具体描述
本书是计算机定量学科中的一门基础教材。本书对二分法、迭代法、牛顿法等重要数值方法做了深入浅出的介绍,同时还用大量篇幅讲述了矩阵与特征向量、曲线拟合函数、 数值积分、常微分方程等数值计算知识。本书的目的是要通过此课程的学习,让学生们掌握数值方法的基本思想和技巧,学会误差分析,并把它们融汇于编程解题过程中去。本书还增加了一些应用实例,这样结合了计算机编程,便于自学。通过本书的学习,相信学生们能很好掌握数值方法的全部内容,并在将来的工程技术领域发挥其越来越大的作用。
作者简介
目录信息
序 言
第1章 误差
1.1误差的来源与分类
1.2误差与有效数字
1.3函数的误差估计
1.4近似数的四则运算及数值计算中需注
意的几个问题
第2章 非线性方程求根
2.1多项式及代数方程根的界
2.1.1多项式
2.1.2代数方程根的界
2.2二分法（分半法）
2.3迭代法
2.4牛顿法
2.4.1牛顿法的内容
2.4.2牛顿法的改进
2.5迭代法的收敛阶
2.6劈因子法
第3章 解线性方程组直接法
3.1高斯消元法
3.1.1高斯消元法
3.1.2主元素消去法
3.1.3高斯―约当消去法
3.1.4运算量估计
3.2三角分解法
3.2.1道立特（Doolittle）分解法
3.2.2平方根法
3.2.3追赶法
第4章 解线性方程组的迭代法
4.1向量和矩阵的范数
4.1.1向量范数
4.1.2矩阵范数
4.1.3谱半经
4.2线性方程组的误差分析
4.2.1条件数
4.2.2误差估计及改善方法
4.3雅可比（Jacobi）方法和高斯－赛德尔（Gauss－Seidel）方法
4.3.1雅可比（Jacobi）方法
4.3.2高斯―赛德尔（Gauss－Seidel）迭代法
4.4迭代法的收敛性
4.5松弛法
4.6斜量法
4.6.1最优斜量法
4.6.2共轭斜量法
第5章 矩阵的特征值与特征向量的计算
5.1幂法
5.1.1幂法
5.1.2幂法的改进
5.1.3原点平移法
5.1.4反幂法
5.2 雅可比方法
5.2.1平面旋转变换
5.2.2雅可比方法的计算讨论
5.2.3雅可比过关法
第6章 插值法
6.1插值多项式
6.1.1牛顿插值多项式
6.1.2拉格朗日插值多项式
6.1.3插值多项式的误差
6.2等距节点插值多项式
6.2.1差分算子的形式运算
6.2.2讨论向前差分的性质
6.2.3等距节点牛顿插值公式
6.3爱尔米特插值
6.4高次插值讨论
6.5样条多项式
6.5.1样条多项式的形成及定义
6.5.2三转角方程
6.5.3三弯矩方程
6.6离散富氏变换及其快速算法
6.6.1三角函数插值及离散富氏变换
6.6.2快速富里叶变换
6.6.3实序列的FFT
第7?曲线拟合与函数逼近
7.1曲线拟合的最小二乘法
7.1.1最小二乘原理
7.1.2最小二乘法解矛盾方程组
7.1.3实例
7.1.4权
7.2用正交函数作最小二乘拟合
7.3函数的最佳逼近
7.3.1最佳平方逼近
7.3.2最佳一致逼近
7.3.3切比雪夫多项式及其应用
第8章 数值积分
8.1牛顿―柯特斯公式
8.1.1梯形公式
8.1.2辛甫生公式
8.1.3牛顿―柯特斯公式
8.1.4牛顿―柯特斯公式的讨论
8.2 复合积分公式
8.2.1复合梯形公式
8.2.2复合辛甫生公式
8.2.3复合公式之间的关系
8.3龙贝格积分
8.4高斯型积分
8.4.1引言
8.4.2正交多项式及其性质
8.4.3高斯型积分
8.4.4几个特殊正交多项式及其应用
8.5数值微分
8.5.1由泰勒展开得到的数值微分公式
8.5.2运用插值函数求微商
8.5.3利用数值积分公式求微分章常微分方程数值解
9.1引言
9.2欧拉方法
9.2.1欧拉公式
9.2.2欧拉公式的改进
9.3龙格―库塔法
9.4线性多步法
9.4.1收敛性
9.4.2稳定性
9.5方程组与高阶方程
9.5.1基于数值积分的构造法
9.5.2基于泰勒展开的构造法
9.6 微分方程与高级方程
9.6.1一阶微分方程组
9.6.2 高阶微分方程
9.7 边值问题的数值解
9.7.1打靶法
9.7.2有限差分法
第10章 偏微分方程数值解
10.1波动方程
10.2一维热传导方程
10.3调和方程（拉普拉斯方程）
附录A 数值方法习题参考答案
附录B部分上机练习参考解答
· · · · · · (收起)
读后感
用户评价
说实话，我最初拿到这本书时，有点担心它会像很多教科书那样，充满了晦涩难懂的数学符号，读起来让人昏昏欲睡。我更偏向于那种能将理论与实际应用紧密结合起来的读物。然而，这本书成功地做到了知识的“可视化”。它在讲解特征值分解和奇异值分解（SVD）时，配上了大量的几何解释，让我立刻明白了这些矩阵操作背后所代表的空间变换——矩阵不再是冷冰冰的数字，而是鲜活的几何操作。特别是关于数值稳定性那一章，作者没有用那种空洞的理论陈述，而是举了一个经典的病态矩阵例子，生动地展示了微小输入扰动如何被放大成巨大的输出误差。这让我猛然意识到，在编写代码实现算法时，数据预处理和尺度选择是多么关键。通过书中提供的Python伪代码示例（虽然没有直接提供完整的编译代码，但足够启发思路），我能够迅速地将抽象的数学概念转化为可执行的逻辑框架。这本书的叙事节奏非常棒，理论的引入恰到好处，总是在你需要的时候给出支撑，而不是一开始就用大段的定义把你淹没。它真正培养了读者的“数值直觉”，而不是仅仅记忆公式。
作为一名从事金融量化研究的同行，我一直在寻找一本能够清晰梳理随机过程模拟与偏微分方程（PDE）数值解法的书籍。市面上的很多书要么过于侧重纯数学的rigor，要么就停留在入门级的有限元应用。这本书在这方面找到了一个绝佳的平衡点。它对蒙特卡洛模拟的深入探讨，特别是方差缩减技术（如控制变量法和重要性抽样），讲解得极其透彻，让我对如何优化我的期权定价模型有了新的思路。更令人称赞的是，它没有回避高维问题的挑战。在处理涉及多个变量的金融衍生品时，传统的网格方法计算量是指数级增长的。书中对稀疏网格和多尺度方法在求解高维扩散方程上的应用进行了精彩的概述，虽然篇幅不长，但指明的方向非常明确，为我后续的深入研究提供了清晰的路线图。这本书的深度在于它敢于触及那些在实际工程和金融领域中真正让人头疼的“硬骨头”，并提供了切实可行的数学工具来啃下它们。它不是一本读完就能立刻成为专家的书，但它绝对是一本能让你在专业领域内认知边界扩展的书。
阅读这本书给我带来的最大震撼，来自于它对算法复杂度和效率的毫不妥协的分析。在计算资源日益昂贵的今天，一个算法的效率往往决定了项目的生死。作者在对比直接求解法（如高斯消元法）和迭代求解法（如雅可比、高斯-赛德尔以及更高级的预条件共轭梯度法）时，不仅仅停留在计算量$O(n^3)$和$O(n^2)$的对比上，而是更进一步地讨论了在实际稀疏矩阵系统中，预处理器的设计如何影响迭代法的收敛速度，以及如何选择最优的预处理器。书中对迭代法的收敛分析，特别是拉普拉斯算子等典型离散问题的处理，逻辑链条非常完整。我特别欣赏作者对“矩阵填充”问题的讨论，这在处理大型有限元网格时是一个核心痛点。这本书没有提供一个“一刀切”的解决方案，而是系统地展示了每种方法的内在局限性和优化潜力。它教会我，数值方法的核心不在于知道公式，而在于理解公式背后的计算几何和复杂度约束。这本书无疑是为那些希望从“使用数值方法”进阶到“设计数值方法”的读者准备的深度教程。
我得承认，我不是数学专业出身，对那些纯粹追求极限和收敛性的证明感到有些畏惧。我的目标是快速、准确地将计算方法应用到我的气象模型数据同化工作中。这本书的优点在于其组织结构极为“工程导向”。每一章节的介绍，都清晰地标明了所介绍方法的适用范围（例如，适用于什么类型的矩阵结构，处理什么性质的函数等）。它在讨论插值和拟合时，并没有拘泥于拉格朗日多项式，而是花了大量的篇幅讲解样条插值，特别是样条函数的构造和边界条件的设定，这对于平滑处理我们采集到的不规则气象观测数据至关重要。当我需要对全球海温数据进行插值时，书中对样条函数在保持局部光滑性方面的优势的论述，直接指导了我选择Cubic Spline而非简单的线性插值。此外，书中的附录部分对常见数值计算库（如LAPACK或BLAS接口的理念）的简要介绍，也为我快速上手实际编程打下了坚实的基础。这本书的语言朴实有力，逻辑链条清晰，几乎没有让人感到“为了证明而证明”的冗余内容。
这本书简直是为我们这种在工程领域摸爬滚打的人量身定做的！我最近在处理一个复杂的流体力学模拟问题时，遇到了一个棘手的非线性方程组，传统的解析方法根本无从下手。正当我焦头烂额之际，翻开了手边的这本“宝典”。它没有直接给我一个现成的答案，但它通过极其详尽的推导和丰富的实例，把那些看似高深的迭代算法，比如牛顿法及其各种改进形式，讲解得如同庖丁解牛一般清晰。最让我印象深刻的是，作者没有停留在算法的理论层面，而是深入探讨了不同方法在收敛速度、稳定性和计算成本上的权衡。书中对误差分析部分的处理尤其到位，清楚地说明了为什么某些情况下我们必须选择局部收敛但鲁棒性更强的算法，而不是一味追求超线性收敛。我立刻将书中的有限差分方法应用于我的网格划分，并且根据书中的建议，调整了时间步长的选择策略，结果模拟的稳定性立刻得到了质的飞跃。这本书更像是一位经验丰富的老教授，在你迷茫时，不是直接递给你一把万能钥匙，而是教你如何识别不同的锁，并为你打造最合适的开锁工具。这本书的实用性和深度，远远超出了我对一本教材的期望。
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