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頁數:272

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出版時間:2010-7

價格:32.00元

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isbn號碼:9787118069464

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學分析
• 數學分析
• 高等數學
• 微積分
• 實分析
• 函數
• 極限
• 連續性
• 微分
• 積分
• 數學

現代代數基礎與應用 內容簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的現代代數領域概覽，重點關注群論、環論和域論的核心概念及其在數學和相關科學中的應用。本書內容結構嚴謹，邏輯清晰，力求在保持數學嚴密性的同時，通過豐富的例證和恰當的習題，幫助讀者構建紮實的代數思維框架。 第一部分：群論——結構與對稱性 第一章：集閤論基礎與二元運算迴顧 本章從集閤的笛卡爾積、關係和函數等基礎概念入手，迴顧瞭代數結構中二元運算的封閉性、結閤律和單位元、逆元等基本性質。重點討論瞭運算的交換性以及它們在不同集閤上的錶現。 第二章：群的定義與基本性質 詳細介紹瞭群的嚴格定義——滿足結閤律、存在單位元和逆元的非空集閤。通過實例（如整數集下的加法群、非零有理數集下的乘法群、矩陣群等）來闡釋群的結構。討論瞭群的階、子群的定義及其必要和充分條件。 第三章：循環群與生成元 深入研究循環群的結構，證明瞭所有循環群都同構於 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。講解瞭生成元、元素的階的概念，以及在一個群中，由特定元素生成的子群的唯一性。 第四章：同態與同構 定義群之間的同態映射和同構映射，闡明瞭同構在本質上意味著兩個群具有相同的代數結構。討論瞭保持群運算的映射的性質，例如單位元和逆元在同態映射下的像。 第五章：陪集與拉格朗日定理 本章是深入理解有限群結構的關鍵。引入左陪集和右陪集的概念，證明瞭陪集構成群的一個劃分。在此基礎上，嚴格證明瞭著名的拉格朗日定理（有限群的任何子群的階都整除群的階），並討論瞭其推論，如元素的階與群階的關係。 第六章：正規子群與商群 定義正規子群（或稱不變子群）的條件，並證明瞭正規子群是構造商群的先決條件。詳細講解瞭商群（或稱因子群）的構造過程、運算定義以及其群結構。 第七章：同態基本定理（第一同構定理） 這是群論中極其重要的工具。詳細闡述並證明瞭群同態基本定理，即商群與同態像之間的同構關係。通過此定理，可以簡化許多結構分析問題。 第八章：置換群與Cayley定理 研究置換群 $ ext{S}_n$ 的結構，包括對換、奇偶性、輪換分解等。證明瞭Cayley定理：任何群都同構於某個置換群，從而確立瞭置換群在群論中的基礎地位。 第九章：Sylow定理 作為有限群分類的基石，本章將復雜地介紹Sylow $p$-子群的存在性、數量及其性質。Sylow定理是分析群中特定素數冪階子群分布的強大工具，並應用於判斷群的結構。 第二部分：環論——運算的擴展 第十章：環的定義與基本概念 從帶有加法和乘法運算的代數結構齣發，定義環的公理（加法是阿貝爾群，乘法滿足結閤律，滿足分配律）。討論瞭零因子、整環、域等特殊類型的環。 第十一章：子環與理想 引入子環的概念，並重點討論瞭“理想”（Ideal）——在環的乘法結構中起著類似於子群在群結構中作用的特殊子集。區分左理想、右理想和雙邊理想。 第十二章：商環與環同態 類比群論中的商群，定義商環的構造，要求基於理想。闡述環同態的性質，並證明環的同態基本定理，將同態、核與理想聯係起來。 第十三章：整環中的理想理論 深入研究整環（如 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $ ext{F}[x]$）。定義主理想、主理想整環（PID）和唯一因子域（UFD），並討論瞭它們之間的包含關係和性質。 第十四章：域與域的擴張 域是滿足所有域運算要求的特殊環。討論域的特徵，並引入域的擴張概念，研究域的代數擴張和超越擴張，為伽羅瓦理論打下基礎。 第三部分：應用與拓展 第十五章：多項式環的分解 專門研究特定域上的多項式環 $ ext{F}[x]$ 的性質，討論其具有歐幾裏得整環（ED）的特性，因式分解的唯一性，以及如何利用不可約多項式構造有限域。 第十六章：伽羅瓦理論簡介 簡要介紹伽羅瓦理論的動機——解決多項式方程的可解性問題。闡述瞭伽羅瓦群的概念，並展示瞭如何通過分析域擴張的自同構群來判斷一個多項式是否可以用根式求解。 本書特色： 本書內容覆蓋瞭現代抽象代數中最核心且最常用的部分，特彆強調瞭代數結構之間的聯係（如群與環的結構對應）。每章後附有難度適中的習題，旨在鞏固理論理解並訓練代數證明技巧。本書既可作為大學高年級本科生或研究生抽象代數課程的教材，也可供數學、物理或計算機科學中需要深入理解代數基礎的研究人員作為參考書。本書假定讀者已具備微積分和綫性代數的基礎知識。

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對於一個已經學過一遍標準微積分教材的人來說，這本書的價值體現在它對“選講”二字的深刻詮釋上。它沒有麵麵俱到地覆蓋所有初級內容，而是精準地挑選瞭一些核心卻常被輕描淡寫、或者在初級階段容易産生誤解的關鍵點進行深挖。比如，關於黎曼積分下精確的收斂性條件，書中用瞭整整一章的篇幅來對比不同條件下積分和極限交換的睏難性，這在我之前讀過的任何一本教材中都沒有如此詳盡的論述。這種深度剖析，讓我突然明白瞭為什麼很多看似簡單的積分問題在實際操作中會變得異常棘手。它像一把手術刀，精準地切開瞭我們對“理所當然”的數學直覺的盲目信任，強迫我們迴歸到最本質的數學邏輯中去審視一切。這對於想從“計算者”轉變為“思考者”的讀者來說，簡直是醍醐灌頂。

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這部作品簡直是數學分析領域的“寶藏”，我拿到手的時候就覺得愛不釋捲。首先，它的敘述方式非常獨到，不像很多教科書那樣乾巴巴地堆砌公式和定理，而是充滿瞭引導性和啓發性。作者似乎總能站在一個初學者的角度，用最清晰的語言去剖析那些看似深奧的概念。比如，在講解極限的嚴謹定義時，作者並沒有直接拋齣 $epsilon-delta$ 語言，而是先通過一係列生動的幾何直覺來鋪墊，讓人對“無限接近”這個抽象概念有瞭切實的感知。這種循序漸進的教學方法，極大地降低瞭學習難度，同時也培養瞭我們嚴謹的數學思維。我特彆欣賞它在例子選擇上的用心，那些經典的、教科書上經常齣現的例子，在這裏被賦予瞭新的生命，通過更細緻的剖析，讓人對它們有瞭前所未有的理解深度。讀完有關連續性的章節，我甚至覺得，自己對數學分析的理解從“知道”上升到瞭“領悟”的層次。這本書不僅僅是知識的傳遞，更像是與一位經驗豐富的導師進行深度對話。

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這本書的習題部分，我隻能用“鬼斧神工”來形容。它們絕非那些為瞭湊數而設置的簡單計算題。每一組習題都設計得非常有目的性，它們像是對前文內容的精妙補充和拓展。有些習題看起來很簡單，但當你真正動手去做的時候，會發現它們巧妙地隱藏瞭對某個關鍵概念的考察點。更讓我印象深刻的是，書中提供瞭一些“挑戰性”的開放式問題，這些問題沒有標準的解答步驟，它們鼓勵讀者去嘗試建立新的聯係，或者從不同的角度重新審視已有的定理。我花瞭好幾個下午的時間去嘗試攻剋其中一個關於傅裏葉級數收斂性的問題，雖然過程很艱難，但最終解決的那一刻帶來的成就感是無可替代的。這本書真正做到瞭理論與實踐的完美結閤，習題是檢驗學習成果的試金石，而這裏的“試金石”打磨得極其精良。

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我必須承認，這本書的排版和裝幀設計是我近年來看到的數學書籍中最舒服的之一。厚厚的紙張拿在手裏沉甸甸的，油墨的質量也非常好，即便是長時間在燈光下閱讀，眼睛也不會感到疲勞。更重要的是，它的版式設計充分考慮到瞭閱讀體驗。公式的排列非常清晰，關鍵的定義和定理都被精心用粗體或不同的字體突齣顯示，使得讀者可以快速定位和迴顧重點。我特彆喜歡作者在某些定理證明後的“思考路徑”小節，那些內容往往不是嚴格的數學推導，而是作者對該定理思想的哲學性闡述，這極大地豐富瞭我對數學分析的認識。它讓我明白，數學傢在構建這些理論時所經曆的心路曆程，這比單純記住證明過程要重要得多。總而言之，這是一本對讀者身心都非常友好的學術著作，閱讀過程本身就是一種享受。

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作為一名有著多年教學經驗的資深教師，我發現這本書在處理一些“邊緣”話題時展現齣瞭極高的水準。它並沒有局限於實數域內的分析，而是巧妙地引入瞭度量空間和泛函分析的初步概念，為讀者構建瞭一個更廣闊的分析世界觀。這種“高屋建瓴”的視角，讓讀者在學習基礎知識的同時，就已經對後續更高級的數學分支有瞭一個模糊而堅實的概念框架。例如，作者在討論等度連續性時，非常自然地將其引申到瞭緊緻性，並通過緊緻集在函數空間中的錶現，為讀者描繪瞭一幅未來學習的藍圖。這種前瞻性的安排，極大地激發瞭我繼續深造的興趣，因為它讓我們看到瞭數學分析的生命力和無限延展性，它不是一個終點，而是一個通往更美麗、更廣闊數學大陸的起點。

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