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出版者:清华大学出版社

作者:许甫华

出品人:

页数:424

译者:

出版时间:2001-9-1

价格:29.80

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787302045335

丛书系列:

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数学学习的进阶之路：从基础到高阶的思维拓展 本书聚焦于当代数学教育中一个至关重要的领域——抽象代数。它并非旨在教授具体的代数公式或解题技巧，而是致力于构建一套严谨、系统且富有洞察力的数学思维框架，引导读者深入理解代数结构的核心概念及其相互间的联系。 全书结构围绕几个关键的数学实体展开，旨在为读者提供一个坚实的基础，以应对更高层次的数学挑战。 第一部分：集合论基础与逻辑构建 在深入探索复杂结构之前，我们首先需要一个清晰、无歧义的语言来描述数学对象。本部分将重温并深化对集合论的理解。我们不会停留在简单的集合运算，而是着重探讨集合的构造性定义、不同层级的无穷概念（如可数集与不可计数集），以及集合论在现代数学基础中的基石作用。重点内容包括： 公理化体系的引入：简要介绍ZFC公理系统的基本思想，阐释为何需要公理来避免罗素悖论等逻辑陷阱。 函数与映射的本质：将函数视为集合间的特定关系，深入分析单射、满射和双射的结构意义，它们如何决定了不同结构之间的同构性。 逻辑推理的严谨性：梳理演绎推理、归谬法和数学归纳法的精确应用范式，强调在数学证明中保持逻辑链条的完整性。 第二部分：群论的抽象魅力——对称性的语言 群论是抽象代数中最核心也最富有美感的概念之一。本书将群的定义作为研究起点，随后将其内涵层层剖开，展现其在描述对称性和不变性方面的强大能力。我们专注于理解“结构”而非“元素”本身： 群的基本性质与例子：从加法群、乘法群到矩阵群，通过多样化的实例建立直观感受。特别分析循环群的结构，它是理解更复杂群的基础。 子群与陪集：阐明子群如何是群的内部结构，而陪集的划分如何引出拉格朗日定理。该定理不仅仅是一个计算工具，更是连接群阶与子群阶的深刻桥梁。 同态与同构：这是理解“结构保持”的关键。我们详细探讨群同态如何“压缩”信息，以及群同构如何确立不同群之间在代数意义上的等价性。 正规子群与商群（因子群）：正规性是构造新群的先决条件。我们将花费大量篇幅解释为何只有正规子群才能导出具有良好性质的商群，并分析第一同构定理的普适性，它揭示了同态、核与像之间的深刻关系。 置换群的应用：通过对有限对称性群（如$S_n$、$A_n$）的深入分析，展示抽象理论如何应用于解决实际的排列问题，例如著名的五次方程不可解性（伽罗瓦理论的初探）。 第三部分：环论——代数运算的扩展 在群论的基础上，本书引入了第二个运算——乘法，从而进入环的世界。环是数域、多项式集合等我们日常接触的代数结构所共有的特征。 环的定义与基本概念：探讨环的加法交换律和乘法结合律的地位，以及分配律如何协调这两个运算。特别关注具有单位元和交换乘法的环（整环）。 理想的地位：理想在环论中的作用类似于正规子群在群论中的作用。我们将详细阐述理想如何实现“模运算”，并引入主理想、素理想和极大理想的概念。 整环与域的转换：分析整环如何通过构造分数域扩展为一个域。这揭示了整数集合到有理数集合的自然扩张过程。 多项式环的深入研究：重点研究在域上定义的多项式环$mathbb{F}[x]$的性质。讨论多项式的带余除法、最大公约式（使用欧几里得算法）以及多项式环的唯一分解性质。 第四部分：域与域扩张——解方程的几何视角 域是环中最“理想”的结构，其上的代数运算几乎不受限制。域论是连接代数与几何，特别是连接方程根与结构特性的核心领域。 域的构造：通过商环的概念，系统地构造有限域（伽罗瓦域）以及如何从一个域扩张得到一个更大的域。 代数元与超越元：区分一个元素是某个域上多项式方程的根（代数元）还是不是（超越元）。 域扩张的次数：引入扩张次数$[E:F]$的概念，这是衡量一个域扩张“大小”的关键度量，它揭示了新域中元素相对于基域的自由度。 最小多项式：探讨每个代数元在其基域上都拥有的唯一首一不可约的最小多项式，这是理解代数元结构的基础。 本书的特色与目标读者 本书摒弃了大量冗余的计算练习，转而聚焦于概念的建立、定义的精确性以及定理背后的逻辑推导。它旨在培养读者对数学结构的直觉，理解为什么某些定义是必需的，以及证明的每一步是如何支撑起宏伟的理论大厦。 目标读者包括： 1. 已完成基础微积分与线性代数学习的数学、物理及计算机科学专业本科生，他们需要将零散的代数知识整合成一个统一的理论框架。 2. 准备进入研究生阶段学习的科研人员，他们需要快速掌握抽象代数的核心思想，以便在群论、环论、表示论等高阶领域中游刃有余。 3. 对数学本质有强烈兴趣的自学者，本书提供的严谨路径将带领他们领略数学的纯粹之美。 阅读本书，你将学会如何用最少的假设，推导出最丰富的结构结论，真正掌握现代数学语言的精髓。

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这本书的封面设计得非常引人注目，那种深沉的墨绿色搭配烫金的字体，立刻给人一种严谨而专业的学术氛围。我是在备战研究生入学考试时偶然接触到它的，当时的需求非常明确，就是要一本能系统梳理高等代数解题技巧的参考书。我花了整整一个下午仔细翻阅了目录和前几章的介绍，它的内容编排逻辑性极强，完全不是那种堆砌公式的冷冰冰的教材。作者似乎非常理解学生在学习过程中的痛点，从最基础的矩阵运算到抽象的线性空间结构，每一步的过渡都处理得极其自然。特别是关于特征值和特征向量的求解部分，它没有直接给出标准解法，而是先分析了不同类型矩阵的特性，引导读者思考“为什么”要用这种方法，这一点我非常欣赏。书中大量的例题不仅具有代表性，而且每道例题后都配有详细的“解题思路剖析”和“易错点警示”，这种手把手的教学方式，对于我这种需要通过大量练习来巩固知识点的学习者来说，简直是雪中送炭。读起来感觉就像是有一位经验丰富、耐心细致的老师在你身边陪着你一起攻克难关，而不是面对一本枯燥的参考书。

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真正让我感受到这本书价值的，是在我尝试用它提供的框架去解决一个我之前束手无策的课题研究中的数学模型时。那个模型涉及到一个高维度的线性变换系统，常规的数值解法收敛速度很慢。翻阅这本书的“应用拓展”章节时，我找到了关于“矩阵奇异值分解（SVD）”的深入解析，其讲解角度非常独特，着重阐述了SVD在数据降维和信息保留上的数学本质。作者并非简单地罗列SVD的步骤，而是将其置于更广阔的线性代数应用场景中进行考察。我根据书中的提示，重新审视了我的模型，发现可以通过一个巧妙的矩阵重构来加速求解过程。这种从基础理论到前沿应用，层层递进的知识构建方式，让这本书的实用价值远远超出了“解题”本身。它培养的不是解题的熟练度，而是**构建数学模型的洞察力**，这才是真正的“高等”之处。

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在使用这本书的过程中，我发现它在“深度挖掘”一些常见知识点方面做得非常出色，这是我以前翻阅过的很多同类书籍所不具备的。举个例子，关于向量组的线性相关性判定，很多书只是停留在计算行列式或者构建增广矩阵，但这本书却用大量的篇幅讨论了如何通过基变换来简化这个问题，甚至探讨了在不同坐标系下如何保持线性关系的**内在不变性**。这对于想要冲击更高层次学术研究的人来说，无疑是至关重要的。更让我惊喜的是，书中似乎收录了一些近年来高校竞赛或者期末考试中出现的“偏题怪题”的解法，而且作者的解法总是那么出人意料却又合乎逻辑。比如，对于某个涉及到多项式环的题目，我原以为需要用到复杂的抽象代数知识，结果作者仅仅通过巧妙地构造一个特定矩阵，就将其转化为一个简单的特征值问题。这种融会贯通的能力，正是这本书所试图传达的核心精神——**代数知识的灵活运用，而非孤立看待**。

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这本书的语言风格可以说是极其**犀利和高效**的。它完全摒弃了大学教材中那种冗长、绕弯子的叙述方式，直奔主题，每一个句子都仿佛经过了千锤百炼，信息密度高到惊人。我记得有一节讲如何通过初等行变换来判断矩阵的秩，书中用了一段话精确地概括了判定过程中的“陷阱”，那种用词的精准度，让我这个学了多年数学的人都感到震撼。它不是在“解释”概念，而是在“传授”一种**解题的思维范式**。我特别喜欢它对一些经典定理的“非标准”证明方式的探讨。比如，对于一些初学者觉得晦涩难懂的定理，作者会提供一个非常直观、基于几何直觉的解读，而不是纯粹的符号推导。这种做法极大地提升了我的理解深度，让我不再满足于“记住”结论，而是开始主动去“构建”知识体系。这本书的价值，就在于它教会你如何用最少的步骤，最巧妙的角度去解决那些看似复杂无序的代数问题，它更像是一本高级的“武功秘籍”，而不是入门指南。

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这本书的排版和印刷质量也值得称赞。在处理大量数学符号和复杂公式时，清晰度是至关重要的，而这本书在这方面做得无可挑剔。公式的对齐、上下标的区分都非常规范，即便是涉及到复杂的积分符号或者分块矩阵，也能一眼看出其结构，这在长时间阅读时极大地减轻了眼睛的疲劳。很多理工科书籍的“通病”就是公式印刷模糊或者排版拥挤，但这本书显然在细节上投入了极大的精力。此外，它的索引部分做得也非常人性化，当你需要快速回顾某个特定技巧时，可以通过索引迅速定位到相应的章节和例题编号。这对于我这种经常需要“查漏补缺”的备考者来说，效率提升是巨大的。它不仅仅是一本用来学习的书，更像是一本可以长期珍藏和随时翻阅的**工具手册**，其制作工艺体现了对读者体验的尊重。

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没有答案怎么活

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