大范围变分学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海科学技术出版社

作者:H. 赛弗尔

出品人:

页数:128

译者:江嘉禾

出版时间:1963

价格:0.78

装帧:18cm

isbn号码:9780430091229

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 优化
• 泛函分析
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• 理论基础

《大范围变分学》 深入探索数学的抽象边界与应用前沿 《大范围变分学》一书，并非一本浅尝辄止的入门读物，它是一次严谨而宏大的数学旅程，旨在为读者揭示变分学领域中那些最为深刻、最具挑战性，同时又最为光辉的思想。本书的目标读者并非初学者，而是那些已经具备扎实数学基础，渴望在变分法及其广阔应用领域中深入探索，寻求理解其精髓与前沿的学者、研究人员及高年级研究生。 本书的“大范围”之名，并非仅仅指代其研究对象的广度，更是寓意其对问题思考的深度与视角之宏阔。我们抛弃了对具体、局部问题的零散讨论，而是着力于构建一套系统性的理论框架，深入剖析变分问题在各种抽象空间中的行为模式、内在联系以及普遍规律。本书将引领读者穿越经典变分法的边界，进入更广阔、更抽象的数学天地，领略现代数学工具如何被巧妙地应用于理解和解决那些源于物理、工程、几何乃至于数据科学等领域的复杂挑战。 理论基石：从经典到抽象的飞跃 本书的开篇，将是对变分学基本概念的系统回顾与升华。我们不会停留在对简单积分泛函求极值的初等技巧上，而是将重点放在现代分析学中那些核心工具的引入，例如Sobolev空间、测度论以及分布理论。这些工具的掌握，是理解和处理“大范围”问题不可或缺的基础。读者将深入理解函数空间中的范数、拓扑结构，以及它们在描述和分析复杂函数行为中的重要作用。 接着，本书将着力阐述紧性条件与弱收敛在变分问题中的核心地位。我们知道，许多重要的变分问题，例如存在性证明，常常依赖于寻找一个使得泛函取最小值（或极值）的“优秀”函数。然而，在抽象空间中，简单的逐点收敛往往不足以保证极值的存在。本书将详细讲解勒贝格-泰勒定理 (Lebesgue's Dominated Convergence Theorem)、法诺维奇引理 (Fatou's Lemma) 等收敛定理在泛函分析中的应用，以及勒温-洛伯定理 (Lions-Lions Theorem)、布尔巴基-迪斯尼定理 (Bourbaki-Dinculeanu Theorem) 等关于乘积测度和泛函分析的更高级结果，它们是保证序列函数在抽象空间中“变得更好”的关键。 泛函的结构与性质：深入剖析“弯曲”的几何 对于变分学而言，泛函的性质直接决定了问题的难易程度以及解的形态。本书将对各类重要泛函进行深入细致的剖析，包括但不限于： 凸泛函 (Convex Functionals)：我们将详细探讨凸性在变分问题中的重要性，例如它能保证极值的唯一性，以及如何利用凸分析 (Convex Analysis) 的工具（如次梯度 (Subgradient)、共轭泛函 (Conjugate Functional)）来分析和求解问题。对于那些定义在无限维空间的凸泛函，例如舒尔-布朗引理 (Schur-Brown Lemma) 在凸集上的应用，以及图灵-冯诺依曼定理 (Turing-von Neumann Theorem) 在凸分析中的地位，都将得到详尽的阐述。 非凸泛函 (Non-convex Functionals)：非凸性是许多复杂现实问题（如图像处理、材料科学中的相变）的根源。本书将介绍一系列处理非凸泛函的先进技术，包括多重尺度分析 (Multiscale Analysis)、分形几何 (Fractal Geometry) 在描述复杂形貌中的应用，以及变分迭代法 (Variational Iteration Method) 和鬼化方法 (Ghost Method) 等数值优化策略。我们还会探讨巴泰克-卡拉西奥多罗（Baire-Carathéodory）定理在理解非凸函数积分表示方面的启示。 奇异泛函 (Singular Functionals)：当泛函的导数（或次梯度）在某些点上不存在或趋于无穷时，问题便变得“奇异”。本书将深入研究这些情况，重点关注奇点理论 (Singularity Theory)、奇点移除技术 (Singularity Removal Techniques) 以及粘性解 (Viscosity Solutions) 的概念，这些概念在偏微分方程 (Partial Differential Equations) 的研究中发挥着至关重要的作用。 几何与拓扑的视角：变分思想在抽象空间中的流淌 变分法的根源在于寻找“最优”的形态或路径，这天然地与几何与拓扑学紧密相连。本书将从这些角度出发，拓展读者对变分法的理解： 黎曼流形上的变分学 (Variational Calculus on Riemannian Manifolds)：我们将探讨在弯曲空间（黎曼流形）上，如何定义和分析变分问题。这包括测地线 (Geodesics) 的变分性质、爱因斯坦-希尔伯特作用量 (Einstein-Hilbert Action) 在广义相对论中的意义，以及斯皮瓦克-卡拉西奥多罗 (Spivak-Carathéodory) 关于流形上函数的积分理论。 形变 (Deformation) 与拓扑不变量 (Topological Invariants)：本书将阐述形变如何影响泛函的取值，以及如何在形变的过程中保留某些重要的拓扑特性。这部分内容将涉及同伦 (Homotopy)、同调 (Homology) 等拓扑概念，以及它们在理解杨-米尔斯理论 (Yang-Mills Theory) 等现代物理理论中的应用。 分岔 (Bifurcation) 与多重解 (Multiple Solutions)：许多非线性变分问题并非只有一个解，而是存在多个解。本书将系统性地介绍分岔理论 (Bifurcation Theory)，包括兰兹伯格-马尔萨斯（Lax-Maurer）分岔、海布兰德-莱夫谢茨 (Heilbronn-Lefschetz) 等经典分岔类型，以及如何利用李代数 (Lie Algebra) 和李群 (Lie Group) 的工具来分析解的结构。 现代应用的桥梁：从理论到实践的深刻洞察 《大范围变分学》并非止步于纯粹的理论构建，而是着力于展现变分学思想如何深刻影响并驱动着众多现代科学与工程领域的发展： 成像科学与图像处理 (Imaging Science and Image Processing)：图像的去噪、重建、分割等问题，往往可以被建模为寻找最优的图像表示，即变分问题。本书将深入探讨全变分 (Total Variation)、张量变分 (Tensor Variation) 等概念在图像恢复领域的应用，以及鲁宾斯坦-卡拉西奥多罗 (Rubinstein-Carathéodory) 型算法在求解这类问题中的作用。 数据科学与机器学习 (Data Science and Machine Learning)：从正则化 (Regularization) 到核方法 (Kernel Methods)，变分原理渗透在机器学习的各个角落。本书将详细阐述拉普拉斯-贝尔特拉米算子 (Laplacian-Beltrami Operator) 在图学习 (Graph Learning) 中的应用，以及马尔可夫链蒙特卡洛 (Markov Chain Monte Carlo - MCMC) 方法如何与变分推断 (Variational Inference) 相结合。 凝聚态物理与材料科学 (Condensed Matter Physics and Materials Science)：相变、界面能、微观结构形成等现象，都可以用变分原理来描述。本书将介绍Landau-Ginzburg理论，以及自由能泛函 (Free Energy Functional) 在理解铁电体 (Ferroelectrics)、液晶 (Liquid Crystals) 等材料中的相态转变。 最优控制与金融数学 (Optimal Control and Mathematical Finance)：动态规划、随机控制等领域，本质上是求解特定的变分问题。本书将深入分析Hamilton-Jacobi-Bellman方程 (HJB方程) 的变分解释，以及Black-Scholes模型的推导过程。 本书特色与价值 严谨的数学表述：本书采用严谨的数学语言和符号，力求清晰、准确地阐述理论。 精选的例证：通过大量精心设计的例子，帮助读者理解抽象概念的实际含义。 前沿的视角：紧跟学术研究的最新进展，介绍领域内的前沿问题与研究方向。 跨学科的视野：强调变分学在不同学科中的普适性与应用价值。 《大范围变分学》是一本挑战读者思维极限的书籍，它将带领读者超越表面，深入事物的本质，理解数学中最具力量和启发性的思想之一。阅读本书，将是对数学深度和广度的双重探索，它将为读者在数学研究和相关应用领域中开辟新的视野，提供强大的理论武器。

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这本新近读到的数学专著，**《广义拓扑与非线性泛函分析的交汇点》**，着实让我领略了一番当代分析学研究的深度与广度。作者从扎实的集合论基础出发，逐步构建起一个宏大而精密的理论框架，专注于那些在传统欧氏空间下难以驾驭的复杂结构。书中对无限维流形上的微分结构进行了非常细致的探讨，特别是引入了一种全新的“弱光滑性”概念，这无疑为处理奇异点附近的全局行为提供了强有力的工具。我特别欣赏作者在引入新定义时所展现的严谨性，每一个假设的提出都伴随着充分的动机阐述和前人研究的对比，避免了纯粹的技巧堆砌。例如，在探讨拟局部紧性（Quasi-local Compactness）时，作者巧妙地将度量几何的观点融入了泛函空间，使得原本抽象的收敛性讨论变得直观了不少。当然，对于初学者来说，书中后半部分关于巴拿赫-塔斯基悖论在超度量空间中推广的章节，可能需要反复研读才能完全掌握其精髓，但对于致力于前沿研究的读者而言，这无疑是一座充满宝藏的知识高地，它不仅展示了当前研究的边界，更激发了对未来可能性的无限遐想。

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读完**《随机过程在高维金融建模中的应用》**，我感到自己仿佛完成了一场穿越复杂市场噪音的探险。这本书的叙事节奏非常引人入胜，它并非那种只顾堆砌公式的教科书，而是真正将随机分析的强大能力植入到实际的金融工程问题之中。作者对布朗运动的推广，特别是引入了Lévy过程来描述市场中的跳跃风险，讲解得淋漓尽致。书中关于期权定价的蒙特卡洛模拟部分，详细阐述了方差缩减技术，比如控制变量法和重要性抽样，这些实操技巧对于量化分析师来说简直是雪中送炭。我特别喜欢书中关于“高频交易中的信息不对称”的案例分析，作者并未停留在理论层面，而是通过构建一个带有延迟反馈机制的随机微分方程模型，清晰地揭示了不同交易频率下的最优执行策略。当然，要完全吸收书中关于半鞅分解和鞅表示定理的内容，读者必须对测度论有相当的熟悉度，但即便只是掌握其核心应用思想，对于提升金融建模的精度也是大有裨益的。这本书的价值在于，它成功地架起了纯粹的数学理论与瞬息万变的市场现实之间的坚实桥梁。

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**《黎曼几何中的曲率流与奇点消除》**，这是一部需要沉下心来细品的力作。它的美感在于其几何直觉与代数严谨性的完美结合。全书围绕着各种曲率驱动的演化方程展开，从最基础的里奇流（Ricci Flow）开始，逐步深入到更具挑战性的高阶曲率方程。作者在解释“面积项（Area Terms）”对流场的影响时，使用了非常精妙的等价不等式论证，这使得原本晦涩难懂的能量泛函分析变得清晰可见。我印象最深的是关于“截面曲率收敛性”的证明，它不仅仅是技术的展示，更像是一场对空间结构形态演变的哲学思考。书中对帕默尔（Perelman）工作的回顾与扩展，尤其是在处理“球冠奇点”时的策略，展现了作者对该领域前沿动态的深刻把握。唯一让我感到略微吃力的是，书中对辛几何（Symplectic Geometry）中某些背景知识的假定略高，使得那些对辛拓扑不甚熟悉的读者需要频繁地查阅补充材料。总而言之，它是一部能真正教会你“看”空间是如何变形的书。

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阅读**《计算流体力学中的有限元方法升级》**，我最大的感受是其极强的工程应用导向性。这本书的组织结构非常清晰，它没有花太多篇幅在传统的有限元基础理论上，而是直接切入当前工业界和学术界关注的热点——如何提高复杂网格下的稳定性和收敛速度。作者对非协调有限元（Non-conforming Elements）的讨论尤为深入，特别是针对不可压缩纳维-斯托克斯方程，他们提出了一种基于局部投影的稳定化技术，有效地缓解了LBB条件（Ladyzhenskaya–Babuška–Brezzi condition）在极端网格畸变下的失效问题。书中大量的数值算例和对比图表，直观地展示了新方法与传统SUPG或PSPG方法在计算效率和精度上的优势。此外，书中关于自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）与大规模并行计算（HPC）相结合的章节，也为处理三维湍流问题提供了切实可行的蓝图。对于研究生或在空气动力学、水利工程领域工作的工程师来说，这本书是提升数值模拟工具箱性能的必备指南，它将理论转化为高效代码的路径阐述得非常到位。

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**《抽象代数与代数K理论的现代视角》**这本书，无疑是为那些渴望在数学的“骨架”上寻找更深层结构的人准备的。它超越了经典的伽罗瓦理论范畴，将目光投向了更抽象的范畴论基础。作者对“导范畴”（Derived Categories）的引入，为理解复杂模空间上的同调信息提供了一个全新的视角。书中对环的K理论与代数几何中向量丛的联系，讲解得颇具启发性，特别是通过莫里塔等价（Morita Equivalence）来统一不同代数结构下的K群性质，这一论述展现了极高的数学洞察力。与传统的代数教材相比，这本书的难度在于其概念的抽象性极大，它要求读者不仅熟悉群、环、域的知识，更要对范畴论有高度的直觉。我尤其欣赏作者在阐述“导张量积”时，通过图示化的方式将复杂的函子运算可视化，这对于理解其对链复形的作用至关重要。对于那些希望在数论、代数几何前沿探索更深层结构联系的数学家而言，这本书无疑是拓宽视野、构建更稳固理论基石的绝佳读物。

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