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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Peter Petersen

出品人:

页数:405

译者:

出版时间:2010-11-23

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441921239

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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几何学的宏大叙事：非欧几里得空间的探索与直觉的重塑 引言：超越平坦的视野 自古以来，人类对空间的理解便深深植根于欧几里得几何的直观框架之中——平行线永不相交，平面上的三角形内角和恒为 180 度。这种建立在“平坦”假设上的几何体系，在描述我们日常可见的微观世界时表现得极为成功。然而，随着人类探索的视野不断拓宽，从宏观宇宙的曲率到微小尺度的物质行为，原有的欧氏框架开始显现其局限性。本书旨在引领读者穿越传统几何的边界，进入一个更广阔、更具张力的几何世界——非欧几里得空间，特别是黎曼几何的殿堂。我们将摒弃对“绝对平坦”的依赖，转而关注空间本身的内在结构和属性，即空间如何弯曲，以及这种弯曲如何影响我们的度量、测地线和物理定律。 第一部分：基础的重构——从向量到张量 要理解弯曲空间，首先必须拥有一套能够描述这种弯曲特性的数学语言。本书从现代微分几何的基石——流形的概念——开始构建我们的论述。 1. 流形的拓扑基础与微分结构： 我们将流形定义为在局部具有欧几里得特征的拓扑空间。通过引入坐标图册和过渡函数，我们赋予了这些空间局部可微的性质。这一部分重点阐述了对切空间（Tangent Space）的理解，它是局部线性化空间的关键，是所有几何测量的起点。我们详细探讨了向量场和张量场如何定义在这些切空间之上，从而描述空间中的物理量，如力、应力或曲率。 2. 联络（Connection）与平行移动： 在平坦空间中，向量的比较是直接的。但在弯曲空间中，如何将一个点上的向量“移动”到相邻点而不改变其方向（平行移动）成为一个核心问题。我们引入了仿射联络的概念，特别是切空间的导数——协变导数。协变导数是黎曼几何的灵魂之一，因为它编码了空间自身的弯曲效应。我们将分析黎曼联络（Levi-Civita Connection）是如何唯一地由度量张量导出的，并解释其在定义测地线中的中心作用。 3. 度量张量与内积： 几何学的核心在于“测量”。在弯曲空间中，我们使用度量张量（Metric Tensor，$g_{ij}$）来定义任意两向量之间的内积，进而定义长度、角度和体积。本书深入剖析了度量张量的分量如何随坐标变换而变化，并展示了如何利用度量张量导出克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols），这些符号直接与联络和空间曲率的计算相关联。 第二部分：曲率的深度解析——内在几何的表达 曲率是衡量空间偏离平坦程度的本质指标。本书区分了两种核心的曲率概念，它们是从流形本身的内在结构中导出的，而非依赖于嵌入空间。 1. 测地线与测地曲率： 测地线可以被视为弯曲空间中“最短路径”或“最直路径”的推广。它们是零（或常数）测地曲率的曲线，即向量在流形上的平行移动路径。我们详细推导了测地线的微分方程，并分析了测地线如何汇聚或发散，这直接反映了空间的几何特性。 2. 黎曼曲率张量： 这是衡量空间在所有方向上弯曲程度的终极工具。我们从李导数和黎曼曲率张量的定义出发，展示了它如何通过衡量不同路径上向量的平行移动差异来揭示空间的非平凡性。黎曼曲率张量是一个四阶张量，它包含了描述空间在任意平面上弯曲的所有信息。 3. 截面曲率与里奇曲率： 我们将高维的黎曼曲率张量简化为更具物理和直观意义的量。截面曲率（Sectional Curvature）描述了空间在特定二维切平面上的弯曲程度，是黎曼曲率张量的特定切片。随后，我们讨论了里奇曲率（Ricci Curvature），它是黎曼曲率张量的缩并，通常与物质分布和能量密度相关联，是爱因斯坦场方程中的关键几何量。 第三部分：几何与物理的交汇——应用与拓展 黎曼几何的价值不仅在于其数学上的优雅，更在于其作为描述物理世界几何结构的强大框架。 1. 空间弯曲的度量： 我们探讨了斯卡拉曲率（Scalar Curvature，里奇曲率的进一步缩并），它是一个单函数，全局地量度了空间的平均弯曲程度。这一概念在讨论宇宙学模型和引力场理论时至关重要。 2. 拓扑与几何的桥梁： 本部分将介绍高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），这是一个深刻的发现，它将一个二维流形的局部几何量（曲率积分）与全局拓扑不变量（欧拉示性数）联系起来。这展示了几何测度与空间内在连通性之间不可分割的联系。 3. 深入高维空间： 我们将基础概念推广到任意有限维流形，讨论了正曲率空间（如球面）和负曲率空间（如双曲空间）的特性，特别是双曲几何中测地线发散速度的指数增长，以及它在几何结构分类中的地位。 结论：几何直觉的进化 本书的旅程是一个持续的挑战和解放的过程——解放我们对平坦空间的固有偏见，拥抱一个充满内在几何张力的世界。通过掌握流形、联络和曲率的语言，读者将不仅理解如何精确地描述弯曲空间，更能体会到现代物理学（从广义相对论到微分拓扑）中几何思维的深刻影响。几何学不再是关于绘制图形的工具，而是描述实在结构本身的语言。

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我尝试着跟随书中的练习题来检验自己的理解程度，结果发现这些练习题的难度梯度设置得非常不均匀，简直像是一场智力过山车。有些习题非常基础，只是对刚刚学到的定义进行简单的代换练习，感觉更像是课后暖身；但紧接着，就会出现几道需要综合运用好几章知识点的“大魔王”级难题，它们往往要求读者从一个全新的角度去构建一个复杂结构，并且对证明的技巧要求极高。这些难题虽然能极大地锻炼人的解决问题的能力，但如果缺乏相应的提示或逐步引导，很多学生可能会因此卡住很久，从而产生挫败感。我期待能看到更多难度适中的、能够巩固核心概念的练习题，最好是能与前文的某个特定例子或某个定理的证明过程紧密关联起来，形成一个闭环的学习体验。目前这种难度跨度实在太大，使得这本书更像是为已经具备一定独立研究能力的博士生准备的，而不是面向研究生课程的通用教材。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版设计可以说是教科书级别的典范。字体选择清晰易读，行距适中，最重要的公式和符号都用数学排版语言完美地呈现出来，每一个希腊字母、每一个上下标都精准无误，这在处理复杂的张量运算时尤其重要，因为一个微小的错误就可能导致整个证明链条的崩溃。我特别欣赏作者在引用定理和引理时所采用的编号系统，逻辑清晰，前后呼应，使得追踪复杂的证明结构变得相对容易。此外，书后附带的参考文献列表也极其详尽和权威，为进一步深入研究提供了丰富的资源导向。这表明作者在学术规范和细节呈现上是下了大工夫的。然而，我必须指出，虽然细节完美，但整体的“叙事感”稍显不足。如果说数学是一门语言，那么这本书更像是一份语法大全，它精确地描述了“如何说”，但没有太多时间去描绘“为什么要这么说”的宏大蓝图。对于希望了解这门学科的历史发展脉络或其在物理学中实际应用的读者来说，这本书的侧重点明显不在于此，它完全专注于纯粹的数学构建。

评分☆☆☆☆☆

这本书的理论深度无疑是令人敬畏的，特别是涉及纤维丛和联络理论的部分，作者对这些高阶结构的阐述达到了教科书难以企及的精妙程度。他成功地将代数拓扑中的一些深刻思想巧妙地融入到黎曼几何的框架中，使得那些原本看似孤立的概念之间建立了清晰的联系。例如，他对爱因斯坦方程与时空曲率之间关系的讨论，虽然没有直接引入广义相对论的物理背景，但其数学上的优雅处理方式，已经让人能窥见这些几何结构在描述宇宙时所蕴含的巨大威力。这本书的价值在于它提供了一种近乎完美的、自洽的数学构造，它要求读者以一种极高的抽象思维水平去运作。然而，也正因为其纯粹和高远，使得它在与现代应用领域的结合上显得有些疏远。对于那些希望了解如何利用这些复杂几何工具去解决实际物理问题（比如量化引力、规范场论等）的读者来说，这本书可能需要与大量的应用导向型文献搭配阅读，才能实现知识的落地。它更像是一座矗立在纯数学山巅上的灯塔，光芒万丈，但攀登的道路异常艰险。

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这本书的装帧和纸质手感真是没得说，那种厚重而又不失雅致的感觉，让人一上手就知道这不是一本普通的读物。封面设计采用了非常简洁的几何图形搭配深邃的蓝色调，立刻就营造出一种严肃而又引人入胜的氛围。我期待着能从这本书中寻找到那些隐藏在数学结构背后的美感。不过，老实说，第一眼看目录时，心里还是有些打鼓的，那些密密麻麻的符号和概念，比如“黎曼曲率张量”、“测地线方程”等等，立刻就让我嗅到了一股浓厚的学术气息，感觉这更像是一本为专业人士准备的工具书，而不是给好奇的业余爱好者准备的入门指南。我希望作者能在开篇部分多花些笔墨，用更直观的语言和丰富的图例来铺垫基础，让那些初次接触微分几何的读者能够顺利地跨过最初的门槛，否则，可能很多有志于此的读者都会被第一章劝退。这就像是走进一座宏伟的殿堂，入口处的台阶太高了，让人望而却步。我非常看重这种书籍的“可达性”，即便是最深奥的理论，也应该有一条平缓的、可被大多数人理解的路径来引导读者。期待后续章节能带来惊喜，证明我的担忧是多余的。

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我花了整整一个下午的时间，试图消化前三章关于流形和切空间的介绍，坦白讲，这部分的论述方式显得有些过于抽象和跳跃了。作者似乎默认读者已经对拓扑学和线性代数有着极其扎实的背景，以至于在推导一些关键定义时，省略了许多中间步骤，这对于像我这样需要反复咀嚼才能理解的读者来说，简直是灾难。我尤其对关于向量场在流形上微分的定义感到困惑，书中直接抛出了一个微分算子，但缺乏足够的几何直觉来解释为什么必须用这种特定形式的导数来定义，而不是其他看似同样合理的定义方式。我不得不频繁地查阅其他参考资料，去寻找那些被这本书略过的“常识性”推导，这极大地打断了阅读的连贯性和流畅性。如果作者能增加一些具体的、低维空间（比如球面或圆环面）上的例子，并详细展示这些抽象概念如何在具体几何对象上实例化，那将会对理解大有裨益。目前来看，这本书更像是一本高度浓缩的“定理证明集合”，而非一本旨在传授“几何思维”的教材。它的严谨性毋庸置疑，但牺牲了大量的教学上的温度和耐心。

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看了大半吧。不过是科学出版社的影印版。挺好的。

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