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出版者:American Mathematical Society

作者:O. Ya. Viro

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:2008-9-17

价格:USD 61.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821845066

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• topology
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• 拓扑学
• 基础拓扑学
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• 紧致性
• 连通性

拓扑学导论：从点集到流形 一部深入浅出、全面覆盖现代拓扑学基础概念的权威著作 书籍概述 《拓扑学导论》旨在为数学、物理学以及相关工程领域的研究者和高年级本科生提供一套严谨而直观的拓扑学基础知识体系。本书摒弃了纯粹的抽象罗列，而是以几何直觉为引导，系统地构建了从最基础的点集拓扑到代数拓扑的初步桥梁。全书结构清晰，论证详尽，旨在帮助读者建立对空间本质属性的深刻理解，为深入研究微分几何、代数拓扑、几何分析乃至理论物理中的诸多前沿课题打下坚实的基础。 第一部分：点集拓扑——空间的结构与形貌 本书的第一部分专注于点集拓扑（或称一般拓扑），这是理解所有更高级拓扑结构的基础。我们着重于定义、构造和分析拓扑空间，而不是仅仅停留在集合论的表面。 第一章：拓扑空间的基本概念 本章从动机出发，探讨了“连续性”在几何学中的核心地位。我们首先回顾度量空间，并以此为基础，引入拓扑空间的一般定义：开集、闭集、闭包、内部和边界的精确概念。本章的重点在于拓扑的生成，通过基础（Base）和局部基（Local Base）来构造复杂的拓扑，特别是可数性和分离公理（$T_1, T_2, T_3, T_4$ 空间）的详细讨论，这些公理是衡量空间“良好性”的关键标准。 第二章：连续性、同胚与拓扑性质 连续函数的拓扑定义是本章的核心。我们将证明，连续函数是保持拓扑结构的映射。在此基础上，我们引入同胚（Homeomorphism）这一核心等价关系，它定义了拓扑学研究的根本对象——拓扑形貌。通过大量实例，如对圆盘和正方形的比较，阐明拓扑性质（如连通性、紧致性）的本质，即它们在同胚下保持不变。紧致性的概念将通过 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）的推广来阐述其重要性。 第三章：构造性拓扑空间 本章聚焦于从已知空间构造新空间的方法，这对于处理复杂的几何对象至关重要。我们将详细探讨乘积拓扑（Product Topology）和商拓扑（Quotient Topology）。乘积拓扑在分析高维空间和无限维空间（如函数空间）时必不可少，我们将深入分析 Tychonoff 定理及其在紧致性中的作用。商拓扑则处理了“粘合”空间的操作，例如如何从平面构造出球面、环面或实射影平面，这为代数拓扑中的构造奠定了直观基础。 第四章：连通性与分离 连通性是衡量空间“为一个整体”的重要属性。本章区分了路径连通性与连通性，并探讨了局部连通性和路径提升性质。通过讨论聚点（Limit Points）和可数紧致性，读者将对空间结构有了更细致的认识。本章以滤子（Filters）和网（Nets）作为对序列的推广，在非度量空间中研究收敛性，提供了更普适的拓扑收敛工具。 第二部分：代数拓扑的开端——不变量的引入 第二部分将拓扑学的直观性与代数工具相结合，引入了拓扑不变量的概念。我们从最基本的同伦理论入手，探索如何用代数结构来区分不同的拓扑空间。 第五章：基本群——圆周的代数表示 本章标志着从点集拓扑到代数拓扑的过渡。我们定义了路径（Path）和路径的乘法（连接法），进而引入了同伦（Homotopy）的概念，这是对连续形变过程的精确描述。在此基础上，我们定义了基于一个指定基点的基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将详细计算欧几里得空间 $mathbb{R}^n$、球面 $S^n$（仅 $n=1$ 的情况）以及圆环 $S^1$ 的基本群，并证明 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$（整数加法群）。 第六章：覆盖空间理论 覆盖空间是理解高阶基本群和更高级同伦群的必备工具。本章将建立在纤维丛（Fiber Bundles）的简化模型上，详细定义覆盖映射（Covering Map）和覆盖空间（Covering Space）。关键成果包括：连通空间的覆盖空间是单射的，以及提升定理（Path Lifting Property）。本章将利用基本群的性质，严格证明一个空间是否为另一个空间的覆盖空间，并以此为基础，给出关于覆盖空间分类的初步结论。 第七章：同伦的推广与更高级群 在建立了基本群后，本章展望了更一般的同伦群。我们讨论了更高阶的同伦群 $pi_n(X, x_0)$ 的定义，并探讨它们作为阿贝尔群的性质（对于 $n ge 2$）。通过证明 $pi_n(X, x_0)$ 在 $n ge 2$ 时是交换群，本书为读者进入纤维丛和谱序列等前沿领域做了必要的代数铺垫。 第三部分：嵌入与形变——流形概念的萌芽 本书的最后部分将拓扑概念应用于具有局部欧几里得结构的更具体空间，为微分几何的后续学习做准备。 第八章：流形的初步概念 流形是现代几何学的核心研究对象。本章将流形的定义——一个局部看起来像 $mathbb{R}^n$ 的拓扑空间——进行精确化。我们讨论了图册（Atlas）和坐标变换（Transition Maps）的概念。重点分析了 1 维流形（曲线）和 2 维流形（曲面）的例子，特别是区分了可定向性和不可定向性（如克莱因瓶的拓扑构造）。 第九章：嵌入与嵌入定理的直观理解 拓扑学关心的是“形貌”，而嵌入定理则关心“如何在更高维空间中实现这种形貌”。本章虽然不深入证明复杂的嵌入定理，但会直观介绍 Whitney 嵌入定理的意义，即任何二维可定向流形都可以无自交地嵌入到 $mathbb{R}^3$ 中。这使得读者能将抽象的拓扑形貌与其在经典几何空间中的表现联系起来。 结论 《拓扑学导论》旨在提供一个坚实、连贯且具有几何洞察力的拓扑学基础。本书的叙述风格力求严谨而不失启发性，确保读者不仅掌握了定理和证明，更能理解拓扑学在统一空间概念、区分几何对象方面的强大能力。完成本书的学习后，读者将具备使用现代拓扑工具解决几何和分析问题的能力。

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我得说，这本书的数学严谨性是毋庸置疑的，每一个定理的证明都推导得滴水不漏，逻辑链条清晰可见，这对于追求数学精确性的读者来说，简直是福音。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的“先直觉后形式”的教学方法。例如，在讲解同胚的概念时，书中首先描绘了不同形状物体之间的“形变”可能性，建立起感性的认识，然后才引入拓扑等价的精确定义。这种处理方式极大地降低了理解难度，避免了初学者一头扎进符号海洋中迷失方向。书中的符号系统也保持了高度的一致性，避免了不同章节间符号使用的混乱，使得阅读的连贯性得到了保障。虽然有些证明过程略显繁复，但正是这种详尽，才确保了读者能够真正掌握背后的数学思想，而不是停留在表面理解。

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这本书的结构划分体现了作者深厚的教学经验。章节之间的衔接自然流畅，仿佛是沿着一条精心设计的路径引导我们前行。初学者可能会发现第一章需要投入更多精力来适应新的思维模式，但一旦跨过这个门槛，后续的学习会变得越来越顺畅。作者在每章末尾设置的“总结与展望”部分尤其有用，它能够帮助读者梳理本章的核心概念，并预示下一章将要解决的问题，起到了很好的承上启下的作用。我特别喜欢作者在处理抽象问题时，总是习惯性地先建立一个可感知的模型，然后逐步抽象化，这种“搭脚手架”式的教学方式，极大地增强了我的学习信心。这本书绝对是想要系统学习拓扑学的人书架上不可或缺的一本基石性读物。

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这本书的深度和广度拿捏得恰到好处，完全对得起“基础拓扑学”这个定位，但又不失为一本可以深入研读的参考书。它不仅仅满足于讲清楚“是什么”，更着力于解释“为什么”。比如，在阐述商拓扑时，作者没有止步于操作性的描述，而是深入探讨了商映射的性质，以及它如何构建出更复杂的拓扑空间。这种对深层原理的挖掘，让我对整个拓扑学的理论体系有了更宏观的认识。对于那些已经有一定微积分或线性代数基础的读者来说，这本书可以成为一座绝佳的桥梁，将他们从经典的分析领域带入更抽象的几何和结构研究中。我甚至发现，书中的某些论证方法，可以迁移到其他数学分支的学习中去，体现了其普遍的数学价值。

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这本书的封面设计简洁明快，色调沉稳，透着一股专业的气息。翻开内页，首先映入眼帘的是清晰的排版和适中的字体大小，阅读体验相当舒适。作者在内容组织上展现了极高的逻辑性和条理性，从最基础的拓扑空间概念入手，逐步深入到连续函数、紧致性等核心主题。阅读过程中，我发现许多晦涩的概念都被配以直观的图示和深入浅出的解释，这对于初学者来说无疑是一大福音。尤其是关于“开集”和“闭包”的讲解，作者不仅给出了严格的数学定义，还结合了具体的例子进行剖析，使得抽象的理论变得触手可及。此外，书中的习题设计也颇具匠心，从基础的巩固练习到富有挑战性的思考题，层层递进，有效检验了读者的理解程度。整体而言，这是一本结构严谨、讲解细致的入门教材，为我搭建了一个坚实的拓扑学基础框架。

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对于一本数学专业书籍而言，阅读的“手感”和持续的吸引力同样重要。这本书在这方面做得相当出色。它不像某些教科书那样枯燥乏味，而是充满了数学家的探索精神。作者在关键定义和定理旁会穿插一些历史背景或实际应用的小注，虽然篇幅不长，但极大地丰富了阅读的趣味性。比如，涉及到连通性的讨论时，书中提到了面包圈和咖啡杯的拓扑等价性，这个经典的例子被演绎得生动有趣，让人过目不忘。而且，这本书的装帧质量也值得称赞，纸张厚实，不易反光，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。这种对细节的关注，体现了出版方对学术内容的尊重，也为我们提供了一个愉悦的学习环境。

评分☆☆☆☆☆

A textbook translated from Russian, no proofs but hints, had to actively prove every lemma by oneself, painful but helpful. Intuition of concepts: topology is a power set of subsets; cover is a union of subsets; compactness is being finite in the context of set theory. 3t required.

评分☆☆☆☆☆

“problem textbook"，全是定理和题啊，连证明都不给，读的苦死了。。

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A textbook translated from Russian, no proofs but hints, had to actively prove every lemma by oneself, painful but helpful. Intuition of concepts: topology is a power set of subsets; cover is a union of subsets; compactness is being finite in the context of set theory. 3t required.

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A textbook translated from Russian, no proofs but hints, had to actively prove every lemma by oneself, painful but helpful. Intuition of concepts: topology is a power set of subsets; cover is a union of subsets; compactness is being finite in the context of set theory. 3t required.

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“problem textbook"，全是定理和题啊，连证明都不给，读的苦死了。。