Complex Analysis

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出版者:Springer
作者:Eberhard Freitag
出品人:
页数:552
译者:
出版时间:2005-11-4
价格:GBP 29.50
装帧:Paperback
isbn号码:9783540257240
丛书系列:
图书标签:
  • 数学
  • 椭圆积分
  • 椭圆模函数
  • 分析
  • Zeta函数
  • Mathematics
  • 复分析
  • 数学
  • 高等数学
  • 函数理论
  • 复变函数
  • 解析函数
  • 积分变换
  • 级数展开
  • 共形映射
  • 留数定理
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具体描述

《复变函数论》 本书是一部深入探讨复变函数理论及其应用的著作。全书结构严谨,内容丰富,旨在为读者提供一个全面而透彻的复变函数知识体系。 第一部分:复数与复变函数 本部分首先奠定了复变函数论的基础。从复数的代数与几何表示出发,详细介绍了复数的各种运算,包括加法、减法、乘法、除法以及复数的幂与根。这里将着重阐述复数在复平面上的几何意义,如向量表示、距离、角度等,并引入复数在解代数方程中的应用,特别是代数基本定理的证明。 接着,本书将转向复变函数。我们将定义复变函数的概念,讨论函数在复平面上的取值,并深入研究复变函数的极限与连续性。复变函数论的核心概念——可微性与柯西-黎曼方程将在本章得到详细阐述。我们将从多个角度解释柯西-黎曼方程的几何和物理意义,并探讨其与解析函数的紧密联系。解析函数是复变函数论的基石,本书将详细分析解析函数的性质,包括其无穷次可微性、泰勒展开以及在复平面上的光滑性。 第二部分:复变函数积分与级数 本部分将深入研究复变函数的积分性质。我们首先定义复变函数沿曲线的积分,并探讨其基本性质。关键内容包括柯西积分定理和柯西积分公式。柯西积分定理的证明将采用多种方法,突出其在复变函数论中的核心地位。柯西积分公式则将展示如何利用解析函数的边界值来确定其内部的值,这对于求解偏微分方程等应用至关重要。 随后,本书将讨论留数定理及其应用。留数定理是复变函数论中最强大的工具之一,它使得计算某些复杂的定积分和级数求和成为可能。我们将详细讲解如何计算孤立奇点处的留数,并给出留数定理的证明。基于留数定理,我们将介绍一系列利用复变函数积分来计算实变函数积分的方法,包括各种积分技巧和常见积分类型的处理。 此外,本部分还将研究复变函数的级数展开,包括泰勒级数和洛朗级数。泰勒级数展示了解析函数在一点附近的局部性质,而洛朗级数则扩展了这一概念,能够描述函数在奇点附近的性质。我们将分析洛朗级数系数的计算方法,并探讨其在奇点分类和留数计算中的作用。 第三部分:保形映射 本部分将聚焦于保形映射这一重要概念。保形映射是指保持角度的映射,在几何、物理和工程领域有着广泛的应用。我们将定义保形映射,并探讨其基本性质。 本书将重点介绍几个重要的保形映射,包括: 线性分数变换(莫比乌斯变换): 这是最基本也是最重要的保形映射之一。我们将详细介绍其代数表示、几何性质,以及它如何将直线和圆映射到直线和圆。线性分数变换在复平面几何、群论以及数学物理中有许多深刻的应用。 其他保形映射: 除了线性分数变换,我们还将介绍其他一些重要的保形映射,例如指数函数、对数函数及其在映射上的应用。 保形映射的应用将贯穿本部分。我们将展示如何利用保形映射解决二维势流问题、热传导问题以及其他与复变函数相关的物理和工程问题。例如,如何通过保形映射将复杂的区域转化为简单的区域,从而简化问题的求解。 第四部分:特殊函数与应用 本部分将介绍一些重要的特殊函数,并探讨复变函数论在不同领域中的应用。 特殊函数: 本部分将介绍一些在数学和物理学中常见的特殊函数,例如 Gamma 函数、Beta 函数、阶梯函数、贝塞尔函数等。我们将探讨这些函数的复变函数表示、性质和级数展开,并展示它们与复变函数理论的联系。 应用: 复变函数论的应用领域极其广泛。本部分将选取几个典型的应用方向进行详细介绍,包括: 流体力学: 利用复变函数分析二维势流,求解流场的速度和压力分布。 空气动力学: 分析翼型周围的流动,研究升力产生的原因。 弹性力学: 解决平面弹性问题的求解。 电磁学: 分析电场和磁场的分布。 信号处理与控制理论: 利用拉普拉斯变换和傅里叶变换的复变函数性质分析系统特性。 本书力求在理论深度和应用广度之间取得平衡,既会详细讲解复变函数的数学原理,也会展示其在解决实际问题中的强大能力。通过学习本书,读者将能够建立起扎实的复变函数理论基础,并掌握运用该理论分析和解决复杂问题的技能。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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在我阅读的过程中,我发现作者在数学的严谨性和直观性之间找到了一个绝佳的平衡点。虽然复数分析本身是一门高度抽象的学科,但作者却能用清晰、易懂的语言来解释复杂的概念。每一个定理的陈述都简洁明了,证明过程也逻辑严密,但同时又穿插了大量的几何解释和直观的图形辅助。这让我能够不仅仅停留在符号的操纵层面,更能理解这些数学概念背后所蕴含的几何意义和物理直觉。例如,在讲解柯西积分定理时,书中不仅给出了严谨的数学证明,还配有详细的图形,展示了在单连通区域内,积分路径的变形如何不影响积分值,这种“可视化”的学习方式,极大地降低了学习难度,也让知识更易于记忆和应用。

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总的来说,这本书为我打开了复数分析的奇妙世界。它是一本集理论严谨性、内容深度、教学艺术性和人文关怀于一体的优秀教材。我能够从中汲取到丰富的知识,提升我的数学能力,并且在这个过程中,体验到数学学习本身的乐趣。无论是在学术研究还是在解决实际问题时,这本书都将是我宝贵的参考资料。我毫不犹豫地推荐这本书给任何对复数分析感兴趣的学习者,我相信你们也能从中获得和我一样的深刻体验和宝贵收获。

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这本书在理论的深度和广度上都做得非常出色。它不仅涵盖了复数分析的核心内容,如留数定理、解析延拓、保形映射等,还对一些前沿和交叉领域进行了触及,例如与拓扑学、微分几何等学科的联系。这使得这本书不仅仅局限于复数分析本身,更展现了它在更广阔的数学图景中所扮演的重要角色。通过这本书,我不仅掌握了复数分析的工具,更重要的是,我开始意识到这些工具是如何与其他数学分支相互关联、相互促进的。这种宏观的视角,对于提升我的数学视野和思维能力非常有帮助。

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当我开始翻阅这本书的目录时,我立刻被其条理清晰的结构所吸引。从最基础的复数及其运算,到复微分,再到复积分,最后延伸到解析延拓、黎曼曲面等更高级的主题,整个内容的组织逻辑性极强,层层递进,非常适合初学者循序渐进地掌握。每一个章节的标题都精准地概括了其核心内容,并且副标题的设置也相当细致,点出了该章节内的重要概念和定理。我特别注意到,书中在介绍每一个新概念时,都提供了详实的背景介绍和历史渊源,这让学习过程不再是枯燥的公式推导,而是充满了人文的色彩,让我更能理解这些数学工具是如何在历史的长河中孕育而生的。这种对知识的尊重和对学习过程的考量,在许多教材中是难得一见的。

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书中对历史背景和相关人物的介绍,为这本书增添了别样的魅力。作者并非仅仅罗列公式和定理,而是花了相当的篇幅来讲述这些伟大的数学思想是如何在历史的演进中逐渐形成的,以及那些伟大的数学家们是如何为复数分析的发展做出贡献的。了解高斯、柯西、黎曼等大师们在探索复数世界时所经历的艰辛和灵感,让我对数学这门学科有了更深层次的认识。这不仅仅是一本关于数学知识的书,更是一部关于数学史的缩影。这种人文关怀的融入,让我在学习枯燥的数学理论时,也能感受到历史的厚重感和人类智慧的光辉,从而更加热爱这门学科。

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我最欣赏这本书的一点在于其例题的丰富性和多样性。不仅仅是简单地展示定理的应用,每一道例题都经过精心设计,从不同角度、以不同方式来阐释同一个概念或定理。有些例题非常基础,旨在巩固新学的概念;有些则更加复杂,需要综合运用多个章节的知识;还有一些例题,则着重于展示特定定理的强大之处,以及在解决实际问题时的有效性。更重要的是,每道例题的解答都非常详尽,不仅给出了最终答案,更重要的是清晰地展示了推导过程的每一步,包括关键的数学技巧和逻辑推理。这对于我这样需要理解“为什么”的学生来说,简直是福音。我可以跟着例题一步一步地学习,理解其中的精妙之处,并且在遇到困难时,有足够清晰的指导来克服。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象。它采用了一种深邃的蓝色背景,上面点缀着银色的、看似抽象的数学符号,但仔细辨认,又隐约能看出一些复数函数图形的轮廓。这种设计既传达了“复数分析”这一学科的严谨和深奥,又带着一种艺术的美感,让人忍不住想要一探究竟。拿到手里,纸张的质感也相当不错,厚实且略带磨砂感,翻阅起来不会有廉价的滑腻感。装订也很牢固,即使经常翻阅,也不必担心散页的问题。我尤其喜欢它在书脊上的字体选择,既古典又不失现代感,放在书架上,它绝对是一个引人注目的存在。这本书不仅仅是一本教材,更像是一件精心雕琢的艺术品,光是外观就足以激发我的学习热情,让我对接下来的内容充满期待,希望能在这厚重的书页中找到那份关于复数世界的神奇与奥秘。

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这本书的语言风格也值得称赞。作者的遣词造句十分考究,用词精准,表述清晰,即使是涉及非常抽象的概念,也能用相对平实的语言进行解释,避免了不必要的学术术语堆砌。阅读起来,感觉就像是在与一位学识渊博但又平易近人的老师在交流。句子结构多变,长短句结合,读起来节奏感很好,不会让人产生疲劳感。我特别欣赏作者在解释一些关键概念时,所使用的类比和比喻,这些生动的描述能够帮助我迅速建立起对抽象概念的感性认识,进而更容易理解其数学本质。这种“授人以渔”的教学方式,让我受益匪浅。

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从学习的实际效果来看,这本书的叙述方式和练习设计,都有效地帮助我建立了对复数分析的扎实理解。我发现,当我遇到困惑时,回到书中相关的概念解释和例题,总能找到清晰的思路。书中的一些“提示”和“注记”,更是点睛之笔,它们往往能指出学习的难点,或者提供一些深入的思考方向。通过反复练习书中的习题,我能够熟练地运用各种定理和方法解决问题,并且逐渐培养出对数学问题进行分析和建模的能力。这本书不仅让我学会了“是什么”,更让我理解了“为什么”和“如何做”。

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这本书的习题部分同样令人印象深刻。它不仅仅是例题的简单重复,而是设置了不同难度和类型的习题,从基础的计算题、证明题,到需要深入思考的应用题和探索性问题,几乎涵盖了所有可能遇到的学习挑战。每一章的习题都遵循了由易到难的原则,确保我在掌握了基本概念后,能够通过练习来加深理解和熟练度。我特别喜欢其中一些“思考题”,它们往往没有直接的答案,而是引导我去探索更深层次的数学思想,或者去发现一些意想不到的联系。这些习题极大地激发了我独立思考的能力,也让我看到了复数分析在更广阔领域中的潜力。做这些习题的过程,对我来说是一种智力的挑战,更是一种乐趣。

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一本非常好的书,对于对解析数论有兴趣的人最有帮助。前三章短短170页讲完Cauchy theorem和residue theorem,基本上是本科复变函数论的主干。第4章处理了Riemann mapping theorem。后面的内容很有趣:第5、6、7章分别讲elliptic function,elliptic modular form,analytic number theory。最后第八章是前七章所有习题的解答(这一章足足有60页)。遗憾的是,没有讲任何复变函数里几何方面的知识(比如classification of mobius transformation和conformal mapping)偏几何方面的复变书推荐Bruce P. Palka的《复变函数导论》的第九章,有充足的讨论

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一本非常好的书,对于对解析数论有兴趣的人最有帮助。前三章短短170页讲完Cauchy theorem和residue theorem,基本上是本科复变函数论的主干。第4章处理了Riemann mapping theorem。后面的内容很有趣:第5、6、7章分别讲elliptic function,elliptic modular form,analytic number theory。最后第八章是前七章所有习题的解答(这一章足足有60页)。遗憾的是,没有讲任何复变函数里几何方面的知识(比如classification of mobius transformation和conformal mapping)偏几何方面的复变书推荐Bruce P. Palka的《复变函数导论》的第九章,有充足的讨论

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感谢张庆海,让我从此没有懂过复变

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一本非常好的书,对于对解析数论有兴趣的人最有帮助。前三章短短170页讲完Cauchy theorem和residue theorem,基本上是本科复变函数论的主干。第4章处理了Riemann mapping theorem。后面的内容很有趣:第5、6、7章分别讲elliptic function,elliptic modular form,analytic number theory。最后第八章是前七章所有习题的解答(这一章足足有60页)。遗憾的是,没有讲任何复变函数里几何方面的知识(比如classification of mobius transformation和conformal mapping)偏几何方面的复变书推荐Bruce P. Palka的《复变函数导论》的第九章,有充足的讨论

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一本非常好的书,对于对解析数论有兴趣的人最有帮助。前三章短短170页讲完Cauchy theorem和residue theorem,基本上是本科复变函数论的主干。第4章处理了Riemann mapping theorem。后面的内容很有趣:第5、6、7章分别讲elliptic function,elliptic modular form,analytic number theory。最后第八章是前七章所有习题的解答(这一章足足有60页)。遗憾的是,没有讲任何复变函数里几何方面的知识(比如classification of mobius transformation和conformal mapping)偏几何方面的复变书推荐Bruce P. Palka的《复变函数导论》的第九章,有充足的讨论

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