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出版者:科学出版社

作者:莫尔杜霍维奇

出品人:

页数:514

译者:赵亚莉王炳武钱伟懿

出版时间:2011-9

价格:98.00元

装帧:

isbn号码:9787030321787

丛书系列:现代数学译丛

图书标签:

变分分析与广义微分
数学
变分
2011
变分分析
广义微分
泛函分析
优化理论
非光滑分析
凸分析
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应用数学
高等教育
学术著作

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具体描述

《变分分析与广义微分1:基础理论》是现代变分分析创始人之一的美国州立Wayne大学Boris S.Mordukhovich教授的最新专著，涵盖了无穷维空间中变分分析的最新成果及其应用。第1章系统介绍了一般Banach空间中的广义微分理论；第2章细致研究了变分分析中的“极点原理”，它是《变分分析与广义微分1:基础理论》和无穷维变分分析的主要工具；第3章是Mordukhovich广义微分理论的基石，它涵盖了Asplund空间中基本法锥、次梯度和上导数的完备分析法则；第4章研究集值映射的Lipschitz性质、度量正则性和线性开性／覆盖性及其在参数约束和变分系统灵敏性分析上的应用。

《变分分析与广义微分1:基础理论》主要面向非线性分析、最优化、均衡、控制和对策论、泛函微分方程和数理经济等专业的高年级本科生和研究生，也可供运筹学、系统分析、力学、工程和经济学中涉及变分法的研究人员和工程技术人员参考。

变分分析与广义微分 I：探索最优解的数学领域《变分分析与广义微分 I》是一部深度探讨数学核心分支——变分分析与广义微分理论的著作。本书旨在为读者构建坚实的理论基础，引领他们深入理解如何从连续或离散的变量中寻找最优解，以及如何处理和分析非光滑、不连续等经典微分框架难以触及的问题。这部作品不仅是数学专业人士案头的必备参考，更是对物理、工程、经济、金融等领域中涉及优化、控制、系统建模等问题的研究者提供了强有力的理论工具和深刻的洞察。核心内容概述：本书的灵魂在于其对“最优性”的数学刻画与求解。在现实世界的许多问题中，我们常常面临寻找“最好”的方案，例如在给定约束条件下最小化成本、最大化收益、优化系统性能、或寻求最稳定的状态。这些问题在数学上往往转化为寻找某个函数（或泛函）的最小值或最大值。传统微积分中的微分方法在处理光滑函数时表现出色，但当目标函数或约束条件变得复杂，例如存在不连续点、尖点、或集合之间的边界时，其局限性便显现出来。《变分分析与广义微分 I》正是为了弥补这一不足而生。它系统地介绍了变分分析的理论基石，包括：泛函理论：泛函是函数的函数，将函数空间映射到实数域。在变分分析中，我们关注的往往是泛函的极值问题。本书将详细阐述泛函的定义、性质，以及如何通过变分原理来刻画最优解的存在性、唯一性和性质。这包括对欧拉-拉格朗日方程的深入剖析，以及在各种边界条件下的应用。变分积分：变分积分是变分法中的核心工具，它通过对函数的变化量进行分析，来寻找使泛函取极值的函数。本书将介绍变分积分的计算方法，包括直接法、能量法等，并探讨如何利用这些方法解决各种物理和工程中的经典问题，如最短路径问题、最小曲面问题、弹性体变形等。凸分析与凸集：凸性是数学中一个极其重要的概念，它赋予了许多问题良好的性质，使得我们能够更有效地寻找最优解。本书将深入探讨凸集、凸函数以及它们在变分分析中的作用。凸性保证了局部最优解即为全局最优解，这极大地简化了优化问题的求解过程。度量空间与Banach空间：为了严谨地处理无穷维函数空间，本书将引入度量空间和Banach空间等现代泛函分析的概念。这些抽象的数学框架为理解和分析无限维优化问题提供了必要的语言和工具。逼近理论与存在性定理：在许多情况下，最优解可能不是解析可得的，需要通过逼近方法来求解。本书将介绍一系列重要的存在性定理，如 the Weierstrass theorem, Arzelà-Ascoli theorem 等，它们为证明最优解的存在性提供了理论保证。广义微分概念：经典微分只适用于光滑函数。而广义微分，特别是次梯度（subgradient）和集合值映射（set-valued maps）等概念，则将微分的强大分析工具推广到了非光滑和不连续的函数以及更一般的问题。本书将详细介绍这些概念的定义、性质及其在优化问题中的应用。次梯度：对于凸函数，次梯度提供了一种“广义的导数”，能够刻画函数在某一点的下降方向。本书将阐述次梯度的计算方法、几何意义，以及如何利用次梯度下降法等算法来求解非光滑凸优化问题。集合值映射：在描述一些具有不确定性或多值行为的系统时，集合值映射扮演着关键角色。本书将介绍集合值映射的性质，如闭性、紧性等，以及它们在不动点定理、微分包含（differential inclusions）等领域中的应用。本书的特色与价值：《变分分析与广义微分 I》并非一本浅尝辄止的入门读物，它以严谨的数学推导和深入的理论分析为核心，力求构建读者对变分分析和广义微分的全面而深刻的理解。本书的几大特色使其在同类书籍中脱颖而出： 1. 系统性与全面性：本书从最基本的概念出发，逐步深入到理论的核心，涵盖了变分分析与广义微分的多个关键分支。读者能够通过本书建立起一个完整而连贯的知识体系。 2. 严谨性与深度：所有的理论推导都力求严谨，证明过程清晰。本书深入挖掘每个概念背后的数学原理，使读者不仅仅停留在“是什么”，更能理解“为什么”。 3. 理论与应用的桥梁：虽然本书以理论为重，但其中穿插的丰富例子和对实际问题的数学建模，能够帮助读者理解这些抽象的数学工具在解决现实问题中的强大威力。例如，如何用变分法描述光线的传播（费马原理），如何用广义微分分析动态系统的稳定性等。 4. 为后续学习奠定基础：作为“I”，本书是该系列的基础篇。它为读者后续学习更高级的主题，如控制论、最优化理论、偏微分方程的变分方法、以及更复杂的广义微分概念（如 Fréchet 导数、Gâteaux 导数等）打下了坚实的基础。适合的读者群体：数学专业研究生及以上学历者：对泛函分析、实变函数、最优化理论有一定基础，希望深入研究变分分析与广义微分理论的研究生和博士生。相关领域的研究人员：物理学、工程学（控制工程、机械工程、电气工程）、经济学、金融学、运筹学等领域的科研人员，当其研究工作涉及优化、控制、系统建模、数值分析等问题时。高等院校数学教师：准备讲授变分法、最优化方法、泛函分析等课程的教师。对数学有浓厚兴趣的自学者：具备坚实的数学基础，并希望系统性地学习变分分析与广义微分领域的理论。学习本书的预期收获：通过学习《变分分析与广义微分 I》，读者将能够：掌握变分分析的核心思想和基本方法：能够理解和应用欧拉-拉格朗日方程，解决经典的变分问题。理解广义微分的内涵和外延：能够运用次梯度等概念分析和解决非光滑优化问题。提升数学抽象思维能力：能够理解和运用度量空间、Banach空间等抽象概念。建立解决复杂优化问题的数学框架：能够将实际问题转化为数学模型，并利用所学理论进行分析和求解。为进一步深入学习打下坚实基础：为探索更高级的数学理论和应用领域做好准备。总而言之，《变分分析与广义微分 I》是一部内容充实、理论严谨、视角深刻的数学专著。它不仅是数学工具箱中的一件利器，更是开启探索数学最优之美、洞察复杂系统本质的一扇大门。本书将带领读者踏上一段严谨而富有启发性的数学旅程，深刻理解“最优”的数学语言，并为解决现实世界中的各种挑战提供强大的理论支撑。

作者简介

目录信息

《变分分析与广义微分i:基础理论》
译者序
前言
致谢
第1章banach空间中的广义微分
1.1非凸集合的广义法向量
1.1.1基本定义和一些性质
1.1.2切向逼近
1.1.3广义法向量的分析法则
1.1.4集合的序列法紧性
1.1.5变分描述和极小性
1.2集值映射的上导数
1.2.1基本定义和表示
1.2.2lipschitz性质
1.2.3度量正则性和覆盖
1.2.4banach空间中上导数的分析法则
1.2.5映射的序列法紧性
1.3非光滑函数的次微分
1.3.1基本定义和关系
1.3.2frechet类型的卜次梯度及其极限表示
.1.3.3距离函数的次微分
1.3.4banach空间中的次微分分析法则
1.3.5二阶次微分
1.4第1章评注
1.4.1非光滑分析的动因和早期发展
1.4.2切向量和方向导数
1.4.3 clarke结构和相关发展
1.4.4避免凸性的动因
1.4.5基本法向量和次梯度
1.4.6类frechet表示
1.4.7近似次微分
1.4.8进一步的历史评注
1.4.9非凸性的优点
1.4.10主要课题和贡献者清单
1.4.11banach空间中的广义法向量
1.4.12集值映射的导数和上导数
1.4.13lipschitz性质
1.4.14度量正则性和线性开性
1.4.15banach空间中的上导数分析法则
1.4.16增广实值函数的次梯度
1.4.17距离函数的次梯度
1.4.18banach空间中的次微分分析法则
1.4.19阶广义微分
1.4.20banach空间中的二阶次微分分析法则
第2章变分分析中的极点原理
2.1集合极点和非凸分离
2.1.1集合极点系统
2.1.2极点原理的不同版本与支撑性质
2.1.3有限维空间里的极点原理
2.2asplund空间中的极点原理
2.2.1光滑空间中的近似极点原理
2.2.2可分约化
2.2.3asplund空间的极点刻画
2.3与变分原理的关系
2.3.1 ekeland变分原理
2.3.2次微分变分原理
2.3.3光滑变分原理
2.4asplund空间中的表示与刻画
2.4.1asplund空间里的次导数、法向量和上导数
2.4.2图与上图的奇异次导数和水平法向量的表示
2.5banach空间中极点原理的各种版本
2.5.1公理化的法锥与次微分结构
2.5.2具体的法锥和次微分结构
2.5.3极点原理的抽象版本
2.6第2章评注
2.6.1极点原理的由来
2.6.2fr~chet光滑空间中的极点原理与可分约化
2.6.3asplund空间
2.6.4asplund空间上的极点原理
2.6.5 ekeland变分原理
2.6.6次微分变分原理
2.6.7光滑变分原理
2.6.8asplund空间中极限法向量和次导数的表示
2.6.9其他次微分结构和极点原理的抽象版本
第3章asplund空间中的完备分析法则
3.1法向量和上导数的分析法则
3.1.1法锥的分析法则
3.1.2上导数的分析法则
3.1.3严格lipschitz性质和上导数标量化
3.2次微分分析法则和相关课题
3.2.1基本和奇异次梯度的分析法则
3.2.2近似中值定理及其应用
3.2.3与其他次微分的关系
3.2.4lipschitz映射的图正则性
3.2.5二阶次微分分析法则
3.3集合与映射的snc分析法则
3.3.1交集与逆像的序列法紧性
3.3.2映射的和及相关运算的序列法紧性
3.3.3映射复合的序列法紧性
3.4第3章评注
3.4.1分析法则的关键作用
3.4.2广义微分分析法则的对偶空间几何方法
3.4.3无限维空间中的法紧性条件
3.4.4基本法向量的分析法则
3.4.5完整的上导数分析法则
3.4.6无限维空间中映射的严格lipschitz性质
3.4.7完整次微分分析法则
3.4.8中值定理
3.4.9与其他法向量和次梯度的联系
3.4.10lipschitz映射的图正则性和可微性
3.4.11asplund空间中二阶次微分分析法则
3.4.12asplund空间中关于集合和映射的snc分析法则
第4章适定性的刻画与灵敏性分析
4.1邻域判据与确切界限
4.1.1覆盖的邻域刻画
4.1.2度量正则性和lipschitz特性的邻域刻画
4.2点基刻画.
4.2.1lipschitz性质的基本与混合上导数表述
4.2.2覆盖和度量正则的点基刻画
4.2.3扰动下的度量正则性
4.3约束系统的灵敏性分析
4.3.1参数约束系统的上导数
4.3.2约束系统的lipschitz稳定性
4.4变分系统的灵敏性分析
4.4.1参数变分系统的上导数
4.4.2lipschitz稳定性的上导数分析
4.4.3正常扰动下的lipschitz稳定性
4.5第4章评注
4.5.1度量正则和相关性质的变分方法
4.5.2覆盖和度量正则的第一个刻画
4.5.3对偶空间和本原空间的邻域判据
4.5.4lipschitz鲁棒性质的点基上导数刻画
4.5.5无限维中涉及部分法紧性质的点基判据
4.5.6lipschitz性质和度量正则性在复合运算下的保持
4.5.7扰动下的良好性态
4.5.8基于广义微分学的参数约束系统灵敏性分析
4.5.9广义方程与变分条件
4.5.10广义方程和变分不等式的lipschitz鲁棒稳定性
4.5.11强逼近和正常扰动
参考文献
陈述表
记号表
索引
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

手边这本《变分分析与广义微分 I》的包装设计倒是挺有意思的，封面是那种深沉的墨蓝色，配上简洁的白色字体，透着一股子老派的学术气息。我本来是冲着“广义微分”这几个字来的，想着能看到一些突破传统微积分框架的新颖视角。结果翻开第一章，扑面而来的是扎实的泛函分析基础，什么希尔伯特空间、巴拿赫空间，定义和定理接踵而至，阅读体验就像是走进了大学高年级数学系的期末复习现场。作者似乎特别注重逻辑的严谨性，几乎每一步推导都掰开了揉碎了讲，对于初学者来说可能有点吃力，但对于有一定基础的人来说，这深度倒是能让人安心。不过，我个人感觉，在引入具体应用实例方面略显保守，更多的是理论的构建和论证，让人不禁好奇，这些深刻的数学工具到底在实际问题中能激发出怎样的火花。整体来看，这是一本非常“硬核”的教材或专著，它试图为你打下一个坚不可摧的理论地基，至于地基上要盖什么样的楼，书里只是提供了砖块和水泥，更需要读者自己去想象和实践。我希望后续的章节能多一些对前沿研究的渗透，哪怕只是作为脚注或附录的形式也行，这样能让理论的“温度”更贴近现实一些。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格，是一种典型的、不加修饰的学术陈述。它极少使用比喻、类比或者历史背景的穿插来软化那些坚硬的数学结构。例如，当它介绍到变分问题的存在性定理时，所有的证明过程都以一种近乎冷酷的精确性展开，完全依赖于读者对泛函分析工具的娴熟运用。这使得整本书读起来有一种疏离感，仿佛作者是在跟自己的同行进行一场严谨的学术对话，而非在向更广泛的读者群体传授知识。我发现，我常常需要停下来，在脑海中重构作者的论证路径，而不是被流畅的叙事带着走。如果说这本书的优势在于其无与伦比的理论深度和严谨性，那么它的短板也恰恰在于这种极致的抽象化。它要求读者必须自带高度的内在驱动力和成熟的数学直觉，否则很容易在晦涩的符号海洋中迷失方向，无法真正体会到变分法和广义微分所蕴含的强大美感和普适性。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和字体选择，说实话，有点挑战我的阅读耐心。那种经典的宋体加西文衬线体的组合，在长时间的屏幕阅读或弱光环境下，总觉得眼睛容易疲劳。内容上，它对于“变分”的阐释，似乎更侧重于解析而非几何直观。我期待的是那种能让人立刻联想到曲线拉伸、能量最小化等物理场景的图像化描述，但这本书里，更多的是对积分泛函的数学特性、勒让德变换的推广，以及各种约束条件下的优化问题的形式化处理。阅读过程中，我时不时地会跳到网上找一些相关的可视化资料来辅助理解，这或许说明原著在教学引导性上做得不够“平易近人”。比如，关于拉格朗日乘子法在无穷维空间中的推广那几节，虽然逻辑上无懈可击，但缺乏一些关键的几何洞察，使得这些抽象的公式感觉像是悬在空中，难以落地。如果作者能用更生动的方式连接起变分原理与经典力学或控制论中的核心思想，我想这本书的接受度会高很多。目前来看，它更像是一部面向专业研究人员的工具手册，而非面向跨学科爱好者的启蒙读物。

评分☆☆☆☆☆

阅读体验中，最让我感到困惑的是符号系统的统一性问题。虽然数学著作中符号的演变在所难免，但在这本书里，同一个概念在不同章节可能会出现两种或三种不同的表示法，而且作者似乎默认读者已经完全熟悉了这些细微的差别。比如，对于某个特定的张量运算，在第三章和第五章的表述方式略有出入，这在需要频繁在不同理论模块间切换的读者（比如我，需要结合控制理论的知识来理解变分不等式）来说，造成了不必要的认知负担。此外，书中虽然有大量的习题，但很多习题的难度梯度设置得非常陡峭，从一个基础的定义验证题直接跳到了需要深入研究文献才能解决的证明题，中间缺乏有效的桥梁练习。这种设计，使得学习者很难通过循序渐进的方式来巩固和提升对“广义微分”概念的掌握程度。它更像是为已经在大方向上有所建树的学者准备的深度检验，而不是为正在入门的同行提供的阶梯。

评分☆☆☆☆☆

从结构上看，这本书的章节划分显得尤为“传统”，更像是按数学分支的逻辑顺序来组织内容的，而非按照问题复杂度的递增。例如，在讨论到Sobolev空间及其嵌入定理时，作者用了相当大的篇幅来确保定义的完备性，这当然是学术诚信的体现，但对于渴望快速掌握核心技能的读者而言，可能会觉得有些冗长。我个人认为，理论的介绍可以适当精简，把更多笔墨留给那些“广义微分”下的新颖算子及其性质。我特别关注了书中关于非光滑分析的介绍部分，这部分内容是现代优化和机器学习领域的热点。然而，书中对次梯度（subgradient）的定义和性质的探讨，虽然详尽，但似乎停留在上世纪八十年代的经典框架内，对于近年来发展起来的更具操作性的次微分集合的计算方法，比如平滑化技术或者 Moreau-Yosida 逼近的应用，提及得不够深入。这让这本书虽然名字听起来很前沿，但内容深度上稍微保守了一点，更像是一本对经典理论的详尽梳理，而非对当前研究热点的引领。

评分☆☆☆☆☆