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出版者:

作者:武昌俊 编

出品人:

页数:222

译者:

出版时间:1970-1

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787111304166

丛书系列:

图书标签:

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好的，这是一本关于《空间几何与拓扑结构基础》的图书简介。 --- 图书简介：空间几何与拓扑结构基础 核心聚焦：从欧几里得空间到高维流形 《空间几何与拓扑结构基础》是一部面向高等院校数学、物理、工程学以及计算机科学专业高年级本科生和研究生的深度教材。本书旨在系统、严谨地构建读者对几何学和拓扑学核心概念的理解，不仅涵盖了经典欧几里得几何的精髓，更将视野拓展至现代微分几何和代数拓扑的前沿领域。全书结构清晰，论证详实，旨在架起纯粹数学理论与其实际应用之间的坚实桥梁。 第一部分：欧几里得几何的深化与解析 本书的开篇部分，从读者熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 出发，对基础几何概念进行了深入的重构和提升。 第一章：向量空间与度量结构 本章首先回顾了线性代数中关于向量空间和线性变换的基本知识，但重点立即转向度量空间的引入。详细阐述了内积空间、范数和距离的定义及其在几何中的直观意义。特别是对正交性和正交基的讨论，为后续的坐标变换和几何投影奠定了基础。我们引入了仿射空间的概念，区分了向量空间与几何空间的不同，强调了点与向量的区别。 第二章：经典几何的量化 本章深入探讨了如何用代数工具精确描述几何对象。内容包括：平面曲线和空间曲线的参数化表示，曲率和挠率的计算，它们是如何刻画曲线局部弯曲特性的。曲面的研究是本章的重点，引入了第一、第二基本形式，并详细推导了高斯曲率和平均曲率。通过对正曲率（椭圆型）、零曲率（抛物线型）和负曲率（双曲型）曲面的几何意义的分析，读者可以建立起关于表面形状的精确量化模型。本章还包含了对测地线概念的初步介绍，预示着下一部分的微分几何内容。 第二部分：微分几何的奠基 离开固定的欧几里得背景，本部分开始探索空间在局部具有“光滑”结构时，如何描述其几何性质。 第三章：流形的概念与构造 流形是现代几何学的核心语言。本章从局部胚胎开始，定义了拓扑流形，并逐步过渡到光滑流形。详细讲解了坐标系、坐标图、图册（Atlas）的构建，以及如何通过转换函数保证局部描述的协调性。本章特别强调了切空间的概念，将其视为流形上每一点的“局部线性近似”，这是后续微分几何分析工具的基础。 第四章：张量分析与微分形式 为了在不同坐标系下保持几何描述的独立性（即张量性），本章系统地引入了张量的代数结构——协变张量和反变张量。在此基础上，我们构建了微分形式（0-形式、1-形式、2-形式等）的代数和微分结构。外微分算子 $d$ 的定义及其满足的性质（如 $d^2=0$）是本章的精髓，它将传统微积分中的梯度、旋度和散度统一在一个优雅的框架之下。 第五章：黎曼几何的引入 黎曼几何是研究可测量的光滑空间。本章定义了黎曼度量张量，它允许我们在流形上定义长度、角度和体积。重点推导了联络的概念，特别是列维-奇维塔联络的唯一性。通过联络，我们定义了协变导数和测地线方程，阐明了测地线如何成为流形上“最短路径”的推广。最后，本章导出了黎曼曲率张量，它是衡量一个空间偏离平直性的最终代数度量。 第三部分：拓扑学的视角 拓扑学关注的是那些在连续形变（拉伸、弯曲，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。 第六章：拓扑空间的基础 本章从集合论出发，严格定义了拓扑空间，包括开集、闭集、邻域等基本概念。随后，详细探讨了连续映射、同胚的定义。通过对连通性（路径连通、道路连通）和紧致性的分析，读者将理解为什么这些性质在几何形变下是普适的。 第七章：同伦与同调的初步概念 本章将拓扑学的抽象性推向应用。我们引入了同伦群 $pi_n(X)$ 的概念，尤其是 $pi_1(X)$（基本群），用以区分具有不同“洞”结构的拓扑空间（例如，圆周与圆盘的区别）。紧接着，本书介绍了同调群 $H_n(X)$ 的直观思想，解释了它如何提供一套更易于计算的不变量来区分流形。 结语与展望 本书的叙事线索是：从精确的量化（欧几里得几何）过渡到局部结构分析（微分几何），最终提升到全局不变性研究（拓扑学）。《空间几何与拓扑结构基础》不仅是一套严谨的理论工具箱，更致力于培养读者在处理复杂空间问题时，能够切换自如地运用解析的精确性和拓扑的整体观。书后附有大量的习题，这些习题不仅检验了计算能力，更引导读者独立思考几何结构的深层联系。 --- 目标读者群体： 数学分析、几何学、理论物理（如广义相对论）、机器人学、计算机图形学中需要深入理解空间结构和变换的专业人员。

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