数学分析选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

现代代数基础与应用 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数领域概览，重点关注群论、环论和域论的核心概念及其在数学和相关科学中的应用。本书内容结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严密性的同时，通过丰富的例证和恰当的习题，帮助读者构建扎实的代数思维框架。 第一部分：群论——结构与对称性 第一章：集合论基础与二元运算回顾 本章从集合的笛卡尔积、关系和函数等基础概念入手，回顾了代数结构中二元运算的封闭性、结合律和单位元、逆元等基本性质。重点讨论了运算的交换性以及它们在不同集合上的表现。 第二章：群的定义与基本性质 详细介绍了群的严格定义——满足结合律、存在单位元和逆元的非空集合。通过实例（如整数集下的加法群、非零有理数集下的乘法群、矩阵群等）来阐释群的结构。讨论了群的阶、子群的定义及其必要和充分条件。 第三章：循环群与生成元 深入研究循环群的结构，证明了所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。讲解了生成元、元素的阶的概念，以及在一个群中，由特定元素生成的子群的唯一性。 第四章：同态与同构 定义群之间的同态映射和同构映射，阐明了同构在本质上意味着两个群具有相同的代数结构。讨论了保持群运算的映射的性质，例如单位元和逆元在同态映射下的像。 第五章：陪集与拉格朗日定理 本章是深入理解有限群结构的关键。引入左陪集和右陪集的概念，证明了陪集构成群的一个划分。在此基础上，严格证明了著名的拉格朗日定理（有限群的任何子群的阶都整除群的阶），并讨论了其推论，如元素的阶与群阶的关系。 第六章：正规子群与商群 定义正规子群（或称不变子群）的条件，并证明了正规子群是构造商群的先决条件。详细讲解了商群（或称因子群）的构造过程、运算定义以及其群结构。 第七章：同态基本定理（第一同构定理） 这是群论中极其重要的工具。详细阐述并证明了群同态基本定理，即商群与同态像之间的同构关系。通过此定理，可以简化许多结构分析问题。 第八章：置换群与Cayley定理 研究置换群 $ ext{S}_n$ 的结构，包括对换、奇偶性、轮换分解等。证明了Cayley定理：任何群都同构于某个置换群，从而确立了置换群在群论中的基础地位。 第九章：Sylow定理 作为有限群分类的基石，本章将复杂地介绍Sylow $p$-子群的存在性、数量及其性质。Sylow定理是分析群中特定素数幂阶子群分布的强大工具，并应用于判断群的结构。 第二部分：环论——运算的扩展 第十章：环的定义与基本概念 从带有加法和乘法运算的代数结构出发，定义环的公理（加法是阿贝尔群，乘法满足结合律，满足分配律）。讨论了零因子、整环、域等特殊类型的环。 第十一章：子环与理想 引入子环的概念，并重点讨论了“理想”（Ideal）——在环的乘法结构中起着类似于子群在群结构中作用的特殊子集。区分左理想、右理想和双边理想。 第十二章：商环与环同态 类比群论中的商群，定义商环的构造，要求基于理想。阐述环同态的性质，并证明环的同态基本定理，将同态、核与理想联系起来。 第十三章：整环中的理想理论 深入研究整环（如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $ ext{F}[x]$）。定义主理想、主理想整环（PID）和唯一因子域（UFD），并讨论了它们之间的包含关系和性质。 第十四章：域与域的扩张 域是满足所有域运算要求的特殊环。讨论域的特征，并引入域的扩张概念，研究域的代数扩张和超越扩张，为伽罗瓦理论打下基础。 第三部分：应用与拓展 第十五章：多项式环的分解 专门研究特定域上的多项式环 $ ext{F}[x]$ 的性质，讨论其具有欧几里得整环（ED）的特性，因式分解的唯一性，以及如何利用不可约多项式构造有限域。 第十六章：伽罗瓦理论简介 简要介绍伽罗瓦理论的动机——解决多项式方程的可解性问题。阐述了伽罗瓦群的概念，并展示了如何通过分析域扩张的自同构群来判断一个多项式是否可以用根式求解。 本书特色： 本书内容覆盖了现代抽象代数中最核心且最常用的部分，特别强调了代数结构之间的联系（如群与环的结构对应）。每章后附有难度适中的习题，旨在巩固理论理解并训练代数证明技巧。本书既可作为大学高年级本科生或研究生抽象代数课程的教材，也可供数学、物理或计算机科学中需要深入理解代数基础的研究人员作为参考书。本书假定读者已具备微积分和线性代数的基础知识。