性的数学对象有了初步的认识。书中对于“L函数”的介绍，也让我感受到了数学的优雅。作者通过分析L函数的解析延拓、函数方程以及它与模形式之间的深刻联系，让我对这个在解析数论中扮演重要角色的函数有了更深的理解。我感觉这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种数学素养，一种对数学美的感知能力。书中对于“算术几何”的探讨，更是让我看到了数学研究的交叉性，以及不同数学分支之间相互融合的魅力。

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《椭圆曲线的算术理论》这本书为我打开了数学世界的一扇新窗口。我一直对数学抱有浓厚的兴趣，但总觉得有些概念过于抽象，难以真正理解。这本书的出现，彻底改变了我的看法。作者以一种极其清晰、严谨又不失趣味的方式，将椭圆曲线这一复杂的数学概念呈现在我眼前。书中的例子设计得非常巧妙，不仅仅是简单的数值计算，更是通过生动的类比和直观的图示，帮助我理解那些抽象的代数结构。我记得作者在讲解“群的结构”时，并没有止步于理论的陈述，而是详细地阐述了群的生成元、阶以及各种运算的性质，并巧妙地将其与椭圆曲线上的点加法联系起来。这种循序渐进的教学方式，让我能够真正地“看到”这些抽象概念在实际问题中的应用，而不仅仅是死记硬背公式。我常常在阅读的过程中，脑海中会浮现出作者在书中描绘的那些美丽的几何图形，它们仿佛在诉说着椭圆曲线背后蕴含的深刻数学真理。这本书对我来说，不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的导师，引领我一步步走向数学的殿堂，让我体验到发现新知的乐趣。

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这本书的深度和广度都令我印象深刻。作者在深入讲解椭圆曲线的算术理论的同时，也巧妙地融入了许多相关的数学分支，如数论、代数几何、复数函数论等，让我得以在一个更广阔的背景下理解椭圆曲线。我尤其欣赏作者在讲解“谢弗定理”时，对定理的提出背景、证明思路以及它在椭圆曲线分类中的作用进行的详尽阐述。书中对于“BSD猜想”的讨论，更是让我看到了数学研究的前沿动态。作者并没有简单地陈述猜想的内容，而是深入分析了猜想的提出背景、它与椭圆曲线的深刻联系，以及目前数学家们在证明过程中所遇到的挑战。我感觉这本书不仅仅是在传授知识，更是在激发我的好奇心，让我对数学研究产生了浓厚的兴趣，渴望去探索更多未知的数学领域。

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《椭圆曲线的算术理论》这本书给我带来的最大惊喜，是它对“复数域上的椭圆曲线”的深入剖析。我之前对复数域的概念一直有些模糊，而这本书通过清晰的讲解和精美的插图，让我对复数域有了全新的认识。作者将复数域上的椭圆曲线与“复数函数论”紧密联系起来，详细阐述了“同源映射”、“模函数”等概念，让我惊叹于数学内部的深邃联系。我记得在学习“韦尔斯特拉斯函数”的部分，作者通过对函数性质的细致分析，以及它与椭圆积分的关系，让我对这个在数学中如此重要的函数有了直观的理解。书中对于“藤田定理”的介绍，更是让我看到了数学发展的脉络，以及不同数学分支之间的相互启发。作者并没有简单地罗列定理的结论，而是深入分析了定理的证明思路，以及它在椭圆曲线研究中的重要地位。我感觉这本书不仅仅是传授知识，更是在传递一种数学思维方式，一种严谨、求实的治学态度，这对我未来的学习和研究都将产生深远的影响。

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《椭圆曲线的算术理论》这本书带给我的启发是多方面的。我一直认为数学是一门独立于现实世界的抽象学科，但这本书让我看到了数学与现实世界之间千丝万缕的联系。作者在讲解“椭圆曲线在编码理论中的应用”时，详细介绍了椭圆曲线码的优点，以及它在纠错能力和信息传输效率方面的突出表现。我记得作者在介绍“循环冗余校验码（CRC）”时，通过类比椭圆曲线上的点运算，让我对这种常用的纠错方法有了更直观的理解。书中对于“数论中的应用”的探讨，也让我受益匪浅。作者深入分析了“费马大定理”与椭圆曲线的联系，以及“谷山-志村定理”的意义，这让我看到了数学研究的深度和广度。我感觉这本书不仅仅是一本教科书，更像是一扇窗户，让我得以窥见数学世界的美丽与奥秘，也激发了我对数学研究的热情。

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这本《椭圆曲线的算术理论》简直是打开了我对数学世界的新视角！我一直对那些看似抽象的概念感到敬畏，但这本书以一种令人难以置信的清晰度和连贯性，将椭圆曲线这一曾经遥不可及的领域呈现在我眼前。我记得第一次翻开它时，还带着一丝忐忑，担心里面的公式和定理会让我望而却步。然而，作者的文笔流畅，逻辑严谨，将复杂的数学思想层层剥开，如同剥洋葱一般，让我一点一点地深入其中。书中的例子设计得非常巧妙，不仅仅是简单的数值计算，更是通过生动的类比和直观的图示，帮助我理解那些抽象的代数结构。尤其让我印象深刻的是，作者在讲解群结构时，并没有止步于理论的陈述，而是详细地阐述了群的生成元、阶以及各种运算的性质，并巧妙地将其与椭圆曲线上的点加法联系起来。这种循序渐进的教学方式，让我能够真正地“看到”这些抽象概念在实际问题中的应用，而不仅仅是死记硬背公式。我常常在阅读的过程中，脑海中会浮现出作者在书中描绘的那些美丽的几何图形，它们仿佛在诉说着椭圆曲线背后蕴含的深刻数学真理。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位循循善诱的导师，引领我一步步走向数学的殿堂，让我体验到发现新知的乐趣。

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这本书的每一个章节都充满了作者的匠心独运。我常常被书中那些精心设计的习题所吸引，它们不仅仅是对知识的巩固，更是对思维的挑战。有些习题的难度适中，可以帮助我检验自己对理论的掌握程度；有些习题则需要我跳出固有的思维模式，进行创造性的思考，这让我感觉自己不仅仅是在学习，更是在参与到数学的创造过程中。例如，在讲解“有理数域上的椭圆曲线”时，作者不仅给出了详细的证明，还设计了一系列问题，引导读者去思考不同情况下的结论，这极大地提升了我独立解决问题的能力。书中还穿插了许多历史上著名的数学家在椭圆曲线领域做出的贡献，这让我对数学的发展历程有了更深的认识，也更加敬佩那些伟大的数学灵魂。作者对于“群的结构”的分析，尤其让我印象深刻。它不仅仅是简单的定义和性质的陈述，更是通过对特定椭圆曲线群的研究，让我看到了抽象数学概念的具象化。我感觉这本书为我打开了一扇通往更广阔数学世界的大门，让我对数论、代数几何以及相关应用领域有了更深层次的理解。

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《椭圆曲线的算术理论》这本书的出版，无疑是填补了许多人在这一领域学习的空白。我一直对数论和代数几何有着浓厚的兴趣，但一直苦于缺乏一本能够系统性介绍椭圆曲线算术理论的优质教材。市面上虽然有一些相关的书籍，但要么过于专业，要么过于浅显，难以满足我深入学习的需求。这本书的出现，恰好解决了我的燃眉之急。作者在书中对椭圆曲线的定义、性质、以及与代数数论的联系进行了详尽的阐述。我尤其欣赏作者对“模形式”和“L函数”的介绍，这部分内容虽然难度较大，但作者通过引入相关的历史背景和直观的解释，大大降低了理解的门槛。书中对于“BSD猜想”的探讨，更是让我感受到了前沿数学研究的魅力。作者并没有简单地罗列猜想的内容，而是深入分析了猜想的提出背景，它与椭圆曲线的深刻联系，以及目前数学家们在证明过程中所遇到的挑战。我感觉自己仿佛置身于一场数学思想的盛宴，被这些伟大的数学思想深深吸引。这本书不仅仅是一本理论书籍，更是激发了我对数学研究的兴趣，让我更加渴望去探索那些未知的数学领域。

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这本书的结构安排极为合理，从基础概念的引入，到复杂理论的深入探讨，再到前沿问题的展望，层层递进，逻辑清晰。我尤其欣赏作者在引入“整数次域上的椭圆曲线”时，所做的铺垫工作。它不仅仅是简单地给出定义，更是通过对“整数上的二次曲线”的复习，帮助读者回忆起相关的基础知识，从而更顺畅地进入到椭圆曲线的专题学习中。书中对于“群的性质”的分析，让我深刻理解了群的封闭性、结合律、单位元和逆元这些基本概念如何在椭圆曲线上得到体现。我记得作者在讲解“点加法”运算时，通过几何上的“弦线法”和代数上的公式推导，让我能够从不同的角度理解同一个数学过程，这极大地加深了我对知识的理解。书中关于“有限域上的椭圆曲线”的应用，更是让我看到了抽象数学在实际问题中的巨大价值。作者在介绍“密码学”时，并没有简单地罗列算法，而是深入分析了椭圆曲线在公钥密码系统中的关键作用，这让我对数学的应用有了全新的认识。

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两年断断续续终于读了个四分之三...代数几何进阶读物

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对我来说,很晦涩的一本书-_-

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