新编高中数学解题途径(第二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华东师范大学出版社

作者:刘小枫

出品人:

页数:575

译者:

出版时间:1999-12

价格:20.00

装帧:平装

isbn号码:9787561720011

丛书系列:

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《高等代数基础与应用》 作者： 张志强 王晓梅 出版社： 科学出版社 第一章 集合论基础与逻辑推理 本章旨在为读者构建严谨的数学思维框架，是理解后续所有高等数学分支的基石。我们从集合的严格定义出发，详细阐述了集合的表示法、子集、幂集、交集、并集、差集等基本运算。重点讨论了笛卡尔积和等价关系（等价类、划分）的概念，并通过实例展示其在数学结构中的作用。 在逻辑推理方面，本章深入讲解了命题逻辑的基本连接词（与、或、非、蕴含、等价），并着重分析了全称量词和存在量词的规范使用及其否定形式。随后，我们将视角转向证明方法论，详细剖析了直接证明、反证法、数学归纳法（包括强归纳法和弱归纳法）的适用场景与操作步骤。特别是对于归纳法，我们结合数论中的素性问题和离散数学中的图论初步概念，展示了其强大的证明威力。本章内容强调理论的严谨性与实际应用中的逻辑清晰度。 第二章 线性代数的核心概念 线性代数是现代数学的“语言”之一，本章系统地介绍了向量空间这一核心结构。我们首先定义了域（主要关注实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$）上的向量空间，并详细讨论了线性组合、线性相关性、线性包（张成空间）的概念。基（Basis）和维数（Dimension）的引入是本章的难点与重点，我们通过实例（如多项式空间 $P_n$ 和函数空间）来加深读者对抽象概念的理解。 矩阵理论部分，我们超越了初等代数中的行列式运算，侧重于矩阵的几何意义和线性变换的表示。矩阵的初等行变换被用来推导行阶梯形和简化行阶梯形，这是求解线性方程组的通用算法。高斯-约旦消元法被详尽讲解，并分析了线性方程组解的存在性与唯一性判定条件（秩的概念）。行列式的计算采用莱布尼茨公式和拉普拉斯展开，并着重探讨了行列式的性质及其与矩阵可逆性的关系。 第三章 线性变换与特征值理论 本章将第二章的静态结构（向量空间）与动态过程（线性变换）相结合。线性变换（或称线性映射）的定义、核空间（Kernel）与像空间（Image）的性质是基础。我们证明了秩-零化度定理，展示了在线性代数中平衡研究对象两侧结构的重要性。 特征值与特征向量的理论是本章的核心。我们从微分方程的稳定态分析中汲取灵感，定义了特征方程，并详细讨论了如何求解特征值和特征向量。对于多重根的情况，本章区分了代数重数和几何重数，并引入了相似矩阵的概念，探讨了对角化的充分必要条件。 本章的亮点在于深入探讨了实对称矩阵的谱定理，这一定理不仅在理论上至关重要，也为后文的主成分分析（PCA）奠定了坚实的代数基础。对于非对角化的情况，我们介绍了若尔当标准型（Jordan Normal Form）的构造思想，尽管不深入复杂计算，但旨在揭示矩阵结构分解的完整图景。 第四章 二次型与欧几里得空间 为了将代数运算与几何直观相结合，本章引入了内积空间的概念。首先在任意向量空间上定义内积，并由此导出长度（范数）和角度的概念。正交性是本章的关键工具，格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程被详细展示，它是构建正交基的有效算法。 二次型是本章的应用核心。我们将二次型表示为二次函数 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的形式，其中 $A$ 是对称矩阵。通过正交相似变换将二次型化为标准形，本章旨在揭示二次曲面（如椭圆、双曲线）的几何本质。我们利用特征值理论证明了二次型的正定性、半正定性等分类，这在优化问题中具有极高的实用价值。本章内容通过大量的几何例子，将抽象的矩阵运算与三维乃至更高维空间的几何直观紧密联系起来。 第五章 多元函数微积分的初步探究 本章是连接高等代数与经典微积分的桥梁，重点关注多变量函数的分析。我们首先回顾了 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑基础，包括开集、闭集、紧集的概念，以及收敛性的定义。 多元函数微分方面，本章侧重于偏导数的计算与应用，并详细阐述了方向导数和梯度向量的几何意义——梯度指示了函数增长最快的方向。链式法则在多变量复合函数中的推广是本章的重点和难点，我们通过雅可比矩阵（Jacobian Matrix）的形式来统一表示和计算多重复合函数的导数。 隐函数定理和反函数定理被作为关键工具引入，它们为理解多变量函数的局部行为提供了强大的理论支持。对于极值问题，我们利用海森矩阵（Hessian Matrix，即二阶偏导数矩阵）来判断多元函数的局部极值点（鞍点、极大值点、极小值点），并将这些理论应用于约束优化问题的初步探讨（拉格朗日乘数法）。 第六章 积分学基础与应用 本章从定积分的概念推广到多重积分。黎曼积分的定义在 $n$ 维空间中的推广是本章的理论起点。我们详细讨论了二重积分和三重积分的计算方法，特别是如何利用坐标变换来简化积分区域和被积函数。 雅可比行列式（Jacobian Determinant）在变量替换中的作用被重点解析，这是实现极坐标、柱坐标和球坐标变换的关键数学工具。通过实例，读者将看到如何利用坐标变换简化复杂的区域积分。 本章还简要介绍了曲线积分和曲面积分的基础知识，包括格林公式（Green's Formula）的基本思想，展示了微积分的理论如何自然地从一维推广到二维和三维空间，为物理学和工程学中的场论奠定了必要的分析基础。 附录：复数域上的线性代数 附录部分专门针对复数域 $mathbb{C}$ 上的线性代数进行了补充说明。我们讨论了厄米特（共轭转置）矩阵、酉矩阵的概念，以及它们在线性代数理论中的特殊地位。特征值理论在复数域上的保持，以及与量子力学中“算符”概念的初步联系被简要提及。 本书特色： 本书旨在提供一个严谨、连贯的数学结构，强调代数、几何与分析之间的内在联系。我们通过大量的例题和精心设计的习题，引导读者从具体的计算过渡到抽象的理论构建，培养解决复杂问题的能力。本书特别注重理论的几何解释和实际应用背景的铺垫，而非单纯的技巧训练。

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这本书的理论讲解部分，老实说，有点过于碎片化和跳跃了。作者似乎默认读者已经对某些基础概念有着非常深入的理解，所以很多关键的推导过程被一笔带过，或者直接用一些看似理所当然的结论来支撑下一步的论述。对于我这种在特定知识点上稍微有些薄弱的环节，阅读起来就显得非常吃力，需要不断地查阅其他参考资料来填补中间的逻辑断层。这种“高手视角”的叙述方式，虽然对学霸来说可能是一种高效的巩固，但对于努力追赶进度的普通学生来说，简直是灾难。很多例题的解析也是如此，步骤的省略过多，使得读者很难真正理解“为什么”要这么做，而不仅仅是“怎么”做出来的。如果能增加更多循序渐进的铺垫和详细的背景介绍，这本书的实用价值会大大提升。现在这样，更像是一本面向已经精通此道的工程师的参考手册，而不是面向正在学习的高中生。

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这本书的装帧设计实在是一言难尽，封面那种老气横秋的排版和配色，乍一看还以为是上个世纪的教材。内页的纸张质量也让人捏了一把汗，摸上去有点粗糙，而且油墨味儿挺重的，让人忍不住担心翻多了会不会影响视力。拿到手的时候就有种沉甸甸的感觉，但这种“厚重”更多的是因为纸张的密度而不是内容的充实度。书脊的粘合处感觉不太牢固，每次翻开到中间部分，都得小心翼翼地扶着，生怕一个不小心就散架了。对于现在追求轻薄便携的学习工具来说，这本书的物理形态确实让人有些抗拒。我更希望看到的是更现代、更注重用户体验的设计，而不是这种传统到有些僵硬的刻板印象。不过话说回来，如果只是放在书架上充当摆设，那这种“老派”倒也算是一种风格，只是作为学习工具，它的外观实在没能给我带来太多积极的心理暗示。

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说句公道话，这本书在特定领域的内容深度上还是有所体现的。对于那些处于高考边缘，需要冲击高分的尖子生而言，其中关于某些偏难怪题的分析角度，确实提供了一种全新的思维框架。特别是关于空间几何和解析几何中一些高阶模型的构建描述，虽然晦涩，但如果能啃下来，确实能在考场上提供一些“杀手锏”级别的解题思路。这部分内容显然是作者花费了大量心血去挖掘和总结的，体现了他们对学科前沿的把握。然而，这种极端的深度是以牺牲整体的易读性和适用性为代价的。对于大部分需要稳扎稳打的群体来说，这些“锦上添花”的内容可能远远多于“雪中送炭”的基础知识巩固。总而言之，它更像是一本面向“专业选手”的秘籍，而非一本面向“大众选手”的基础训练手册，定位有些偏差。

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我不得不提一下这本书的排版布局，简直是混乱的典范。在同一页上，正文、注释、例题编号、以及那些所谓的“拓展思考”区域，它们之间的界限非常模糊，经常导致眼睛在快速扫视时找不到重点。尤其是在处理那些复杂的数学公式时，排版上的疏忽就更加明显——有时候上标和下标挤在一起，有时候又留出大片不必要的空白，整体视觉平衡感极差。更糟的是，索引系统的设计也令人费解，很多我记得在第三章出现过的重要定理，在索引里却要通过一个完全不相关的关键词才能找到，查找效率极低。这极大地影响了我在高强度复习阶段的效率，每次都像是在迷宫里摸索。一本数学书，排版清晰度本应是其生命线，而这本书在这方面显然是严重失职了。

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这本书的习题设置存在一个显著的倾向性问题：过分侧重于计算的复杂度和技巧的堆砌，而对数学思想和逻辑推理的培养则显得相对薄弱。许多题目设计得非常“繁琐”，需要进行大量的、重复性的代数运算，稍有不慎就会出错，但这并不代表它考察了学生对核心概念的深刻理解。我希望能看到更多需要灵活运用多种知识点、构建完整逻辑链条的综合题，而不是那些单纯考验“算力”的怪题。此外，很多例题的解答部分，虽然最终结果是对的，但所采用的方法往往是最“绕远”的那种，似乎作者故意为了展示某种不常用的技巧而放弃了更简洁明了的路径。这种误导性的示范，不利于学生形成高效、优雅的解题习惯。教材应当引导学生追求数学的本质美，而不是沉溺于机械的运算泥潭。

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