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出版者:Springer London Ltd

作者:Bayro Corrochano, Eduardo 編

出品人:

頁數:540

译者:

出版時間:2010-5

價格:$ 179.67

裝幀:

isbn號碼:9781849961073

叢書系列:

圖書標籤:

• 計算機科學
• Springer
• Geometric
• Computing
• Algebra
• 2010
• 幾何代數
• 計算
• 數學
• 物理
• 計算機科學
• 算法
• 嚮量代數
• 多嚮量
• 應用數學
• 數值計算

《嚮量空間分析與張量代數基礎》 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個深入而嚴謹的數學基礎，聚焦於現代物理學、工程學及高級計算領域中不可或缺的嚮量空間理論、綫性代數的高級拓展以及張量分析的核心概念。本書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，避免瞭對幾何代數這一特定工具的討論，而是專注於構建和分析基礎的代數結構及其在不同應用背景下的具體錶現。 全書共分為六個主要部分，共計十五章。 第一部分：基礎綫性代數迴顧與深化（第1-3章） 本部分首先對初級的嚮量空間、綫性變換、基和維數等概念進行迴顧，但側重於從更抽象的代數角度進行闡述，特彆是引入域（Field）和模（Module）的區分，為後續張量積的定義打下嚴格的基礎。 第1章深入探討瞭有限維嚮量空間的結構，重點分析瞭特徵值、特徵嚮量的計算方法，特彆是對於非對稱矩陣的處理，包括若爾當標準型（Jordan Canonical Form）的理論推導及其在係統穩定性分析中的應用。 第2章著眼於綫性映射的對偶性。詳細討論瞭雙綫性型（Bilinear Forms）和二次型（Quadratic Forms）。通過規範形（Normal Forms）的分解，如蘭格-雪維利正規形（ নিয়ে-Sylvester’s Law of Inertia），讀者將掌握如何通過對角化來理解二次型的幾何意義。本章也涉及瞭正定性和半正定性的判彆標準。 第3章集中討論內積空間（Inner Product Spaces）。在實數域和復數域上，定義瞭正交性、傅立葉級數以及希爾伯特空間（Hilbert Space）的完備性概念。重點分析瞭自伴算子（Self-Adjoint Operators）的譜理論，這對於量子力學中的可觀測量有著直接的對應。 第二部分：張量代數的核心結構（第4-6章） 這是本書的核心部分，係統地構建瞭張量理論的代數框架，完全獨立於任何特定的幾何代數體係。 第4章首次引入張量的正式定義，將其視為多綫性映射的推廣。從直積空間（Tensor Product Space）的構造齣發，明確區分瞭協變張量（Covariant Tensors）和反變張量（Contravariant Tensors）。詳細討論瞭張量積的性質、張量積空間的維度計算以及張量積的結閤律。 第5章專注於張量的指標記號法和運算。深入講解瞭愛因斯坦求和約定（Einstein Summation Convention）在張量運算中的應用，包括張量的縮並（Contraction）、張量積的分解（例如，張量秩的確定）。本章通過大量的例子說明瞭如何利用指標運算來處理復雜的綫性係統。 第6章討論張量分解與變式。詳細分析瞭張量的分解定理，如奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在矩陣和更高階張量中的推廣——張量奇異值分解（Tensor SVD）。此外，還探討瞭張量網絡結構（Tensor Network Structures）的基礎概念，這些結構在數據壓縮和多體物理學中具有重要地位。 第三部分：微分幾何中的張量應用（第7-9章） 本部分將代數結構提升到微分幾何的背景下，研究流形上的張量場。 第7章介紹瞭流形（Manifolds）的基本概念，包括坐標係、圖冊（Atlas）和可微結構。重點在於如何在非綫性坐標變換下保持幾何對象的內在不變性，這正是張量定義的精髓所在。 第8章側重於流形上的微分形式和嚮量場。詳細討論瞭沿麯綫的綫積分、麯麵積分以及微分形式上的霍奇理論（Hodge Theory）的初步介紹。嚮量場的李導數（Lie Derivative）作為度量流對張量場的改變，被進行瞭詳細的數學推導。 第9章探討瞭度量張量（Metric Tensor）及其在黎曼幾何中的作用。定義瞭黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）和裏奇張量（Ricci Tensor）。通過剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols）的計算，分析瞭測地綫方程（Geodesic Equation）的推導過程，並討論瞭扁平空間（Flat Spaces）與彎麯空間張量性質的差異。 第四部分：對稱性與不變性分析（第10-11章） 本部分關注對稱群在嚮量空間和張量空間上的作用。 第10章迴顧群論基礎，並將其應用於綫性錶示論。討論瞭群作用下嚮量空間的分解，特彆是不可約錶示（Irreducible Representations）的概念。通過維格納-愛剋特定理（Wigner-Eckart Theorem）的代數基礎，展示瞭對稱性如何限製物理係統的可能狀態。 第11章深入研究張量錶示。分析瞭張量群（Tensor Group）作用下，不同張量子空間（如對稱張量、反對稱張量）的分解規律。本章的重點在於李群（Lie Groups）與李代數（Lie Algebras）的結構，以及它們在張量張量代數（TTOs）中的重要作用。 第五部分：張量分析與計算方法（第12-13章） 本部分將理論應用於實際的數值計算方法。 第12章討論瞭張量在數值分析中的應用，特彆是張量方程的求解。詳細介紹瞭基於迭代法的張量特徵值問題（Tensor Eigenvalue Problems）的求解策略，如功率迭代法在高階張量中的推廣。 第13章專注於張量網絡算法的實現細節。討論瞭張量分解中的截斷誤差控製，以及如何利用張量核乘法（Tensor Contraction）優化大規模計算。內容側重於算法的效率分析，而非特定幾何代數工具的引入。 第六部分：高級主題與泛函分析的連接（第14-15章） 最後兩章將主題擴展到無窮維空間和應用邊界。 第14章介紹瞭巴拿赫空間（Banach Spaces）和希爾伯特空間（Hilbert Spaces）的更深入分析，側重於算子理論，如自伴算子、緊算子等，並強調它們與無限維張量空間的聯係。 第15章對全書的數學結構進行瞭總結，並探討瞭張量分析在連續介質力學（Continuum Mechanics）中的應用邊界，例如應力張量（Stress Tensor）和應變張量（Strain Tensor）的本構關係分析，強調瞭這些工具在描述材料響應中的通用性，不涉及任何非經典的代數構造。 本書適閤作為高等數學、理論物理、應用數學、航空航天工程等專業的研究生或高年級本科生的教材。讀者應具備紮實的微積分和基礎綫性代數知識。

评分☆☆☆☆☆

對於任何希望將數學應用於實際問題的讀者來說，這本書的實用性是顯而易見的。我注意到作者在理論講解的同時，也巧妙地融入瞭許多實際應用的案例。雖然我還沒有深入研究這些案例，但從章節的標題和作者的簡要介紹中，我能感受到幾何代數在計算機圖形學、機器人學、信號處理等領域所展現齣的巨大潛力。我尤其對書中提到的“四元數”和“鏇轉器”的幾何代數錶示方式感到好奇。在傳統的計算機圖形學中，四元數是處理三維鏇轉的常用工具，而幾何代數似乎提供瞭一種更普適、更直觀的錶達方式。這種能夠將高維空間中的復雜變換用簡潔的代數語言來描述的能力，無疑為解決實際工程問題提供瞭強大的數學支撐。我認為，這本書不僅僅是理論上的探討，更是連接抽象數學與現實世界的橋梁，為我未來的研究和開發提供瞭寶貴的啓示。

评分☆☆☆☆☆

讀完這本書的感受，可以用“豁然開朗”來形容。在接觸幾何代數之前，我對很多幾何問題和變換的理解都停留在碎片化的階段，需要藉助不同的工具和公式來處理。而這本書，則為我提供瞭一個統一的視角和強大的數學框架。作者通過清晰的邏輯、精煉的語言和恰當的示例，成功地將幾何代數的精髓展現在我麵前。我感到自己不僅掌握瞭一套新的數學工具，更重要的是，我的思維方式得到瞭升華。我開始能夠以一種更全局、更優化的方式來思考幾何問題，並從中發現新的聯係和可能性。這本書讓我認識到，數學的美麗不僅僅在於其抽象的邏輯，更在於它能夠以如此優雅和統一的方式來描述和解決現實世界中的各種復雜現象。我強烈推薦這本書給任何對數學、物理、工程以及跨學科研究感興趣的讀者，它一定會為你的學習和思考帶來意想不到的收獲。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就給我留下瞭深刻的印象。深邃的藍色背景，輔以簡潔而有力的白色幾何綫條，仿佛在訴說著一種超越傳統數學的宏偉圖景。當我翻開它時，最先感受到的是作者對於嚴謹性的不懈追求。扉頁上清晰的字跡，以及引言中對幾何代數曆史淵源的追溯，都讓我意識到這並非一本淺嘗輒止的科普讀物，而是一次深入探究數學本質的徵程。我喜歡作者在開篇就提齣的關於“空間、方嚮與幾何結構統一描述”的宏大願景，這讓我對接下來的內容充滿瞭期待。雖然我還沒有深入到具體的章節，但僅憑這開篇的氛圍，我已經能預感到這本書將為我打開一扇全新的理解幾何學的大門。它似乎提供瞭一種看待世界的新視角，一種能夠將物理現象、計算機圖形學，甚至更廣泛的科學領域，都用一套統一的數學語言來解讀的可能性。這種整閤能力，是許多傳統數學分支難以企及的，也是我一直以來所渴望探索的方嚮。這本書的齣現，無疑為我的學習和研究提供瞭一個極具價值的起點，讓我對接下來的學習充滿瞭好奇和動力。

评分☆☆☆☆☆

這本書在理論構建方麵展現瞭極高的水 Sıty。作者在梳理幾何代數的邏輯體係時，錶現齣瞭大師級的洞察力。我注意到，他並沒有孤立地介紹各種運算，而是將它們有機地組織起來，形成一個完整的數學框架。特彆是關於“外積”、“內積”以及“幾何積”的引入和性質闡述，我覺得作者的處理方式非常到位。他不僅解釋瞭這些運算的定義，更重要的是，他深入探討瞭它們在幾何上的意義，以及它們如何能夠統一地錶示各種幾何變換。我特彆喜歡作者對“仿射變換”和“度量變換”的統一處理，這在傳統的綫性代數中是很難做到的。通過幾何代數，這些看似不同的概念，竟然可以用一套簡潔的代數語言來錶達，這讓我對數學的統一性有瞭更深的認識。書中對各種“代數結構”的細緻分析，例如 Clifford代數、Geometric代數等，都幫助我構建瞭一個清晰的知識體係。我感覺自己不僅僅是在學習一套新的工具，更是在理解一種全新的數學思維方式。

评分☆☆☆☆☆

在閱讀過程中，我尤其欣賞作者在引入抽象概念時的耐心和細緻。他並沒有直接跳入復雜的公式推導，而是花費瞭相當大的篇幅來闡述幾何代數的基本思想，以及它與我們直觀的幾何認識之間的聯係。我印象深刻的是他關於“代數對象如何反映幾何直觀”的討論，這是一種非常巧妙的引導方式，能夠幫助讀者逐步建立起對新概念的理解。書中穿插的插圖和圖示，也起到瞭至關重要的作用。它們不僅僅是裝飾，而是承載瞭關鍵的幾何信息，幫助我可視化那些抽象的代數運算如何對應著空間中的鏇轉、反射、投影等操作。我覺得這種“可視化”的學習方式，對於理解幾何代數這樣高度抽象的學科來說，是必不可少的。有時候，我會反復迴看某個圖示，嘗試去理解它背後所蘊含的數學原理，而作者的解釋總能適時地為我撥開迷霧。這種循序漸進、寓教於樂的教學方法，使得原本可能令人望而生畏的幾何代數，變得觸手可及，也讓我更有信心去剋服學習過程中遇到的挑戰。

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