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出版者:Springer London Ltd

作者:Bayro Corrochano, Eduardo 编

出品人:

页数:540

译者:

出版时间:2010-5

价格:$ 179.67

装帧:

isbn号码:9781849961073

丛书系列:

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《向量空间分析与张量代数基础》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的数学基础，聚焦于现代物理学、工程学及高级计算领域中不可或缺的向量空间理论、线性代数的高级拓展以及张量分析的核心概念。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，避免了对几何代数这一特定工具的讨论，而是专注于构建和分析基础的代数结构及其在不同应用背景下的具体表现。 全书共分为六个主要部分，共计十五章。 第一部分：基础线性代数回顾与深化（第1-3章） 本部分首先对初级的向量空间、线性变换、基和维数等概念进行回顾，但侧重于从更抽象的代数角度进行阐述，特别是引入域（Field）和模（Module）的区分，为后续张量积的定义打下严格的基础。 第1章深入探讨了有限维向量空间的结构，重点分析了特征值、特征向量的计算方法，特别是对于非对称矩阵的处理，包括若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的理论推导及其在系统稳定性分析中的应用。 第2章着眼于线性映射的对偶性。详细讨论了双线性型（Bilinear Forms）和二次型（Quadratic Forms）。通过规范形（Normal Forms）的分解，如兰格-雪维利正规形（ নিয়ে-Sylvester’s Law of Inertia），读者将掌握如何通过对角化来理解二次型的几何意义。本章也涉及了正定性和半正定性的判别标准。 第3章集中讨论内积空间（Inner Product Spaces）。在实数域和复数域上，定义了正交性、傅立叶级数以及希尔伯特空间（Hilbert Space）的完备性概念。重点分析了自伴算子（Self-Adjoint Operators）的谱理论，这对于量子力学中的可观测量有着直接的对应。 第二部分：张量代数的核心结构（第4-6章） 这是本书的核心部分，系统地构建了张量理论的代数框架，完全独立于任何特定的几何代数体系。 第4章首次引入张量的正式定义，将其视为多线性映射的推广。从直积空间（Tensor Product Space）的构造出发，明确区分了协变张量（Covariant Tensors）和反变张量（Contravariant Tensors）。详细讨论了张量积的性质、张量积空间的维度计算以及张量积的结合律。 第5章专注于张量的指标记号法和运算。深入讲解了爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）在张量运算中的应用，包括张量的缩并（Contraction）、张量积的分解（例如，张量秩的确定）。本章通过大量的例子说明了如何利用指标运算来处理复杂的线性系统。 第6章讨论张量分解与变式。详细分析了张量的分解定理，如奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）在矩阵和更高阶张量中的推广——张量奇异值分解（Tensor SVD）。此外，还探讨了张量网络结构（Tensor Network Structures）的基础概念，这些结构在数据压缩和多体物理学中具有重要地位。 第三部分：微分几何中的张量应用（第7-9章） 本部分将代数结构提升到微分几何的背景下，研究流形上的张量场。 第7章介绍了流形（Manifolds）的基本概念，包括坐标系、图册（Atlas）和可微结构。重点在于如何在非线性坐标变换下保持几何对象的内在不变性，这正是张量定义的精髓所在。 第8章侧重于流形上的微分形式和向量场。详细讨论了沿曲线的线积分、曲面积分以及微分形式上的霍奇理论（Hodge Theory）的初步介绍。向量场的李导数（Lie Derivative）作为度量流对张量场的改变，被进行了详细的数学推导。 第9章探讨了度量张量（Metric Tensor）及其在黎曼几何中的作用。定义了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）和里奇张量（Ricci Tensor）。通过克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）的计算，分析了测地线方程（Geodesic Equation）的推导过程，并讨论了扁平空间（Flat Spaces）与弯曲空间张量性质的差异。 第四部分：对称性与不变性分析（第10-11章） 本部分关注对称群在向量空间和张量空间上的作用。 第10章回顾群论基础，并将其应用于线性表示论。讨论了群作用下向量空间的分解，特别是不可约表示（Irreducible Representations）的概念。通过维格纳-爱克特定理（Wigner-Eckart Theorem）的代数基础，展示了对称性如何限制物理系统的可能状态。 第11章深入研究张量表示。分析了张量群（Tensor Group）作用下，不同张量子空间（如对称张量、反对称张量）的分解规律。本章的重点在于李群（Lie Groups）与李代数（Lie Algebras）的结构，以及它们在张量张量代数（TTOs）中的重要作用。 第五部分：张量分析与计算方法（第12-13章） 本部分将理论应用于实际的数值计算方法。 第12章讨论了张量在数值分析中的应用，特别是张量方程的求解。详细介绍了基于迭代法的张量特征值问题（Tensor Eigenvalue Problems）的求解策略，如功率迭代法在高阶张量中的推广。 第13章专注于张量网络算法的实现细节。讨论了张量分解中的截断误差控制，以及如何利用张量核乘法（Tensor Contraction）优化大规模计算。内容侧重于算法的效率分析，而非特定几何代数工具的引入。 第六部分：高级主题与泛函分析的连接（第14-15章） 最后两章将主题扩展到无穷维空间和应用边界。 第14章介绍了巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的更深入分析，侧重于算子理论，如自伴算子、紧算子等，并强调它们与无限维张量空间的联系。 第15章对全书的数学结构进行了总结，并探讨了张量分析在连续介质力学（Continuum Mechanics）中的应用边界，例如应力张量（Stress Tensor）和应变张量（Strain Tensor）的本构关系分析，强调了这些工具在描述材料响应中的通用性，不涉及任何非经典的代数构造。 本书适合作为高等数学、理论物理、应用数学、航空航天工程等专业的研究生或高年级本科生的教材。读者应具备扎实的微积分和基础线性代数知识。

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读完这本书的感受，可以用“豁然开朗”来形容。在接触几何代数之前，我对很多几何问题和变换的理解都停留在碎片化的阶段，需要借助不同的工具和公式来处理。而这本书，则为我提供了一个统一的视角和强大的数学框架。作者通过清晰的逻辑、精炼的语言和恰当的示例，成功地将几何代数的精髓展现在我面前。我感到自己不仅掌握了一套新的数学工具，更重要的是，我的思维方式得到了升华。我开始能够以一种更全局、更优化的方式来思考几何问题，并从中发现新的联系和可能性。这本书让我认识到，数学的美丽不仅仅在于其抽象的逻辑，更在于它能够以如此优雅和统一的方式来描述和解决现实世界中的各种复杂现象。我强烈推荐这本书给任何对数学、物理、工程以及跨学科研究感兴趣的读者，它一定会为你的学习和思考带来意想不到的收获。

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这本书在理论构建方面展现了极高的水 Sıty。作者在梳理几何代数的逻辑体系时，表现出了大师级的洞察力。我注意到，他并没有孤立地介绍各种运算，而是将它们有机地组织起来，形成一个完整的数学框架。特别是关于“外积”、“内积”以及“几何积”的引入和性质阐述，我觉得作者的处理方式非常到位。他不仅解释了这些运算的定义，更重要的是，他深入探讨了它们在几何上的意义，以及它们如何能够统一地表示各种几何变换。我特别喜欢作者对“仿射变换”和“度量变换”的统一处理，这在传统的线性代数中是很难做到的。通过几何代数，这些看似不同的概念，竟然可以用一套简洁的代数语言来表达，这让我对数学的统一性有了更深的认识。书中对各种“代数结构”的细致分析，例如 Clifford代数、Geometric代数等，都帮助我构建了一个清晰的知识体系。我感觉自己不仅仅是在学习一套新的工具，更是在理解一种全新的数学思维方式。

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在阅读过程中，我尤其欣赏作者在引入抽象概念时的耐心和细致。他并没有直接跳入复杂的公式推导，而是花费了相当大的篇幅来阐述几何代数的基本思想，以及它与我们直观的几何认识之间的联系。我印象深刻的是他关于“代数对象如何反映几何直观”的讨论，这是一种非常巧妙的引导方式，能够帮助读者逐步建立起对新概念的理解。书中穿插的插图和图示，也起到了至关重要的作用。它们不仅仅是装饰，而是承载了关键的几何信息，帮助我可视化那些抽象的代数运算如何对应着空间中的旋转、反射、投影等操作。我觉得这种“可视化”的学习方式，对于理解几何代数这样高度抽象的学科来说，是必不可少的。有时候，我会反复回看某个图示，尝试去理解它背后所蕴含的数学原理，而作者的解释总能适时地为我拨开迷雾。这种循序渐进、寓教于乐的教学方法，使得原本可能令人望而生畏的几何代数，变得触手可及，也让我更有信心去克服学习过程中遇到的挑战。

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对于任何希望将数学应用于实际问题的读者来说，这本书的实用性是显而易见的。我注意到作者在理论讲解的同时，也巧妙地融入了许多实际应用的案例。虽然我还没有深入研究这些案例，但从章节的标题和作者的简要介绍中，我能感受到几何代数在计算机图形学、机器人学、信号处理等领域所展现出的巨大潜力。我尤其对书中提到的“四元数”和“旋转器”的几何代数表示方式感到好奇。在传统的计算机图形学中，四元数是处理三维旋转的常用工具，而几何代数似乎提供了一种更普适、更直观的表达方式。这种能够将高维空间中的复杂变换用简洁的代数语言来描述的能力，无疑为解决实际工程问题提供了强大的数学支撑。我认为，这本书不仅仅是理论上的探讨，更是连接抽象数学与现实世界的桥梁，为我未来的研究和开发提供了宝贵的启示。

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这本书的封面设计就给我留下了深刻的印象。深邃的蓝色背景，辅以简洁而有力的白色几何线条，仿佛在诉说着一种超越传统数学的宏伟图景。当我翻开它时，最先感受到的是作者对于严谨性的不懈追求。扉页上清晰的字迹，以及引言中对几何代数历史渊源的追溯，都让我意识到这并非一本浅尝辄止的科普读物，而是一次深入探究数学本质的征程。我喜欢作者在开篇就提出的关于“空间、方向与几何结构统一描述”的宏大愿景，这让我对接下来的内容充满了期待。虽然我还没有深入到具体的章节，但仅凭这开篇的氛围，我已经能预感到这本书将为我打开一扇全新的理解几何学的大门。它似乎提供了一种看待世界的新视角，一种能够将物理现象、计算机图形学，甚至更广泛的科学领域，都用一套统一的数学语言来解读的可能性。这种整合能力，是许多传统数学分支难以企及的，也是我一直以来所渴望探索的方向。这本书的出现，无疑为我的学习和研究提供了一个极具价值的起点，让我对接下来的学习充满了好奇和动力。

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