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出版者:

作者:Berresford, Geoffrey C.; Rockett, Andrew M.

出品人:

页数:896

译者:

出版时间:2009-1

价格:0

装帧:

isbn号码:9780495831716

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
• Applied Mathematics
• Mathematics
• Engineering Mathematics
• STEM
• Higher Education
• Textbook
• Differential Calculus
• Integral Calculus
• Functions

《现代数理物理导论：从基础到前沿》 本书聚焦于现代物理学研究中不可或缺的数学工具与方法，旨在为物理学、工程学以及应用数学领域的学生和研究人员提供一套全面、深入且实用的数理基础训练。 本书摒弃了传统教材中对基础微积分概念的过度重复，而是将重点放在高等数学在描述复杂物理现象时的应用和深化上。 第一部分：泛函分析与线性代数的高级视角 本部分将线性代数的讨论提升至无限维空间——即希尔伯特空间和巴拿赫空间——的层面，这是量子力学和偏微分方程理论的基石。 第一章：向量空间与内积空间的几何直观重塑 我们重新审视有限维空间中的概念，如基、线性变换和特征值分解，并立即将其推广到由无穷序列或函数构成的空间。重点阐述施密特正交化过程在构造函数空间正交基中的关键作用。此外，引入算子理论的初步概念，探讨紧算子和稠密算子的性质。我们将通过傅里叶级数和傅里叶变换作为具体实例，展示如何将复杂函数分解为正交基的线性组合，从而简化分析。 第二章：算子理论与谱分析 深入探讨线性算子在函数空间上的作用。区别自伴随算子（Self-Adjoint Operators）和酉算子（Unitary Operators）。对于自伴随算子，谱定理（Spectral Theorem）是核心内容，它不仅提供了特征值和特征向量的推广，更重要的是，它解释了如何通过谱分解来理解和计算这些算子的函数（如指数、对数）。我们会详细分析算子在薛定谔方程时间演化中的物理意义。本章还将介绍算子范数和算子不等式，为处理无穷维空间的收敛性问题奠定基础。 第二部分：偏微分方程的现代处理方法 本部分侧重于物理学家和工程师在解决实际问题时必须掌握的偏微分方程（PDEs）的现代求解技术，特别是那些源于场论和波动现象的方程。 第三章：基础方程的弱解与能量方法 我们不再仅仅关注经典解的存在性与光滑性，而是转向更具普适性的弱解（Weak Solutions）概念，特别是针对涉及不连续性或奇异源项的问题。拉格朗日形式和能量守恒原理被用来推导波动方程和扩散方程的变分原理。重点演示“能量法”如何证明解的唯一性和稳定性，这在数值模拟的先验分析中至关重要。 第四章：傅里叶变换与卷积在PDE求解中的应用 深入探讨傅里叶变换在求解常系数线性PDE中的威力。不仅演示如何将空间导数转化为代数乘法，更重要的是，介绍格林函数（Green's Functions）的构造方法。通过拉普拉斯方程和泊松方程的格林函数，我们将展示如何将边界值问题转化为积分方程，并利用卷积定理快速获得解析解。对有限域问题，傅里叶级数和特征函数展开方法将进行详尽讨论。 第五章：分布论与广义函数入门 为了严谨地处理狄拉克 $delta$ 函数、阶跃函数以及更一般的奇异源项，本章引入分布论（Theory of Distributions）。定义测试函数空间和分布的拓扑结构。我们将展示如何计算不可微函数的导数（如 $frac{d}{dx} |x| $），以及如何用分布的意义来理解格林函数在源点处的奇异性。这将为理解场论中的正则化技术提供必要的数学工具。 第三部分：几何分析与场论的数学结构 本部分跨越经典力学和相对论的边界，探讨现代物理学中对流形和微分形式的依赖。 第六章：微分几何基础：流形、向量场与张量 介绍微分流形（Manifolds）的概念，作为描述物理空间的基本框架。定义流形上的切空间、向量场和张量场。重点讲解协变导数（Covariant Derivative）的必要性，解释它如何在弯曲空间中定义“平行移动”和“加速度”，这是广义相对论的语言基础。张量场的收缩、积和李导数将被详细阐述。 第七章：微分形式与外代数 介绍微分 $k$-形式（Differential $k$-forms）作为对偶于向量场的结构，它们是积分和几何分析的自然语言。建立外积（Wedge Product）代数结构。重点应用德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的概念，解释法拉第定律、高斯定律和安培定律（麦克斯韦方程组）的紧凑形式如何源于外微分算子 $d$ 的性质 ($d^2=0$)。 第八章：积分理论与广义斯托克斯定理 本章的中心是广义斯托克斯定理（Generalized Stokes' Theorem），它统一了牛顿-莱布尼茨公式、格林定理、高斯散度定理和经典斯托克斯定理。通过在 $n$ 维流形上应用该定理，我们将精确地建立通量（Flux）与边界积分之间的关系，这是物理守恒定律在任意坐标系下表述的数学保证。 附录：数值方法中的误差分析与收敛性 鉴于现代物理研究高度依赖计算，附录将简要回顾数值分析中的关键数学概念，包括泰勒展开的高阶误差界限、欧拉方法和龙格-库塔方法（RK4）的局部截断误差分析，以及有限差分方法中的一致性、稳定性和收敛性（Lax 等价定理的物理意义）。 本书特点： 应用驱动： 每个数学概念都紧密联系一个具体的物理模型或挑战。 深度与广度兼顾： 提供了从经典分析到现代几何分析的平滑过渡。 面向研究： 内容涵盖了研究生阶段物理建模所需的核心数学工具，而非仅仅停留在工程计算层面。

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