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出版者:世界图书出版公司

作者:Peter Borwein Tamas Erdelyi

出品人:

页数:480

译者:

出版时间:2011-7-1

价格:59.00元

装帧:

isbn号码:9787510037573

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

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《多项式与多项式不等式》：探索数学的优雅与力量 在数学的广阔天地中，多项式无疑是最基本、却又蕴含着无限魅力的代数结构之一。它们如同乐高积木，可以组合出各种各样的复杂函数，在科学、工程、经济以及计算机科学等诸多领域发挥着至关重要的作用。《多项式与多项式不等式》这本书，将带领读者踏上一段深入理解和掌握这一核心数学工具的旅程。 本书并非仅仅罗列枯燥的定义和公式，而是力图展现多项式数学的内在逻辑和美学。从最基础的多项式运算——加、减、乘、除，到更深层次的因式分解、根的性质，再到多项式函数的图像及其应用，我们层层递进，力求让读者在理解每一个概念的同时，也能体会到其背后的深刻道理。 一、多项式的基石：运算与性质 本书的开篇，我们将从最基本的多项式运算入手。你将学习如何高效地进行多项式的加减法，理解系数相加减的原理；掌握多项式的乘法，包括分配律和各项的组合，以及在这些运算中需要注意的细节。对于多项式的除法，我们将介绍长除法和综合除法，它们不仅是重要的计算工具，更是理解多项式根与因式的关键。 因式分解是多项式理论中的一颗璀璨明珠。本书将系统地介绍各种因式分解的方法，包括提取公因式、运用平方差公式、立方差公式、完全平方公式，以及更普遍的三项式和分组分解法。这些方法将帮助你将复杂的多项式化简，找到它们的“基本组成单元”，为后续的深入分析奠定基础。 我们还将深入探讨多项式的根。你将了解多项式方程与函数图像的联系，理解根的重数、复数根的存在性，以及韦达定理如何巧妙地将根与系数联系起来。这些知识不仅是解决代数方程的关键，更是理解函数行为的重要依据。 二、多项式函数：图像的魅力与变换 多项式函数，如线性函数、二次函数（抛物线）、三次函数等，以其简洁而丰富的图像特征，在数学和应用领域中扮演着重要角色。本书将详细解析不同次数多项式函数的图像特点，包括最高次项系数和常数项对图像形状和位置的影响。 你将学习如何通过配方法、顶点式以及因式分解来描绘多项式函数的图像，并理解图像的平移、伸缩、对称等变换。这些变换技巧能够帮助我们更好地理解函数的性质，并能够快速准确地绘制出任意多项式函数的草图，从而直观地分析其变化趋势。 我们将特别关注二次函数，深入研究抛物线的顶点、对称轴、截距等关键要素，以及如何利用判别式来判断方程根的情况，进而分析二次函数图像与x轴的交点。这些内容不仅是代数学习的重要组成部分，更是解决许多实际问题的基础，例如最优化问题。 三、多项式不等式：区域的探索与求解 在掌握了多项式及其函数的基础上，本书将进一步深入到多项式不等式的世界。不等式是描述变量之间大小关系的重要工具，而多项式不等式则是其中最为常见和重要的一类。 我们将从最简单的一元一次不等式开始，逐步过渡到一元二次不等式，以及更高次的多项式不等式。对于多项式不等式的求解，我们将介绍多种行之有效的方法，包括： 图像法： 利用多项式函数的图像，直观地找出满足不等式的x取值范围。 数轴穿根法（或称为“税收法”、“割线法”）： 对于更高次的多项式不等式，通过找到多项式的根，将数轴分割成若干区间，然后逐一检验每个区间是否满足不等式。我们将详细讲解这种方法的原理和操作步骤，帮助读者熟练掌握。 代数法： 通过移项、合并同类项，并运用因式分解等技巧，将不等式转化为更容易求解的形式。 本书将强调不同方法之间的联系与互补，鼓励读者根据具体问题选择最合适的求解策略。我们将通过大量的实例，演示如何应用这些方法解决各种实际问题，例如确定函数图像在特定范围内的取值，分析物理量之间的约束关系等。 四、多项式的应用：从理论到实践 多项式并非仅仅存在于课本的习题之中，它们在现实世界中有着广泛而深刻的应用。本书将穿插介绍多项式在不同领域中的应用，例如： 科学计算： 插值法，如何用多项式逼近复杂函数，在数据分析和信号处理中扮演关键角色。 工程设计： 曲线拟合，例如在汽车流线型设计、桥梁工程中，如何用多项式来描述平滑的曲线。 经济学： 成本函数、收益函数等经常用多项式来表示，帮助分析经济效益。 计算机图形学： 贝塞尔曲线，一种由多项式定义的平滑曲线，广泛应用于各种图形软件。 通过这些应用案例，读者将能够更深刻地理解多项式数学的实用价值，以及掌握多项式知识对解决实际问题的重要性。 本书的特色： 循序渐进： 内容从基础概念到复杂应用，层层递进，确保读者能够扎实掌握。 概念清晰： 深入浅出地解释每一个数学概念，避免生涩难懂的术语。 例题丰富： 大量精心设计的例题，覆盖各种类型和难度，帮助读者巩固理解。 解题技巧： 传授实用的解题方法和技巧，提高解题效率。 逻辑严谨： 强调数学的逻辑性，帮助读者建立严密的数学思维。 应用导向： 展现多项式在实际生活和科学技术中的广泛应用，激发学习兴趣。 无论你是初次接触多项式的学生，还是希望巩固和深化对多项式及其不等式理解的学习者，《多项式与多项式不等式》都将是你的得力助手。让我们一起走进多项式的世界，感受数学的严谨、优雅与无穷的魅力。

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从这本书中，我学到了很多关于多项式的“背后故事”，它不仅仅是冷冰冰的公式和计算，更是数学思想的体现。作者在讲解多项式因式分解时，并没有仅仅列出几种固定的方法，而是深入剖析了各种方法的适用场景和原理，例如“十字相乘法”和“分组分解法”各自的优势和局限性，这让我对因式分解有了更深层次的理解。在进入多项式不等式的部分，本书的讲解更是让我眼前一亮。作者非常注重不等式解集的几何意义，详细地讲解了如何通过分析多项式函数的图像来确定不等式的解集。我印象最深刻的是，书中对“数轴穿线法”的讲解，作者不仅给出了操作步骤，还详细解释了为什么这种方法是有效的，它背后的数学原理是什么。此外，书中还涉及了一些更高级的内容，比如如何利用函数的单调性来判断不等式的解，以及如何处理含有参数的不等式。这些内容对于提升数学解题能力非常有帮助。值得一提的是，这本书的语言风格非常亲切，即使是比较复杂的概念，作者也能够用通俗易懂的语言来解释，并且辅以大量的图示和例子，使得读者在阅读过程中不会感到枯燥。我甚至觉得，这本书就像一位经验丰富的数学老师，耐心地指导我一步步攻克多项式和多项式不等式这个难题。

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《多项式和多项式不等式》这本书，在细节处理上展现了其非凡的功力。从最基础的多项式运算，到因式分解的各种技巧，再到多项式不等式的求解，作者都力求做到详尽而透彻。我尤其被书中对“因式分解”的讲解所吸引，它不仅仅是给出了几种常用的公式和方法，更是深入分析了每种方法的适用条件和原理，例如分组分解法的巧妙运用，以及如何通过添加项和减去项来构造完全平方公式，这些细节的处理，让我在掌握了因式分解这一重要工具的同时，也对其有了更深层次的理解。在进入不等式部分，本书的讲解更是展现了其独特的视角。它并没有仅仅停留在代数运算的层面，而是更加注重不等式解集的几何意义和函数性质的应用。例如，在讲解高次不等式时，作者会非常详细地分析多项式函数在零点两侧的符号变化，并且通过图示清晰地展示出不等式的解集是如何形成的。此外，书中还涉及了一些更高级的内容，比如如何利用函数的单调性来判断不等式的解，以及如何处理含有参数的不等式。这些内容对于提升数学解题能力和逻辑思维能力都非常有帮助。不得不说，这本书的作者是一位真正懂得如何引导读者学习数学的人，他能够将复杂的数学概念，用清晰、逻辑性强的方式呈现出来，并且还能够激发读者的学习兴趣，让我在学习过程中始终保持着探索的乐趣。

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这本书的编排结构给我留下了深刻的印象。它并非简单地将多项式和多项式不等式割裂开来讲解，而是将两者紧密地联系在一起，形成了一个有机的整体。在介绍了多项式的基本性质和运算后，作者很自然地过渡到了多项式的根，并将根的性质与不等式的解集紧密联系起来。我特别喜欢书中在讲解“根与系数的关系”时，是如何巧妙地引出韦达定理的。作者不仅仅是给出了公式，更是通过一些具体的例子，展示了如何利用根与系数的关系来求解方程，以及如何利用这个关系来分析多项式的性质。在不等式章节，作者的讲解也极具深度。它并没有停留在简单的数轴穿线法，而是更深入地探讨了函数图像的单调性和凸凹性在不等式求解中的应用。我记得其中一个章节，专门讲解了如何利用导数来分析多项式函数图像的性质，从而更有效地求解不等式，这对于理解不等式背后的数学原理非常有帮助。而且，这本书的语言风格非常严谨，同时也富有启发性。作者善于用类比和比喻来解释抽象的概念，使得读者在理解理论的同时，也能体会到数学的趣味性。书中的例题也是精心挑选的，涵盖了各种类型的问题，并且解题思路清晰，步骤详细，非常适合读者自学。我可以说，通过阅读这本书，我对多项式和多项式不等式的理解，已经从“知其然”提升到了“知其所以然”。

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这本《多项式和多项式不等式》的书籍，虽然我还没完全啃下来，但仅仅翻阅了部分章节，就已经被其中精妙的逻辑和严谨的推导深深吸引。书的开篇部分，作者并没有急于进入复杂的多项式运算，而是花了大量篇幅，从最基础的定义出发，循序渐进地构建起读者对多项式概念的认知。这种“慢热”的处理方式，对于许多初学者来说，无疑是一剂定心丸。作者用通俗易懂的语言，配合恰当的比喻，将抽象的代数概念具象化，比如将多项式比作一个可以被拆解和组合的“积木盒子”，每一个单项式就是一块独立的积木，而多项式就是这些积木的不同组合方式。更重要的是，作者在介绍基本运算，如加减乘除时，并没有停留在机械的计算层面，而是深入剖析了这些运算背后的原理，例如多项式乘法如何体现了分配律的普遍性，以及多项式除法在求解方程中的关键作用。我尤其欣赏作者在引入“根”的概念时，那种引导性的提问方式，它不仅仅是告诉读者“根是什么”，而是激发读者去思考“为什么一个多项式会有根”，以及“根的存在性与多项式性质之间的联系”。这种探究式的教学方法，让我在阅读过程中，始终保持着高度的参与感和求知欲。即便是那些看似枯燥的理论推导，作者也通过历史故事和实际应用场景的穿插，让它们变得生动有趣，例如在讨论多项式的求根算法时，作者简要回顾了历史上数学家们为此付出的努力，以及这些算法在科学计算中的重要地位。整体而言，这本书给我的第一印象是，它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，在细致地引领我一步步走进多项式数学的殿堂，让我对这个领域产生了浓厚的兴趣，迫不及待想继续探索下去。

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这本书对于多项式的根以及它们与不等式解集之间的联系，进行了非常深入的探讨。作者从最基础的多项式定义出发，层层递进，逐步引入了多项式的根的概念，并详细阐述了根的性质，例如根的存在性、重根的判别以及复数根的特点。我特别欣赏作者在讲解“代数基本定理”时，所采取的深入浅出的方式。虽然定理本身可能有些抽象，但作者通过历史渊源的介绍和对定理重要性的强调，让我对其有了更深刻的认识。在不等式部分，本书的讲解更是逻辑严谨且富有启发性。作者并没有止步于简单的代数运算，而是更加注重不等式解集的几何意义和函数性质的运用。例如，在讲解多项式不等式时，作者详细地阐述了如何通过分析多项式函数的图像来直观地理解不等式的解集，并且还介绍了如何利用函数的单调性、极值等性质来求解不等式。书中的例子也十分丰富，从基本的线性不等式到复杂的高次不等式，每一种类型都提供了详尽的解析，并且注重解题思路的引导，这对于我这种希望真正理解数学的人来说，是极其宝贵的。可以说，这本书不仅教授了我解决问题的技巧，更重要的是，它教会了我如何思考，如何用数学的语言去分析和解决问题。

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这本书在处理多项式的“根”这个核心概念时，展现出了非同寻常的系统性和深度。它不仅仅是告诉我们什么是多项式的根，而是从根的定义出发，逐步引申出根的性质、重根的判定、复根的共轭性等等一系列重要的理论。作者通过大量的插图和图示，将抽象的代数概念可视化，例如在讲解复根成对出现时，会用复平面来展示，直观地说明了共轭复根的对称性。我特别喜欢书中关于“韦达定理”的详细阐述，它不仅给出了定理的公式，更重要的是，它解释了韦达定理是如何将多项式的根与其系数联系起来的，以及这个定理在解决许多代数问题中的重要作用。作者通过一些巧妙的构造，展示了如何利用韦达定理来求解一些看似复杂但实际上有规律可循的问题。在多项式不等式的章节，本书也同样保持了高水准。它不仅仅是教授如何解题，而是从理论上解释了为什么这些方法有效。例如，在讲解分式不等式时，它巧妙地将分式不等式转化为多项式不等式，然后利用多项式不等式的解法来求解，逻辑清晰，层层递进。书中也涵盖了一些更进阶的内容，比如涉及参数的不等式，以及如何利用函数图像的单调性来分析不等式的解。我个人认为，对于想要深入理解多项式数学的学生来说，这本书绝对是不可多得的宝藏。它不仅能帮助你掌握解题技巧，更能让你理解数学背后的深刻道理。

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《多项式和多项式不等式》这本书给我最大的感受是，它在讲解抽象的数学概念时，非常注重逻辑的连贯性和思维的循序渐进。作者似乎深谙学习者的心理，从最基础的多项式定义、项、系数、次数开始，一步步深入到多项式的加减乘除运算，再到因式分解，最后才进入到根与不等式的探讨。这种由浅入深的讲解方式，让我在阅读过程中感到非常轻松和自信。我尤其欣赏作者在讲解因式分解时，不仅仅罗列了各种公式和技巧，而是深入分析了各种方法的适用条件和原理。例如，在讲解分组分解法时，作者会分析哪些类型多项式适合分组，以及分组的策略是什么，这远比死记硬背公式要有效得多。而在不等式部分，本书的讲解更是令人耳目一新。作者没有停留在简单的“大于”或“小于”的判断，而是着重于不等式解集的几何意义和代数意义的统一。例如，在求解形如 $f(x) > 0$ 的不等式时，作者会详细分析 $f(x)$ 的图像与x轴的位置关系，以及函数图像在零点两侧的符号变化，从而直观地帮助读者理解解集是如何形成的。书中的例子也十分贴切，从简单的线性不等式到复杂的高次多项式不等式，每一步都解析得非常详细，甚至连一些容易出错的细节都做了强调。我甚至觉得，这本书不仅仅是一本教科书，更像是一本“数学思维指导书”，它教你如何思考，如何分析问题，如何构建自己的解题框架。

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老实说，在拿到《多项式和多项式不等式》这本书之前，我对多项式的理解仅停留在中学课本上的基础运算层面，觉得它们不过是代数游戏中的一环。然而，这本书却彻底颠覆了我的认知。它不仅仅是一本数学工具书，更是一扇通往更广阔数学世界的窗户。书中对于多项式理论的构建，从根的定义、性质，到重根、复根的讨论，再到多项式函数的图像特征，都做到了细致入微。我尤其被其中关于“代数基本定理”的介绍所打动，虽然定理本身可能有些抽象，但作者通过历史的视角，讲述了数学家们为了证明它所付出的巨大努力，以及这个定理对于整个代数体系的重要性。它就像一个基石，支撑起整个多项式理论的大厦。在不等式部分，作者并没有局限于解题技巧，而是深入探讨了不等式与方程之间的内在联系，以及如何利用函数的单调性、极值等性质来推断不等式的解。我印象深刻的是，书中花了相当大的篇幅来讲解“有理不等式”的解法，并将其与多项式不等式进行对比，分析了它们在解题过程中的异同点。作者的语言风格非常严谨，但又不失生动，能够将复杂的概念用清晰的逻辑链条串联起来，让读者在理解理论的同时，也能够体会到数学的逻辑美。书中提供的习题也非常有代表性，从基础巩固到拔高训练，层层递进，能够有效地检验读者对知识的掌握程度。阅读这本书的过程，就像在经历一场思维的“洗礼”，让我对数学的认识更加深刻，也对学习数学本身充满了热情。

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这本书的深度和广度确实令人印象深刻，尤其是它在多项式不等式章节的处理上，我认为是它最大的亮点之一。不同于许多同类书籍仅仅给出求解不等式的几种常见方法，这本书则从根本上剖析了不等式成立的条件，以及如何通过函数图像和性质来直观理解不等式的解集。作者并没有止步于代数式的变形，而是巧妙地将不等式问题转化为函数零点和函数值的正负关系。我特别喜欢作者对“穿根法”（或称“数轴穿线法”）的详细讲解，它不仅仅是一个技巧，更是一种理解多项式函数零点分布规律的直观工具。书中用大量的图示来辅助说明，每一个步骤的变化都对应着函数图像的某种变化，使得原本可能抽象的符号运算，在视觉上变得清晰明了。此外，作者还引入了“单调性”和“奇偶性”等函数性质在不等式求解中的应用，这无疑为解决更复杂的不等式问题提供了更强大的分析工具。我记得其中一个例子，是关于一个三次不等式，通过分析其导数，确定了函数图像的单调区间，然后结合零点的位置，便能快速判断出不等式的解集，整个过程非常流畅且具有逻辑性。书中的例子也极具代表性，涵盖了从简单到复杂的各种类型，并且每个例子的解析都非常详尽，包括了过程中的关键思考点，这对于读者掌握解题思路至关重要。我甚至觉得，即使没有直接接触过这类问题，通过对书中例子的学习，也能建立起一套完整的解题框架。这本书没有回避那些“疑难杂症”，反而有专门的章节讨论如何处理那些不容易直接因式分解或找到零点的多项式不等式，这展现了作者扎实的学术功底和对教学的负责态度。

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《多项式和多项式不等式》这本书，在探讨多项式的性质时，可以说是“不遗余力”地挖掘其内在的规律和特点。从最基础的次数、系数，到高阶的根的分布、对称性，再到与函数图像的紧密联系，作者都进行了细致的梳理和阐释。我尤其被书中关于“复数根”的讲解所吸引。作者并没有将复数根视为一个孤立的概念，而是将其置于整个代数方程的框架下，解释了复数根为何总是成对出现，以及它们在多项式函数图像上的体现。这种系统性的讲解，让原本可能令人生畏的复数概念，变得更加容易理解。在不等式方面，这本书的视角也相当独特。它不仅仅是教授如何解不等式，更是引导读者去思考“为什么这个不等式成立”，以及“不等式解集是如何形成的”。例如，在处理高次不等式时，作者会通过分析多项式函数在不同区间内的符号变化，来直观地解释解集的由来，并且还会介绍一些更高级的工具，比如“符号表法”等，这些方法对于处理复杂的不等式问题非常有帮助。书中提供的例题也体现了其严谨性和全面性，从基本的因式分解，到利用导数分析函数性质，再到求解含有参数的不等式，几乎涵盖了多项式不等式的所有重要知识点。不得不说，这本书的作者是一位真正懂得如何引导读者学习数学的人，他能够将复杂的数学概念，用清晰、逻辑性强的方式呈现出来，并且还能够激发读者的学习兴趣。

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