Representation of Lie Groups and Special Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Vilenkin, N. Ja; Klimyk, A. U.;

出品人:

页数:516

译者:

出版时间:2010-12

价格:$ 224.87

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isbn号码:9789048144860

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• 数学
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《李群与特殊函数表示论》 导言 自二十世纪初以来，李群作为描述连续对称性的核心数学工具，在物理学、几何学、代数学以及更广泛的科学领域中扮演着至关重要的角色。从基础粒子的对称性到微分方程的解，再到微分几何的结构，李群的无处不在深刻地揭示了自然界和抽象数学的内在和谐。而特殊函数，作为一类在数学分析、微分方程、概率论等领域中频繁出现的函数，其研究历史悠久，并且在许多应用中展现出惊人的普遍性和统一性。 本书《李群与特殊函数表示论》旨在深入探讨李群的表示论及其与特殊函数之间的深刻联系。我们将不仅仅满足于介绍这些概念的定义和基本性质，更致力于揭示它们之间错综复杂的相互作用，以及这种联系在解决具体数学和物理问题时所能带来的强大力量。本书的叙述风格力求严谨、清晰，并富含启发性，旨在为读者构建一个坚实的理论框架，并引导读者独立探索更深层次的数学世界。 第一部分：李群基础与表示论入门 本部分将为读者打下坚实的李群理论基础，并初步引入表示论的概念。 第一章：群论回顾与李群的诞生 在深入探讨李群之前，有必要回顾群论的基本概念，包括群的定义、子群、陪集、正规子群、同态、同构等。我们将通过一系列经典的例子，例如对称群、整数加法群、矩阵群，来加深对这些抽象概念的理解。 接着，我们将引出李群的概念。李群是由李（Sophus Lie）在其对连续变换群的研究中发展起来的一类具有连续结构的群。我们将详细阐述李群的拓扑空间结构和群运算的平滑性要求。通过直观的几何例子，例如圆群、一般线性群，我们将体会到李群作为“光滑的群”所具有的特殊性质。我们将探讨李群的生成元和李代数之间的对应关系，这是理解李群性质的关键。李代数的线性结构为研究复杂的李群提供了强大的工具。 第二章：表示论的基本概念 表示论是将抽象代数对象（如群）映射到具体线性代数对象（如向量空间的线性变换群）的理论。本章将系统介绍表示论的基本概念。我们将定义群表示、向量空间、线性算子等基本术语。 我们将重点关注“不可约表示”的概念。不可约表示是表示论的核心，它们如同化学中的基本元素，是更复杂的表示的“积木”。我们将探讨如何分解一个表示为不可约表示的直和，以及这在理解群的结构方面的重要性。 第三章：李群表示论的进阶 本章将把表示论的视角转向李群。我们将讨论李群的表示与李代数的表示之间的关系，即“李群的表示唯一地由其李代数的表示所决定”这一重要定理。我们将深入研究单参数子群在表示中的作用，以及如何通过指数映射将李代数的表示转化为李群的表示。 我们还将引入“酉表示”的概念。酉表示在物理学中尤为重要，因为它们与守恒量和可观测量有关。我们将讨论酉表示的性质，例如其恒正定的性质，以及如何利用其自伴算子性质来研究表示。 第二部分：特殊函数与李群表示 本部分将是本书的核心，我们将深入探讨特殊函数与李群表示论之间的深刻联系，并展示这种联系如何在具体数学领域中得到应用。 第四章：特殊函数概览 在深入探讨联系之前，本章将对一些重要的特殊函数进行系统介绍。我们将涵盖多项式类函数，如勒让德多项式、切比雪夫多项式；超越函数类，如贝塞尔函数、伽马函数、超几何函数；以及更广泛的特殊函数家族。 对于每一种特殊函数，我们将介绍其定义、基本性质、重要恒等式、微分方程以及其在不同数学分支中的应用。我们将强调这些函数通常是某些微分方程的解，而这些微分方程常常源于对物理系统的建模。 第五章：特殊函数与完备正交函数系 本书的一个核心论点是，许多特殊函数在特定的区间上构成了完备的正交函数系。我们将详细解释完备性和正交性的概念，以及它们在函数展开和逼近中的重要性。 我们将以勒让德多项式为例，展示它们如何在区间 [-1, 1] 上构成一个完备正交函数系，以及如何利用勒让德级数来展开任意函数。我们将探讨不同类型特殊函数构成的函数系，例如在不同区间上构成的函数系，以及它们在傅里叶分析等领域中的作用。 第六章：李群表示与特殊函数的交汇 本章将真正揭示李群表示论与特殊函数之间的深刻联系。我们将展示，许多特殊的李群（例如 SO(2), SO(3), SU(2)）的不可约表示，其基函数正是我们熟悉的特殊函数。 以 SO(2) 和 SU(2) 为例，我们将详细推导其表示，并展示如何利用复指数函数和球面谐函数（Legendre Functions）来描述这些表示的基。我们将深入探讨球面谐函数作为 SO(3) 和 SU(2) 的表示的基函数，并解释它们在量子力学角动量理论中的核心作用。 我们将进一步讨论，这些特殊函数之所以出现在李群的表示中，是因为它们是相应李代数的特征函数，并且满足特定的微分方程，而这些微分方程正是李群作用在特定空间上的自然结果。 第七章：特殊函数恒等式的表示论解释 本书的一个重要目标是提供一个统一的视角来理解大量看似独立的特殊函数恒等式。我们将展示，许多著名的特殊函数恒等式，例如加法公式、乘法公式、积分公式等，都可以从李群表示论的视角得到深刻的解释。 例如，我们将以贝塞尔函数的加法公式为例，展示如何利用例如 SL(2, R) 这样的李群的表示性质来推导出这些公式。我们将证明，当不同的表示在特定条件下相乘或组合时，其产生的函数将满足特定的恒等式，而这些恒等式正是特殊函数的已知恒等式。这种方法不仅提供了新的推导技巧，更揭示了这些恒等式背后的深刻数学结构。 第三部分：应用与展望 本部分将展示李群与特殊函数表示论在各个领域的应用，并对未来的研究方向进行展望。 第八章：物理学中的应用 李群与特殊函数表示论在物理学中有着极其广泛的应用。本章将重点介绍以下几个方面： 量子力学：我们将详细阐述 SU(2) 群表示在描述自旋和角动量中的核心作用。球面谐函数作为 SO(3) 和 SU(2) 表示的基，是求解薛定谔方程时不可或缺的工具，尤其是在处理中心力场问题时。 粒子物理学：我们将简要介绍一些更高级的李群，如 SU(3) 和 SU(2) × U(1)，它们构成了标准模型的基础。这些群的表示论有助于理解基本粒子的分类和相互作用。 经典力学与可积系统：某些可积系统的解可以利用李群的表示论来构造，特殊函数在其中扮演着重要角色。 第九章：数学中的应用 除了物理学，李群与特殊函数表示论在纯粹数学领域也发挥着重要作用： 微分几何：李群在对称性分析和微分方程的求解中起着关键作用，而特殊函数则常常是这些方程的解。 调和分析：李群的表示论是调和分析的重要组成部分，特别是非交换调和分析。特殊函数作为这些群的表示的基，在傅里叶分析和卷积运算中起着核心作用。 代数几何：在某些代数几何的研究中，也会涉及到特殊的群和函数。 第十章：前沿研究与未来展望 本书的最后一章将对该领域的前沿研究进行概览，并展望未来的发展方向。我们将简要提及一些尚未完全解决的问题，例如： 更一般的李群的表示论：如何更有效地研究和计算更复杂的李群，尤其是非紧李群的表示。 特殊函数的新性质和应用：随着新的数学和物理问题的出现，我们可能会发现更多具有代表性的特殊函数，以及它们在新的领域的应用。 李群表示论与计算机科学的交叉：利用群表示论的思想来设计更高效的算法，例如在密码学和数据分析领域。 结论 《李群与特殊函数表示论》力求为读者提供一个全面而深入的理解，揭示这两个看似独立但实则紧密相连的数学分支之间的深刻联系。通过本书的学习，读者不仅能够掌握李群表示论和特殊函数的理论知识，更能深刻理解它们在解决实际问题中所展现出的强大威力。我们相信，本书将成为有志于深入探索现代数学和物理学领域的研究者和学生的宝贵参考。

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我花了整整一个下午，才大致浏览完前三章的绪论部分，但收获颇丰。这本书的叙述逻辑之严密，堪称一绝。它不像有些著作那样，在引入新概念时留下一堆“读者应已熟悉”的黑洞，而是扎扎实实地从最基础的拓扑性质讲起，步步为营，直至构建起李群的完整框架。尤其值得称赞的是，作者在阐述群作用与微分流形之间的关系时，采用了一种“螺旋上升”的教学法，每深入一层理论，都会回过头来用更成熟的视角重新审视和深化先前的内容，这种处理方式极大地增强了知识的连贯性和内在统一性。我注意到，作者在证明过程中，对每一个关键的引理和定理都给出了详尽的推导，没有丝毫的跳跃或含糊不清的地方，这对于我这种需要完全掌握证明细节的研究者来说，简直是福音。可以预见，这本书将成为我案头常备的工具书，随时可以从中汲取严谨的数学思想。

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坦白说，对于我这种偏向应用数学背景的读者而言，初读此书时确实感受到了不小的挑战。书中对于某些抽象代数结构和复杂的拓扑空间处理得极为深入和彻底，远超我预期中对“入门”书籍的要求。然而，当我克服了最初的畏难情绪，开始专注于其构建的系统性时，才领悟到这种“彻底”的必要性。作者似乎并不满足于提供一个可用的模型，而是致力于揭示其背后的本质结构。在处理特征函数和表示理论时，书中引入了一些我此前接触较少的工具，虽然需要花费大量时间去理解这些新工具的内在机理，但一旦掌握，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。这本书就像一个需要耐心攀登的高山，虽然过程艰辛，但山顶的风景绝对值得。它不是一本“速成”读物，而是一部需要投入大量心力去“征服”的学术巨著。

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这本书的装帧设计非常考究，封面采用了沉稳的深蓝色调，配以精致的烫金字体，整体散发着一种经典而厚重的学术气息。初次翻开时，我就被其清晰的排版和详尽的图示所吸引。作者在介绍基础概念时，并没有采取那种教科书式的干巴巴的陈述，而是通过一系列精心构造的例子，逐步引导读者进入复杂的数学世界。特别是对于群论的直观解释部分，作者似乎下了很大功夫，力求将抽象的代数结构转化为读者可以把握的几何图像。那种深入浅出的叙述方式，让初学者在面对看似高不可攀的理论时，也能找到坚实的立足点。纸张的质量也相当不错，触感温润，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到过分疲劳，这对于一本需要反复查阅的专业书籍来说，是一个巨大的加分项。整体来看，这本书的物质呈现已经达到了专业出版物的上乘水准，让人爱不释手。

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这本书的价值，我认为很大程度上体现在其对不同数学分支的“桥接”作用上。它巧妙地将群论的代数结构、流形理论的几何基础以及分析学中的傅里叶变换思想融为一炉，展现出数学作为一个整体的内在美感。例如，在讨论不可约表示的完备性时，作者引入的工具和视角，清晰地展示了为什么这些抽象的代数对象在处理物理学中的对称性问题时会如此有效和自然。不同于许多过于专注于单一领域的专著，这本书提供了一个宏观的视角，让人能够理解不同数学分支如何相互支撑、共同描绘现实世界的结构。对于希望构建扎实、全面数学知识体系的研究生或学者来说，这本书提供的这种跨学科的洞察力，是其最宝贵的财富之一，它培养的不仅仅是计算能力，更是对数学结构本质的深刻洞察。

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这本书的语言风格充满了老派数学家的严谨与克制，但也透露出一种对学科深厚的热爱。作者在行文间偶尔会穿插一些历史性的注解，简要提及某个重要概念的提出背景或某个定理的发现历程，这些小小的“花絮”非但没有打断流畅的数学推导，反而为冰冷的公式注入了一丝人情味，让人感到自己并非在与一套僵硬的规则对话，而是在与一个智慧的头脑进行交流。我特别欣赏它对“不变性”这一核心思想的反复强调，从对称群到哈尔测度，作者始终将读者的注意力锚定在这些深刻的几何与代数共性上，这有助于建立起一种更高层次的理解视角，而非仅仅停留在计算的层面。这种深层次的哲学思辨融入严谨的数学框架之中，使得阅读体验远超一般的技术手册。

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