Lie Theory and Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Brylinski, J. L.; Brylinski, Jean-Luc; Kac, V.

出品人:

页数:644

译者:

出版时间:1994-11-1

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817637613

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• Mathematical Physics
• Lie Groups
• Lie Algebras

《群、环与对称性：代数几何的桥梁》 简介 数学的宏伟殿堂中，存在着一些基础而深刻的结构，它们如同看不见的丝线，将看似迥异的数学分支巧妙地编织在一起。李群（Lie groups）和李代数（Lie algebras）便是其中最令人着迷的例子，它们以优雅的方式捕捉了连续对称性的本质，并为几何学、代数几何、微分方程乃至物理学等众多领域提供了统一的语言和强大的工具。本书《群、环与对称性：代数几何的桥梁》正是旨在深入探索这一迷人领域，揭示李群和李代数如何作为连接代数与几何的桥梁，为理解复杂的数学对象提供全新的视角。 本书并非对李群和李代数技术的枯燥罗列，而是力求勾勒出其核心思想的内在逻辑与发展脉络。我们将从最基础的概念入手，逐步构建起对李群和李代数本质的深刻理解。读者将首先接触到群论的基石，了解群的定义、性质及其在对称性中的直观体现。随后，我们将引入李群这一概念，认识到它们是如何在连续的变换中展现出结构的。想象一下旋转、平移这些连续的几何操作，它们构成的集合便是一个李群。理解李群的精妙之处在于，我们不仅关注其离散的元素，更重要的是把握其“连续性”所带来的丰富信息，而这恰恰是通过其伴随的李代数来捕捉的。 李代数，可以看作是李群在单位元附近的“线性化”近似，是理解李群内在结构的关键。本书将详细介绍李代数的定义、运算（如李括号）及其重要的分类。我们将看到，不同的李群对应着不同的李代数，而李代数的代数结构则深刻地反映了其对应李群的几何性质。例如，熟悉的向量空间上的线性变换构成的群，其李代数便是矩阵的加法和交换子运算，这为我们理解更抽象的李群提供了具体的模型。 本书的独特之处在于，它将李群和李代数置于代数几何的广阔背景下进行考察。代数几何研究由多项式方程定义的几何对象，如曲线、曲面等。而李群和李代数则为研究这些代数几何对象的对称性提供了强大的工具。想象一个代数簇（algebraic variety），我们如何描述它的对称性？答案往往就隐藏在作用于这个簇的李群中。李群可以看作是代数簇上的“连续自同构群”，它们保留了代数簇的几何和代数结构。通过研究作用于代数簇的李群及其李代数，我们可以揭示代数簇的深刻结构、分类以及其上的各种性质。 例如，我们将在书中探讨李群如何作用于向量空间，形成“表示论”的经典主题。表示论研究的是如何用线性变换来“实现”群的抽象结构，这在代数几何和物理学中都扮演着至关重要的角色。本书将引导读者理解李群表示的分解、不可约表示等核心概念，并阐述这些概念在理解代数簇的几何性质方面的应用。 进一步地，本书将深入探讨李群和李代数在经典群（classical groups）中的具体表现。经典群，如一般线性群、正交群、辛群等，在数学和物理中无处不在。我们将解析它们的李代数结构，理解它们在保留特定几何形式（如度量、辛形式）时的对称性。例如，正交群的李代数描述了保持向量长度不变的线性变换的无穷小生成元，这与几何中的旋转和反射紧密相关。 本书还将触及李群和李代数在更抽象的代数几何构造中的应用。例如，我们将会探讨李群在代数簇的“构造”（construction）和“分类”（classification）中的作用。某些代数簇本身就可能是一个李群，或者是由李群作用产生的。通过理解李群的结构，我们可以更好地理解这些代数簇的几何特性。 此外，本书还将引导读者接触一些更高级的主题，例如： 李群的指数映射 (Exponential Map)：这是连接李代数和李群的核心工具，它允许我们从李代数的元素“生成”出李群的元素，是理解连续变换的关键。 李群的子群与子代数 (Subgroups and Subalgebras)：研究李群的子结构，可以帮助我们理解更复杂的李群的性质，并与代数几何中的子簇形成有趣的类比。 完备性定理 (Completeness Theorems)：这些定理建立了李代数与李群之间深刻的对应关系，是理论的基础。 表示的张量积与外积 (Tensor Products and Exterior Products of Representations)：这些构造在代数几何中用于构建新的代数簇和研究其上的对称性。 本书的写作风格力求清晰、严谨且富有启发性。我们不仅会给出严格的定义和定理证明，还会辅以大量的例子和几何直观，帮助读者建立起深刻的理解。目标是让读者在掌握了李群和李代数的工具的同时，也能深刻体会到它们在代数几何中的重要地位及其普适性。 《群、环与对称性：代数几何的桥梁》适合对代数、几何以及数学的交叉领域感兴趣的研究生、高年级本科生以及有志于深入理解数学理论的研究人员。阅读本书将为读者打开一扇通往更广阔数学世界的大门，使他们能够以全新的视角去审视那些曾经看似晦涩的代数几何对象，并从中发现隐藏的对称之美。我们相信，通过对李群和李代数的深入探索，读者将能更好地理解数学的统一性，以及对称性在构建数学理论中所扮演的不可或缺的角色。

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这本书简直是一场智力上的探险，将抽象的代数结构与直观的几何图像完美地交织在一起。初次翻阅时，我被那种严谨而优雅的逻辑深深吸引。作者似乎有着一种将深奥概念转化为可理解叙述的天赋，即便是在处理像李群这样复杂的对象时，也能找到一条清晰的路径。特别是关于李括号的引入和其在无穷小变换中的作用的阐述，让我对对称性有了全新的认识。书中的例子选取得非常巧妙，它们不仅有助于理解理论的细节，还能展现出该理论在物理学，尤其是广义相对论中的实际应用潜力。尽管某些章节的推导过程需要反复咀嚼，但这恰恰是深度学习的标志。它不是一本让你囫囵吞枣的书，而是要求你投入时间去消化的经典之作。读完后，我感觉自己的数学工具箱里多了一件极其精密的仪器，能够以前所未有的精度审视和分析连续对称性。

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阅读体验是极其考验耐心的，但其回报却是无与伦比的。这本书的独特之处在于，它毫不留情地将读者置于一个需要高度抽象思维的环境中，但同时又提供了足够的几何直觉作为锚点。我个人认为，书中对于李群与李代数之间同构关系的论证部分，是整本书的精髓所在。作者没有简单地陈述结论，而是用一系列精心设计的步骤，层层剥开现象，直达本质。这使得读者在理解时，不仅知其然，更知其所以然。它对细节的重视程度令人敬佩，每一个定义、每一个引理的提出都服务于一个更大的、统一的理论框架。对于想深入理解现代几何物理学基础的严肃学习者来说，这本书是必须要啃下的硬骨头，一旦攻克，收获的将是思维上的彻底升华。

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对于希望从经典微分几何过渡到现代微分拓扑领域的读者而言，这本书就像一座至关重要的桥梁。它没有过多纠缠于繁琐的计算细节，而是专注于提炼出那些驱动整个理论体系运转的核心概念。特别是作者对于“无穷小”这个概念的把握，极具功力。他能将一个看似微小的扰动，通过对李代数的精确分析，放大并解释出整个群的全局性质，这种“以小见大”的叙事手法极为高明。虽然阅读过程需要极高的专注力，但我发现自己对“为什么某些操作在局部成立，却能推导出全局的普适性”有了更深刻的体会。这本书的价值不在于提供了一堆可以直接套用的公式，而在于培养读者一种对结构和对称性的敏锐直觉。

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这本书为我提供了一个看待几何和代数关系的全新视角。它不仅仅是工具书，更像是一部哲学著作，探讨了“连续性”本身的数学本质。最让我印象深刻的是关于表示论的部分，作者如何通过分析群作用在向量空间上的方式来揭示群的内在结构，这一过程的叙述流畅且富有洞察力。例如，在描述紧致群的紧化结构时，那种从基础概念逐步构建起复杂模型的构建方式，让人感到数学的美学在此达到了极致。我发现自己开始下意识地用李群的语言去分析我遇到的其他数学问题，这表明这本书已经成功地重塑了我的思维模式。对于那些想将纯数学研究深入到几何分析领域的人来说，这本书无疑是绕不开的里程碑式的参考资料。

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说实话，这本书的深度让人有些望而生畏，但坚持读下去绝对是值得的。它不像市面上许多“速成”教材那样迎合初学者，而是坚定地站在一个高起点上，带领读者直面现代数学的核心挑战。我特别欣赏作者在处理流形上向量场和微分形式时的细腻笔触。那种将切空间上的线性代数运算，映射到流形上宏观几何行为的转换过程，处理得极其精妙。书中对指数映射的讨论，详尽到令人发指，仿佛在解剖每一个参数如何影响群的结构。如果你的背景知识不够扎实，可能会感到吃力，但这正是它的价值所在——它迫使你巩固基础，去真正掌握那些“为什么”而不是仅仅记住“是什么”。读这本书就像攀登一座技术高峰，虽然气喘吁吁，但一旦到达顶端，视野便豁然开朗。

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