Heat Kernel and Analysis on Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society, International Press

作者:Alexander Grigor'yan

出品人:

页数:482

译者:

出版时间:2009-11-10

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821849354

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Math
• Heat Kernel
• Manifolds
• Analysis
• Partial Differential Equations
• Geometric Analysis
• Probability
• Differential Geometry
• Mathematical Physics
• Functional Analysis
• Harmonic Analysis

拓扑与几何分析的交汇：流形上的谱理论与微分方程 图书简介 本书深入探讨了微分几何、拓扑学与分析学之间的深刻交汇点，聚焦于在黎曼流形上研究偏微分方程（PDEs）和谱理论的关键方法。本书的目标读者包括高级数学本科生、研究生以及对几何分析、调和分析和数学物理感兴趣的研究人员。我们旨在提供一套严谨而全面的分析工具集，用以理解和解决在弯曲空间上定义的微分算子所带来的挑战。 第一部分：黎曼流形的几何基础与分析框架 本书的开篇部分为后续的深度分析奠定了坚实的几何基础。我们从黎曼几何的基本概念出发，详细介绍了黎曼度量、联络、曲率张量（里奇曲率和斯卡拉曲率）的定义及其物理意义。重点在于理解曲率如何影响流形上函数的微分性质。 紧接着，我们转向流形上的分析工具。核心内容包括测度论在黎曼流形上的推广，特别是如何定义流形上的体积形式（由度量诱导）和相关的积分。随后，本书详尽阐述了张量分析，包括协变导数、李导数以及它们在描述流形上场的演化中的作用。我们引入了微分形式和霍奇理论的基础，阐述了外微分、内积和拉普拉斯-德拉姆算子（$Delta_d$）的构造。拉普拉斯-德拉姆算子是研究流形上调和函数和拓扑结构的基石，其谱性质直接编码了流形的几何信息。 我们花了大量篇幅讨论Sobolev空间在流形上的推广。在欧几里得空间中成熟的Sobolev理论，在弯曲空间中需要精细的处理，因为标准的微分算子被替换为依赖于度量的协变导数。本书精确地定义了流形上的 Sobolev 范数，并证明了这些空间在光滑函数空间上的完备性，这是后续分析，尤其是演化方程研究的必要条件。 第二部分：谱理论与算子分类 本书的第二部分将焦点集中于在流形上定义的椭圆型算子的谱性质。椭圆型算子，尤其是拉普拉斯-博赫纳算子（Laplace-Beltrami operator, $Delta_g$）和自伴随算子（如狄拉克算子，若流形上存在旋量结构），是研究几何分析的核心。 我们首先深入探讨拉普拉斯-博赫纳算子。本书详细分析了其在紧致黎曼流形上的自伴随性、离散谱的存在性以及谱间隙。通过与欧几里得空间中傅里叶分析的对比，我们引入了谱分解的概念，即如何将流形上的函数分解为算子本征函数的线性组合。这一分解是理解函数空间结构和解PDEs的关键。 为了处理非紧流形（如双曲空间或渐近平坦流形），我们引入了散射理论和非紧流形上的渐近分析。这要求我们构建合适的函数空间，并理解算子在无穷远处的行为，例如定义和研究Mellin变换在流形上的推广应用。 狄拉克算子与旋量分析是本书的另一重要组成部分。在拥有Spin结构（即存在黎曼旋量场）的流形上，狄拉克算子是基本的一阶算子。本书介绍了外代数、旋量空间的概念，并推导了韦尔方程和狄拉克方程在弯曲时空中的形式。我们着重分析了狄拉克算子的零模（Kernel），其维数由Atiyah-Singer指标定理给出，这提供了拓扑不变量与分析算子谱之间的深刻联系。 第三部分：偏微分方程的演化与传播 第三部分侧重于利用前两部分建立的分析框架来研究演化型PDEs，特别是波动方程和热传导方程的几何版本。 对于热方程（或扩散方程），我们研究了 $frac{partial u}{partial t} = Delta_g u$ 在紧致流形上的解的性质。我们分析了解的衰减率、最大值原理以及解的唯一性。通过谱分解，我们展示了解如何被表示为本征值的指数衰减项的叠加，从而揭示了热流在流形几何结构上的扩散模式。 波动方程 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = Delta_g u$ 的研究则更侧重于奇性传播和局部正则性。我们探讨了诸如奇点传播定理（Propagation of Singularities）等概念，它们描述了初始条件中的不光滑性如何沿着测地线（Geodesics）传播。 为了处理更一般的、具有非线性项的方程，例如高维泊松方程的变分方法和爱因斯坦方程的局部存在性，本书引入了函数空间上的规范不变性和迭代方法。我们详细讨论了能量法在证明解的局部存在性和唯一性中的应用，这通常涉及对Sobolev空间中的能量泛函进行估计和控制。 第四部分：几何热核：从欧氏到流形 虽然本书的侧重点不在于某个特定计算工具，但理解几何热核的性质是分析与几何联系的核心。我们阐述了热核 $K(x, y; t) = e^{-t Delta_g}(x, y)$ 的定义，以及它作为一种积分算子的作用。 本书分析了热核的渐近展开，特别是Weyl定律的推广，它描述了小时间 $t$ 时热核的局部行为，以及大时间 $t$ 时谱间隙的估计。我们讨论了热核与流形上测地线密度之间的关系，这是连接几何和谱分析的桥梁。这些结果揭示了流形曲率如何直接影响热量在流形上的扩散模式和特征值分布。 结论 本书旨在为读者提供一个深入、严谨且相互关联的几何分析视角。它不仅仅是关于流形上方程的罗列，更是关于如何运用先进的分析技术来揭示隐藏在黎曼几何结构深处的数学规律。通过对基本算子谱、Sobolev空间、演化方程以及热核性质的系统探讨，本书为几何分析的未来研究开辟了道路。

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这本新近出版的关于“热核与流形分析”的著作，着实令人耳目一新，尤其是在当代数学物理领域中，这个主题的交叉性越来越强，但系统性的论述却相对稀缺。全书的结构安排显得非常严谨，作者似乎有意将纯粹的微分几何、泛函分析与概率论中的热力学过程紧密地编织在一起。我个人非常欣赏它对黎曼几何基本概念的引入方式，它并非简单地重复教科书上的定义，而是直接将这些概念嵌入到拉普拉斯-贝特拉米算子的背景下进行讨论，这使得读者能够迅速理解为什么这些抽象的几何量（如曲率、测地线距离）对于理解热核的演化至关重要。特别是关于谱隙和特征值估计的部分，作者引用了大量的最新研究成果，展示了如何利用几何不变量来推断解的局部正则性和全局行为。对于那些期望深入了解非紧致流形上的随机过程如何影响谱性质的研究人员来说，本书提供了一个坚实且深入的理论框架。它不仅仅是一本参考书，更像是一份引导读者进入现代微分几何分析前沿的路线图。

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这本书的真正力量，或许在于它对“边界行为”的处理。在许多关于流形分析的文献中，流形的边界或渐近平坦结构往往被简化或忽略。然而，本书花了大量的篇幅专门探讨了如何精确地控制热核在无穷远处的渐近展开，这对于解决涉及无穷维空间或渐近几何的问题至关重要。作者利用了非常先进的几何边界不变式方法，对热核的“边缘效应”进行了精细的刻画，这不仅仅是技术上的胜利，更是一种深刻的洞察力体现。这种对细节的关注，使得这本书超越了许多标准的教材范畴，直接触及了当前研究中的热点和难点。对于那些研究量子场论在弯曲时空中的应用，或者对黑洞信息悖论中的几何结构感兴趣的物理学家来说，这本书提供的分析工具箱无疑是极其宝贵且及时的。

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阅读这本书的过程，简直像是一场漫长而精妙的智力探险。我发现作者的叙述风格极其注重逻辑的连贯性，每一步推导都像是精心设计过的棋局，环环相扣，不留任何逻辑上的漏洞。特别是关于热核的积分表示和其在薛定谔方程中的应用那一章节，处理得尤为精彩。他们没有满足于传统的傅里叶变换技巧，而是巧妙地引入了随机器（Stochastic Parallel Transport）的概念，这使得热核的局部性质和全局拓扑结构之间的联系变得可视化和可操作。我曾试图在其他地方寻找类似的深度论述，但鲜有能像本书一样，如此毫不妥协地坚持数学上的严谨性，同时又不至于让非专业人士完全望而却步。诚然，对于初学者来说，某些段落可能需要反复研读，但正是这种挑战性，使得最终的理解显得格外扎实和有成就感。对于寻求高水平专业训练的研究生而言，这本书的价值无可估量。

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我必须承认，这本书的排版和图表的质量达到了行业内的顶尖水准。在处理如此复杂的数学结构时，清晰的视觉辅助是理解抽象概念的关键。这本书在这方面做得非常出色，无论是关于共形变换下的度量变化，还是在纤维丛上定义的微分算子，插图都恰到好处地帮助读者构建了正确的空间想象。更值得称赞的是，作者在讨论随机微扰理论（Stochastic Perturbation Theory）时，对符号的选取和一致性保持得极为出色，这在涉及高维几何和张量运算的著作中是相当罕见的难题。这表明编纂过程中投入了巨大的心血，确保了阅读体验的流畅性。与一些专注于单一应用领域的书籍不同，它成功地在理论深度与可读性之间找到了一个微妙的平衡点，使读者在面对复杂的计算时，依然能把握住其背后的几何直觉。

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总而言之，这是一部为资深研究人员量身定制的力作，它以一种近乎诗意的数学语言，勾勒出了热传导在弯曲时空中的优美规律。我特别喜欢它在论证过程中展现出的那种宏大视角——如何将局部的信息（如泰勒展开）通过热核的传播机制，提升到对整个流形拓扑特性的推断。这种“从微观到宏观”的视角转换，在深入探讨完技术细节后显得尤为有力。它迫使读者重新审视那些看似基础的算子定义，并从热核的角度去理解其深层意义。这本书的出现，无疑将为流形上的偏微分方程和几何分析领域提供一个新的标准参考点。任何希望在该领域做出实质性贡献的学者，都应该将其置于案头，反复参阅其中的精妙论证。

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热核在数学里处处稠密

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