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出版者:世界图书出版公司(此信息作废)

作者:C.F.DunklY.Xu

出品人:

页数:390

译者:

出版时间:2003-9

价格:98.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787506259422

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 分析
• 多变量
• 正交多项式
• 数学分析
• 多项式理论
• 函数逼近
• 数值分析
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《多变量的正交多项式》 引言 在现代科学和工程的广阔领域中，处理和分析多变量数据是至关重要的任务。无论是气候建模、金融预测、信号处理，还是机器学习和统计推断，我们都面临着从高维数据中提取有意义信息的需求。然而，高维度带来的“维度诅咒”常常使得传统的单变量分析方法失效。为了应对这一挑战，数学家和科学家们发展了各种工具和技术。在这其中，多变量正交多项式（Multivariate Orthogonal Polynomials）扮演着一个核心且日益重要的角色。 本书《多变量的正交多项式》旨在为读者提供一个全面而深入的理论框架，以理解和应用这一强大而优美的数学工具。我们并非简单地将单变量正交多项式的概念推广到多个变量，而是深入探讨了其在多变量空间中的丰富结构、性质以及在实际问题中的广泛应用。本书力求在理论的严谨性和应用的实用性之间找到平衡，帮助读者建立坚实的数学基础，并能够自信地将这些概念应用于各自的研究领域。 本书内容概述 本书的内容设计旨在循序渐进地引导读者掌握多变量正交多项式的精髓。我们将从基础概念出发，逐步深入到更复杂的理论和技术。 第一部分：基础理论与单变量回顾 在深入多变量的世界之前，我们首先需要回顾和巩固单变量正交多项式在数值分析、近似理论和特殊函数论中的重要性。这一部分将包括： 正交多项式的定义与性质： 详细介绍正交性在特定权重函数下的内积定义，以及由此衍生的递推关系、零点性质、积分表示等关键特性。我们将重点关注最常见的几种单变量正交多项式家族，如勒让德多项式、切比雪夫多项式、埃尔米特多项式和拉盖尔多项式，并阐述它们在不同应用场景下的优越性。 逼近理论中的应用： 阐述如何利用正交多项式作为基函数来构建函数逼近，包括最佳逼近、级数展开以及误差估计。这将为理解多变量逼近奠定基础。 第二部分：多变量正交多项式的构建与分类 这是本书的核心所在，我们将构建多变量正交多项式的理论体系。 从单变量到多变量的推广： 探讨将单变量正交多项式概念推广到多个变量的多种途径。我们将重点介绍如何基于多项式空间上的内积来定义多变量正交多项式，以及如何构造正交基。 多变量正交多项式的构造方法： 张量积（Tensor Product）方法： 这是最直观的推广方式，通过组合单变量正交多项式来构造多变量多项式。我们将详细分析这种方法的优缺点，以及它在特定问题中的适用性。 梯度（Gradient）类方法： 介绍如何利用微分算子或张量运算来构造满足特定条件的双变量或多变量正交多项式。 基于特定代数结构的方法： 探讨如何利用如李代数、群论等更抽象的代数结构来系统地生成多变量正交多项式族。 多变量正交多项式的分类： 介绍在不同权重函数和多项式空间下的各种多变量正交多项式族，例如： 球谐函数（Spherical Harmonics）： 在球面上的正交多项式，在地球物理学、天文学、量子力学等领域有广泛应用。 多项式张量（Polynomial Tensors）： 更一般的张量积结构下的多项式。 基于矩形区域的特定多项式： 如与多维积分密切相关的多项式。 与超几何函数相关的多变量多项式： 探讨其连接性和特殊性质。 性质分析： 深入研究多变量正交多项式的递推关系、零点分布、积分表示、求值算法等关键性质，并分析它们在不同构造方法下的共性与差异。 第三部分：多变量正交多项式的计算与应用 本部分将重点关注多变量正交多项式的实际计算方法及其在各个领域的应用。 数值计算方法： 求值与插值： 介绍高效计算多变量正交多项式值的方法，以及基于这些多项式的多项式插值技术。 求积（Quadrature）公式： 详细阐述基于多变量正交多项式节点和权重的数值积分（高斯求积）方法，以及它们在计算高维积分时的精度优势。 矩阵方法： 探讨如何利用矩阵表示来处理多变量正交多项式，例如通过特征值分解来求解递推关系或进行算子运算。 在科学与工程中的应用： 多变量函数逼近与插值： 如何利用多变量正交多项式进行高维数据的光滑插值和逼近，特别是在数据稀疏的情况下。 数值求解偏微分方程（PDEs）： 介绍谱方法（Spectral Methods）及其变体，如何利用正交多项式作为谱基来求解复杂的偏微分方程，特别是在复杂几何区域上的问题。 统计建模与机器学习： 高斯过程（Gaussian Processes）的连接： 探讨多变量正交多项式与高斯过程之间的联系，以及它们在概率建模中的作用。 非参数回归与密度估计： 如何利用正交多项式展开来实现有效的非参数统计建模。 特征提取与降维： 在高维数据分析中，正交多项式如何作为一种有效的特征提取工具。 信号处理与图像分析： 在多维信号的表示、滤波和压缩中，正交多项式作为信号的基函数，能够提供有效的表示。 量子力学与物理学： 在处理具有高对称性的物理系统时，如原子、分子和固体物理中的波函数展开，球谐函数等是必不可少的工具。 计算金融与风险管理： 在多变量随机过程模拟、期权定价等问题中，正交多项式可以提供高效且精确的数值解法。 第四部分：高级主题与前沿研究 多变量正交多项式的代数结构： 深入探讨其背后更深层次的代数性质，例如它们如何与特定的李代数或算子理论相关联。 非标准权重函数与非欧几里得空间： 探讨在更一般的度量空间或使用非标准权重函数下定义和研究正交多项式。 随机过程与随机微分方程： 探索正交多项式在分析和模拟多变量随机过程，以及求解相关的随机微分方程中的作用。 现代计算方法与软件实现： 介绍一些实现多变量正交多项式计算的现有软件库和框架，以及未来的发展方向。 本书特色 理论深度与广度并存： 既涵盖了核心的数学理论，也触及了其在各个领域的广泛应用。 循序渐进的教学法： 从基础概念出发，逐步引导读者掌握复杂理论，适合不同背景的读者。 丰富的数学表示： 采用清晰、规范的数学语言和符号，确保理论的严谨性。 侧重实际应用： 通过大量的实例和应用场景，展示多变量正交多项式在解决实际问题中的威力。 启发式思考： 鼓励读者独立思考，探索多变量正交多项式在各自研究领域中的潜在应用。 目标读者 本书适合以下读者： 数学、统计学、物理学、工程学等领域的研究生和高年级本科生： 为他们的专业学习和研究提供坚实的理论基础。 对多变量数据分析、数值方法、近似理论感兴趣的科研人员和工程师： 帮助他们掌握一种强大的分析工具。 从事机器学习、信号处理、计算科学等领域的实践者： 为他们的算法设计和性能优化提供新的视角。 结语 《多变量的正交多项式》不仅仅是一本介绍数学工具的书籍，更是一次探索高维世界奥秘的旅程。我们相信，通过学习本书，读者将能够深刻理解多变量正交多项式的内在美，并将其转化为解决实际问题的强大力量。我们期待本书能成为您在科学探索道路上的得力助手。

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《多变量的正交多项式》这本书的深度和广度都令我惊叹。我特别着迷于书中关于“正交多项式在数据分析与机器学习”中的应用。作者详细阐述了如何利用正交多项式作为特征提取的工具，将高维数据映射到低维的、具有良好性质的子空间，这对于理解数据的内在结构和模式非常有帮助。例如，在主成分分析（PCA）中，虽然通常使用SVD，但正交多项式也提供了一种替代的、在某些情况下更有效率的特征提取方法。我注意到书中还探讨了“正交多项式回归”的概念，它利用正交多项式作为回归函数，可以有效地拟合非线性关系，并且由于正交基的性质，模型的解通常是稳定且易于解释的。书中还提到了“正交多项式在图像处理”中的应用，例如在图像压缩和去噪方面，利用离散余弦变换（DCT）等基于正交多项式的变换，可以有效地表示和处理图像信息。我非常期待学习更多关于这些实际应用中的技术细节和算法实现。

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《多变量的正交多项式》这本书的编排逻辑清晰，从基础理论的铺陈到高级应用的展现，都循序渐进，让读者能够逐步建立起对这一领域的认知。我印象深刻的是书中关于“多项式插值”与“正交多项式逼近”的对比分析。作者详细阐述了为什么在许多情况下，基于正交多项式的最佳逼近比传统的插值方法更具优势，例如它能够更好地处理噪声数据，并且对函数的平滑性有更强的适应性。书中对最小二乘法在多变量函数拟合中的应用进行了深入探讨，展示了如何利用正交多项式系统来简化最小二乘问题的求解过程，并得到了解析解。这对于处理大量的观测数据，从中提取有意义的模式非常有帮助。我也注意到书中对“加权正交多项式”的讨论，作者解释了在不同权函数下，正交多项式的性质会发生怎样的变化，以及如何选择合适的权函数来适应特定的数据分布或问题背景。这为实际应用提供了更灵活的工具。我特别期待书中关于“正交多项式方法在偏微分方程求解中的应用”的部分，我知道许多边界值问题或初边值问题都可以通过将解表示为正交多项式级数，然后将其代入方程，从而将偏微分方程转化为一组代数方程组或常微分方程组来求解。这种方法通常具有很高的精度和良好的收敛性，对于解决一些解析解难以获得的复杂问题非常有价值。

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读完《多变量的正交多项式》这本书，我感觉自己对数学的理解又提升了一个层次。书中关于“特殊多项式族”的系统性介绍，让我对Legendre、Hermite、Laguerre、Chebyshev等多种重要的正交多项式有了全面而深入的了解。作者不仅给出了它们的定义、递推关系、生成函数，还详细分析了它们各自的性质以及在不同应用场景下的优势。例如，Chebyshev多项式在最佳逼近中的重要作用，以及它在数值积分和逼近理论中的广泛应用。我注意到书中还深入探讨了“多变量正交多项式”的构造方法，包括如何从单变量多项式推广到多变量，以及如何处理不同形状的积分域。这让我意识到，数学理论的推广和发展是如何自然而有机地进行的。书中关于“正交多项式在物理学”中的应用也让我耳目一新，例如在量子力学中，各种量子态的波函数常常可以表示为特定的正交多项式级数，而能量本征值则与这些多项式的性质密切相关。这让我看到了数学理论与物理现象之间深刻的联系，也激发了我进一步探索这些联系的兴趣。

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这本书《多变量的正交多项式》给我最深刻的印象是其理论的严谨性和应用的广泛性。我非常欣赏作者在介绍不同类型的多变量正交多项式时，都详细给出了它们的定义、递推关系、正交性条件以及生成函数等关键信息。例如，对于四变量的Legendre多项式，作者不仅给出了其在超球域上的正交性，还详细推导了它与其他函数族的关联。书中关于“张量积正交多项式”的章节尤其吸引我，它展示了如何将单变量正交多项式的概念推广到多变量情形，通过张量积的形式构造出适用于矩形域或其他多维区域的多变量正交多项式。这对于处理具有边界条件的复杂区域问题非常有启发。我还注意到书中对“近似论”的贡献，详细介绍了如何利用正交多项式来研究函数的逼近性质，例如关于最佳逼近的收敛速度，以及不同逼近算子的性质。这些理论知识是理解和应用正交多项式进行函数逼近的基础。此外，书中还提到了正交多项式在“信号处理”领域的一些应用，例如在滤波器设计和数据压缩方面，利用正交基的特性可以有效地表示和处理信号。我对这部分内容非常感兴趣，希望能进一步了解具体的实现方法和技术细节，以便将其应用到我的实际工作中。

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这本书《多变量的正交多项式》给我的感觉就像是在进行一场深度探索，每一章都像是在揭示一个未知的数学大陆。我特别关注书中关于“正交性”这一核心概念的阐述，作者不仅给出了严谨的数学定义，还通过引入各种内积的计算方式，展示了在不同度量下，同一个函数集可能呈现出不同的正交性质。这一点非常关键，因为它直接影响到我们如何选择合适的正交多项式基来逼近或表示一个函数。我仔细研读了关于函数逼近的部分，作者详细介绍了在L2空间下，使用正交多项式作为基函数进行函数展开的方法，并讨论了展开系数的计算以及逼近误差的界定。这些内容对于理解傅里叶级数、泰勒展开等经典逼近方法在多变量情形下的推广至关重要。书中还探讨了正交多项式在数值积分中的应用，例如Gauss-Legendre求积公式的推广，通过选取特定的节点和权重，可以实现高精度的多重积分计算。我对此非常感兴趣，因为它直接关系到解决实际工程问题中的计算效率和精度。书中给出的例子也相当详实，涵盖了从二维到高维空间的积分问题，并且详细解释了如何根据被积函数的性质选择合适的正交多项式族。我希望能够通过学习这些内容，掌握一种更为普适和高效的数值计算方法。

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《多变量的正交多项式》这本书带给我的感觉是，它为我打开了一扇通往更深层数学世界的大门。我尤其被书中关于“加权正交多项式”的理论所吸引。作者不仅详细介绍了如Jacobi多项式、Gegenbauer多项式等带有特殊权函数的正交多项式族，还深入探讨了它们在不同积分域和不同权函数下的正交性性质。这为我理解和应用这些多项式来处理更复杂的数学问题提供了理论基础。我注意到书中还讨论了如何通过变量代换来构造新的正交多项式族，以及这些新构造的多项式如何保持其优良的性质。这给了我极大的启发，让我意识到数学理论的灵活性和创造性。书中对“特殊函数”的介绍也十分精彩，许多特殊函数，如Bessel函数、Hypergeometric函数等，都可以通过与正交多项式相结合来研究其性质，或者反过来，一些正交多项式本身就是重要的特殊函数。我非常期待书中关于“正交多项式在泛函分析”中的应用，特别是它们在Hilbert空间中的完备性以及作为基函数在函数空间表示中的作用。这对于我理解更抽象的数学概念至关重要。

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《多变量的正交多项式》这本书的深度和广度都超乎我的想象，它不仅仅是一本教材，更像是一本数学工具箱，为解决各种复杂问题提供了强大的支撑。我特别关注书中关于“概率与统计”的联系，作者详细阐述了许多重要的概率分布（如正态分布、伽马分布等）的概率密度函数都可以通过特定的正交多项式来表示。例如，Hermite多项式与正态分布之间的紧密联系，以及Laguerre多项式与伽马分布的对应关系，都让我对概率论有了更深刻的理解。这些联系不仅仅是理论上的，还直接应用于一些统计模型的构建和分析，例如在贝叶斯统计中，将后验分布表示为某种正交多项式级数，可以简化计算和推断过程。书中还深入探讨了“统计推断”中的应用，例如在参数估计和模型选择中，正交多项式可以作为一种灵活的基函数，用于拟合观测数据，并从中提取出重要的统计信息。我对书中关于“非参数统计”的章节尤为期待，正交多项式在其中扮演着关键角色，例如在核密度估计和回归分析中，选择合适的核函数往往与正交多项式有密切关系。希望通过这本书的学习，能够掌握利用这些数学工具来解决实际统计问题的能力。

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在我阅读《多变量的正交多项式》的过程中，我发现它所涵盖的内容之丰富，足以满足我对数学工具的深度渴求。书中关于“函数逼近”的章节，提供了远不止于简单的泰勒展开的视角。作者不仅深入讲解了如何利用正交多项式来近似任意的光滑函数，还细致地分析了逼近的误差界，并探讨了不同阶数逼近的效果。这对于我理解函数的内在结构和行为至关重要。我尤其欣赏作者对于“收敛性”的严谨证明，这让我能够清晰地理解为什么这些逼近方法是可靠的。此外，书中对“插值”与“逼近”的区分以及它们在不同场景下的适用性分析，也让我受益匪浅。我注意到书中还涉及了“数值分析”中的一些核心概念，例如关于“病态问题”的讨论，以及如何通过正交多项式来改善数值计算的稳定性和精度。这对于我在实际的工程计算中避免不必要的错误非常有帮助。我对书中关于“正交多项式序列的性质”的详细阐述印象深刻，包括它们的递推公式、零点分布以及它们在解微分方程时的应用。这使得我对如何选择合适的正交多项式族来解决特定问题有了更清晰的认识。

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这部《多变量的正交多项式》的封面设计就足够吸引人——沉静的深蓝背景，点缀着几何线条勾勒出的抽象多项式图形，散发着一种严谨而又充满智慧的气息。当我翻开第一页，就被序言中作者那份对数学美的追求深深打动，他将多变量正交多项式比作连接离散数据与连续世界的桥梁，这种生动的比喻让我对即将展开的探索充满了期待。我尤其欣赏书中对历史渊源的追溯，从Legendre、Hermite到Chebyshev，作者娓娓道来这些数学巨匠的贡献，以及他们在不同领域如何启发了正交多项式理论的发展。这种叙述方式不仅仅是知识的传递，更是一种对科学精神的致敬，让我感受到数学研究的传承与力量。书中对基础概念的阐释也十分到位，例如对内积空间的定义、对正交基的构建方法，以及多变量情形下如何自然地推广单变量的性质，都通过清晰的推导和丰富的例子得以呈现。我发现作者在解释抽象概念时，非常注重逻辑的连贯性和直观的理解，避免了过于生涩的术语堆砌，这对于我这样一名非数学专业出身但对数学抱有浓厚兴趣的读者来说，无疑是一大福音。书中穿插的图表也极具匠心，它们不仅可视化地展示了多项式的性质，还巧妙地将数学公式与几何形状联系起来，让原本枯燥的代数运算变得生动有趣。我迫不及待地想要深入学习书中关于特殊多项式族（如Gram-Charlier多项式、Laguerre多项式等）的详细介绍，以及它们在不同应用场景下的独特优势。

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这本书《多变量的正交多项式》不仅仅是一部理论著作，它更像是一本关于数学艺术的指南。我非常欣赏作者在描述每一种多变量正交多项式时，都不仅仅给出其定义，还会对其历史背景、数学性质以及应用领域进行详细的介绍。例如，书中关于“Laguerre多项式”的章节，详细介绍了它在概率论、量子力学以及数值积分中的应用，并给出了许多具体的例子，这让我对这些抽象的数学工具有了生动的认识。我注意到书中还探讨了“广义正交多项式”的概念，即在不规则的积分域或具有不规则权函数的情况下，如何构造和应用正交多项式。这为我处理实际问题提供了更广阔的思路。书中还详细介绍了“正交多项式插值”的各种方法，例如Lagrange插值、Newton插值等，并分析了它们在多项式逼近中的优缺点。我对于书中关于“正交多项式在偏微分方程的数值解法”的章节特别感兴趣，它介绍了如何利用正交多项式作为基函数，将偏微分方程转化为常微分方程组或代数方程组来求解，这对于解决实际工程问题非常有价值。

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