小学数学应用题巧思妙解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖北辞书出版社

作者:陈范增 编

出品人:

页数:154

译者:

出版时间:2010-8

价格:18.80元

装帧:

isbn号码:9787540317942

丛书系列:

图书标签:

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探索无限可能的思维疆域：《几何学基础与现代应用》 一、本书概述与定位 《几何学基础与现代应用》是一部面向高等院校理工科专业学生、研究生，以及对现代几何学及其在物理、工程、计算机科学等领域应用感兴趣的专业人士的深度专著。本书旨在系统、严谨地构建欧几里得几何的严密基础，并在此基础上，逐步引入非欧几何、微分几何等现代几何学分支的核心概念与工具。我们力求在保持数学严谨性的同时，充分展现几何学作为一门充满活力和应用潜力的学科的面貌。 本书不同于传统的初级几何教材，它不侧重于平面图形的面积和体积计算等基础操作技能的训练，而是将重点放在几何对象的内在结构、变换的性质、拓扑不变量的探索，以及如何用几何语言精确描述现实世界的复杂形态上。全书结构清晰，由浅入深，力求为读者搭建起一座从古典直观到现代抽象的坚实桥梁。 二、核心内容深度解析 本书共分为六大部分，涵盖了从基础到前沿的多个关键领域： 第一部分：欧氏几何的严谨重构与解析几何的深化 本部分首先回顾并深化了欧氏几何的公理化基础，特别是对希尔伯特公理体系的理解，着重探讨了独立性、完备性等元理论问题。随后，我们将视角转向解析几何。不同于高中或大学初级微积分课程中仅将解析几何视为坐标工具的用法，本书深入挖掘了向量空间、仿射空间与射影空间在描述几何构型中的核心作用。 重点内容包括： 二次型与二次曲面的分类：利用特征值理论对圆锥曲线和二次曲面进行正交分解和几何意义的阐释。 刚体运动的代数描述：深入讲解旋转群 $SO(3)$ 和欧几里得群 $E(3)$，为后续的微分几何和机器人学打下变换群论基础。 第二部分：线性代数与几何的融合——欧几里得空间结构 本部分是连接代数与几何的关键桥梁。我们将内积空间、度量、正交性等概念提升到抽象向量空间的高度进行讨论。 核心章节聚焦于： 正交分解与最小二乘法：从几何角度理解投影定理，并将其应用于数据拟合和信号处理中的基础问题。 度量张量与等长变换：引入张量概念，精确定义欧氏空间中的距离和角度，并探讨保持这些度量不变的变换（等距变换）。 第三部分：拓扑学的萌芽——不变性的追求 拓扑学是现代几何学的基石之一，它关注的是在连续形变下保持不变的性质。本部分引入了拓扑空间的基本定义，但主要着力于那些具有强大几何直观的子领域。 连续性与同胚：严格定义同胚，并用直观的例子（如甜甜圈与咖啡杯的同构）阐释拓扑等价性。 连通性与紧致性：深入分析这些性质在函数空间和度量空间中的重要性。 欧拉示性数（Euler Characteristic）的几何解释：虽然本书尚未进入代数拓扑，但我们会在二维可定向曲面中计算欧拉示性数，并展示其作为曲面分类的重要拓扑不变量的威力。 第四部分：微分几何的入门——空间的弯曲与测地线 这是本书最具挑战性和应用价值的部分之一，它将微积分工具引入几何研究。 曲线的局部理论：详细讨论空间曲线的曲率和挠率，引入 Frenet-Serret 标架，精确描述曲线如何在三维空间中弯曲和扭曲。 曲面的第一、第二基本形式：这是微分几何的基石。我们利用坐标系来定义曲面上的度量（第一基本形式），并基于此导出曲率（高斯曲率和平均曲率）。 测地线方程：从能量最小化的角度推导出测地线（弯曲空间中的“直线”）的微分方程，为广义相对论中的时空路径奠定数学基础。 第五部分：非欧几何——拓宽我们对空间的认知 本书挑战了欧几里得几何中关于平行线的直觉认识，系统介绍了双曲几何和椭圆几何的构造。 庞加莱圆盘模型与双曲度量：在庞加莱圆盘模型中，我们清晰地展示了双曲空间中三角形内角和小于 180 度的特性，并计算了其对应的度量张量。 射影几何的回顾与应用：再次审视射影几何，探讨其在透视、计算机视觉中的直接应用，强调射影不变性。 第六部分：现代应用的几何视角 本部分致力于展示前述理论在当代科学中的实际应用，巩固学习的价值。 计算机图形学中的几何：讨论曲面参数化、法线计算、光照模型背后的微分几何原理。 数据科学中的几何方法：简要介绍流形学习（Manifold Learning）的基本思想，即将高维数据嵌入到低维流形上进行分析的几何学基础。 物理学中的几何语言：以爱因斯坦场方程的几何解释为引子，展示微分几何在描述时空结构中的不可替代性。 三、本书的教学特色与读者对象 本书的编写严格遵循“定义—定理—证明—应用”的逻辑链条。我们不满足于给出直观的结论，而是强调每一步推导的逻辑严密性。 深度证明：对于核心定理（如高斯绝妙定理、庞加莱-霍普夫定理的初步介绍），我们提供了详尽的、易于跟随的证明过程。 丰富的例题与习题：每章末尾包含大量的计算题、证明题以及启发性的思考题，后者往往引导读者探索更深层次的理论联系或实际应用。 视觉辅助：书中配有大量的几何构图示意图，帮助读者建立抽象概念的直观图像。 读者对象： 几何学、物理学、应用数学、信息与计算科学等专业本科高年级及研究生。 致力于深入理解广义相对论、现代控制论、机器人运动学等领域背后的数学结构的科研人员。 《几何学基础与现代应用》不仅是一本教科书，更是一张通往现代数学和科学前沿的蓝图，引领读者以几何学的眼光重新审视我们所处的世界。

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