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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Anker, Jean-Philippe (EDT)/ Orsted, Bent (EDT)

出品人:

页数:183

译者:

出版时间:2005-1-4

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817637774

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《群与几何的深刻对话：从对称性到非欧空间》 本书并非一本关于“Lie Theory”的特定著作，而是旨在探索一群同样迷人且深刻的数学分支——群论、几何学以及它们之间错综复杂的相互作用。我们将踏上一段旅程，从理解最基本对称性的概念出发，逐步深入到抽象代数的精妙世界，再到空间形态的丰富多样。在这场跨越不同数学领域的探索中，我们将揭示隐藏在自然界和人造结构中的普遍规律，并领略数学思维的强大力量。 第一部分：对称性的语言——群论的基石 在日常生活中，“对称”是一个我们熟悉的词语。一面镜子里的倒影，一个正方形绕中心旋转四次后重合，这些都是对称性的体现。然而，在数学中，对称性拥有更为严谨和普适的定义，而定义这种抽象概念的工具，便是群论。 我们将从介绍群的基本概念开始，比如集合、二元运算、单位元和逆元。通过一系列直观的例子，例如整数加法群、对称群（置换群）、矩阵群，我们会体会到群的结构如何捕捉了“操作”和“组合”的本质。我们将学习如何区分不同的群，如何判断两个群是否“相同”（同构），以及如何理解群的内部结构，例如子群、正规子群和商群。这些概念如同词汇表，为我们理解更深层次的数学理论奠定基础。 接着，我们将深入探讨有限群的性质。置换群在理解多项式方程的根的置换结构方面扮演着至关重要的角色，这便是伽罗瓦理论的开端。虽然本书不直接探讨伽罗瓦理论，但对置换群的研究将为我们理解数学中更广泛的对称性概念提供一个绝佳的入口。我们还会接触到群作用的概念，它描述了一个群如何作用于一个集合，产生置换。这就像一个时钟的指针，它们按照群的规则（时针、分针、秒针的运动）在表盘（集合）上移动。群作用将是连接群论与几何学的桥梁，帮助我们理解几何对象的对称性。 第二部分：空间的形态与度量——几何学的奥秘 从古希腊欧几里得的《几何原本》开始，几何学便一直是数学中最具视觉性和直观性的分支之一。本书将带领读者穿越不同历史时期的几何学发展，从欧几里得几何的经典定理，到非欧几里得几何的革命性突破。 我们将回顾欧几里得几何的基本概念：点、线、面、角度、长度、面积以及它们之间的关系。我们将学习勾股定理，理解三角形的全等和相似，以及多边形和圆的性质。这些基础知识不仅是我们理解后续内容的关键，也是我们理解空间结构的基础。 然而，几何学的疆域远不止于此。我们将探讨微分几何的初步思想，它研究的是可微流形上的几何性质。想象一下，我们不再局限于平坦的平面，而是可以在曲面上行走，例如地球的表面。微分几何提供了一套工具来描述曲率、测地线（在曲面上两点之间最短的路径）等概念。我们将接触到向量场、切空间等概念，它们是描述曲面上局部几何性质的语言。 紧接着，我们将进入拓扑学的领域。拓扑学研究的是在连续形变（拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的形状的性质。一个咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑学看来是“相同”的，因为它们都可以通过连续形变相互转换。我们将学习同胚、同伦等概念，理解空间的连通性、孔洞的数量（例如，一个球体没有孔洞，而一个轮胎有一个孔洞）等拓扑不变量。拓扑学为我们提供了一种更抽象、更普适的理解空间形态的方式。 第三部分：对称与空间的交织——群论与几何学的深刻融合 本书的核心魅力在于展现群论与几何学之间令人惊叹的联系。对称性不仅仅是几何对象的属性，更是理解空间结构的关键。 我们将深入探讨对称群的概念。对于一个几何对象，其所有保持该对象不变的变换构成了一个群，这就是它的对称群。例如，正方形的对称群包含了旋转和反射，而一个等边三角形的对称群则更小。通过研究一个对象的对称群，我们可以深刻地理解它的结构和性质。 更进一步，我们将探索变换群在几何学中的作用。一个变换群可以定义一种几何。例如，欧几里得变换群（平移、旋转、反射）定义了欧几里得几何。而仿射变换群（包括缩放）则定义了仿射几何。当我们考虑更抽象的变换群时，我们就可能触及非欧几里得几何。 非欧几里得几何的诞生是数学史上的一个里程碑。它挑战了欧几里得第五公设（平行公设），并由此发展出黎曼几何和双曲几何等理论。我们将探讨这些几何学是如何通过引入不同的公理系统来描述空间的，以及它们与特定的变换群之间的对应关系。例如，双曲几何中的几何性质可以通过一个特定的变换群来刻画，这个群作用在特定的几何空间上。 本书还将触及李群的初步思想，尽管不深入其技术细节。李群是一类特殊的连续群，它们同时也具有光滑流形的结构。李群在描述连续对称性方面扮演着至关重要的角色，例如在物理学中描述连续的对称性变换，如旋转对称性。我们将理解李群如何将离散的群论概念推广到连续的领域，以及它们在研究微分方程和微分几何中的重要性。 结论：数学之美，在于其联系 《群与几何的深刻对话》并非一本教科书，而是一次思想的旅行。它旨在激发读者对数学的兴趣，展现不同数学分支之间相互关联、相互启发的魅力。我们将看到，从抽象的群论到具象的几何空间，数学的语言是如何统一而又深刻地描绘着我们周围的世界，以及那些超越我们日常直觉的奇妙结构。 通过理解对称性的普适性，以及空间形态的多样性，我们不仅能更好地欣赏数学的严谨与优雅，更能培养一种跨领域的、抽象的思维方式。这种思维方式将有助于我们理解自然界的规律，解决现实世界中的挑战，并不断拓展人类知识的边界。本书将是一次关于数学之美的深刻体验，一次关于理解世界最本质规律的探索之旅。

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这本书的封面设计确实很有吸引力，那种深邃的蓝色调和烫金的字体，一下子就抓住了我的眼球。刚拿到手的时候，我还在想，这会不会是一本晦涩难懂的学术著作。翻开第一页，那种厚重感和纸张的质感都让人觉得这是一本值得细细品味的佳作。我本来对数学理论类的书籍都有点敬而远之，总觉得里面充满了各种复杂的公式和抽象的概念，读起来会非常枯燥。但这本书的排版和插图设计却非常巧妙，即使是那些看起来很复杂的概念，作者也尽可能地用清晰的图示来辅助说明，这极大地降低了阅读门槛。我记得有一次，我对着一个定理研究了很久，感觉完全陷入了死胡同，但当我看到书中关于这个定理的几何解释时，那种豁然开朗的感觉真是太美妙了。作者似乎非常理解读者的困惑点，总能在关键时刻给出恰到好处的引导，而不是生硬地抛出结论。这种循序渐进的教学方式，让我对原本感到畏惧的领域产生了浓厚的兴趣。

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这本书的行文风格实在是太“活泼”了，完全颠覆了我对数学书籍的刻板印象。作者的语言充满了幽默感，偶尔还会穿插一些与数学发展史相关的小故事，读起来就像是在听一位知识渊博的长者在娓娓道来，而不是在啃一本教科书。有一次，读到一个关于某个群结构的讨论，作者竟然用了“这位‘叛逆’的数学家提出了一个惊世骇俗的观点”这样的描述，让我忍不住笑出了声。这种富有个性的表达，使得原本枯燥的理论推导过程变得生动有趣起来。我甚至会期待着下一页会看到什么样的“惊喜”。更难得的是，这种轻松的氛围并没有牺牲内容的严谨性。所有的定义和证明都依然是无可挑剔的，只是被包裹了一层非常友好的外壳。对于我这种需要依靠兴趣来驱动学习的人来说，这本书简直是量身定做，它让我意识到，严肃的学术探讨也可以充满乐趣。

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坦白说，我之前对这个领域的基础理解非常薄弱，很多概念都是一知半解。拿起这本书，我带着一种“试试看吧”的心态。这本书的结构设计非常合理，它似乎把读者最常犯的错误和最容易混淆的地方都预设到了，并且提前设置了“陷阱”或者“澄清点”。比如，它对一个非常基础但容易被误解的概念，用了整整三页的篇幅进行对比分析，不仅解释了什么是对的，更详细论述了为什么那些看似合理的错误想法是行不通的。这种“反向教学”的思路非常高明，它帮助我彻底清除了那些潜藏的认知障碍。我不再是单纯地记忆公式，而是开始理解这些结构背后的内在逻辑和必然性。这对于建立牢固的数学直觉至关重要，这本书在这方面做得非常出色，简直是理论构建的典范。

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我花了很长时间才读完这本书，这不是因为它太难，而是因为内容实在太丰富，我总是忍不住停下来思考和查阅相关的背景资料。这本书的广度令人称奇，它不仅仅停留在基础概念的介绍上，更是深入探讨了许多前沿的应用方向。尤其让我印象深刻的是关于对称性在物理学中作用的章节，作者将抽象的代数结构与实际的粒子行为联系起来，那种宏大的视野和精密的逻辑结合，让人不得不惊叹于数学的强大力量。我常常在想，如果我在大学时代就能接触到这样一本教材，我的学习路径会不会完全不一样？它不只是知识的罗列，更像是一张详尽的地图，指引着读者探索更深层次的数学世界。读完后，我感觉自己对整个学科的脉络有了更清晰的认识，不再是零散的知识点，而是一个相互关联的有机整体。

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这本书的脚注和参考文献部分，简直是为深度学习者准备的宝藏。虽然正文已经足够详尽，但作者在页脚处总会附带一些非常精彩的“八卦”或者指向更深层理论的提示。很多时候，一个看似不起眼的脚注，其实指向了一个更高级的定理或者一个尚未完全解决的开放性问题。我花了不少时间在追踪这些引用上，这极大地扩展了我对相关研究领域的了解。我发现，这本书并不仅仅是为了教“是什么”，更是为了培养读者的研究思维——鼓励读者去质疑、去探索、去连接不同的知识点。对于希望未来能从事相关研究工作的人来说，这本书提供的视野和引导价值是无法估量的。它不仅仅是一本教科书，更像是一位导师在耳边低语，引导你走向更广阔的学术前沿。

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