Algebraic Groups and Lie Groups With Few Factors pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Di Bartolo, Alfonso/ Falcone, Giovanni/ Plaumann, Peter/ Strambach, Karl

出品人:

页数:212

译者:

出版时间:

价格:523.00元

装帧:

isbn号码:9783540785835

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• Algebraic Groups
• Lie Groups
• Representation Theory
• Factorization
• Mathematical Physics
• Abstract Algebra
• Group Theory
• Lie Algebras
• Structure Theory
• Semisimple Groups

好的，以下是关于一本名为《代数群与因子数较少的李群》（Algebraic Groups and Lie Groups With Few Factors）的图书简介。请注意，这份简介将聚焦于该书可能涵盖的主题，但不包含您提到的特定图书的任何具体内容或论述。 --- 图书简介：《代数群与因子数较少的李群》 导言：结构、分类与应用 本书深入探讨了现代数学中两个核心且相互关联的领域：代数群（Algebraic Groups）和李群（Lie Groups），尤其侧重于具有“因子数较少”（Few Factors）的特定结构。代数群作为经典代数几何与群论的交汇点，为理解对称性、齐性空间以及微分几何中的几何结构提供了强大的代数框架。李群则在微分几何、拓扑学以及理论物理学中占据着不可或缺的地位。 本书旨在提供一个全面的视角，系统地梳理这两个领域的理论基础，并着重分析那些在结构上相对简单或具有特定限制（即因子数较少）的群族的性质。通过这种聚焦，读者不仅能掌握标准群论的工具，更能深入理解结构分解的精髓及其在复杂系统建模中的应用。 第一部分：代数群的基础 本书首先奠定了代数群的理论基础。我们从射影群的定义出发，探讨其在特定域上（如代数封闭域）的性质。重点章节将围绕线性代数群展开，特别是那些定义在矩阵群上的结构。读者将学习如何利用代数几何的语言（如概形、切空间和李代数）来研究这些群的结构。 核心概念包括： 群概形理论： 阐释如何将群结构与代数簇（或概形）的几何结构相结合。 李代数与群的对应： 深入分析群的单位元处的切空间——李代数，如何反映群的局部结构。我们讨论了群与李代数之间的连接，特别是关于特征为零的情况下的指数映射。 根系与Weyl群： 这是理解李群和代数群分类的关键工具。我们将系统介绍根系（Root Systems）的构造、分类（如经典的$A_n, B_n, C_n, D_n$系列以及例外系列$E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$），以及Weyl群在这些结构中的作用，特别是其在Weyl维度公式和维数计算中的应用。 第二部分：李群与李代数 在代数群的代数框架之上，本书转向拓扑和微分几何的领域——李群。我们探讨李群的拓扑性质，如连通性和紧致性，以及它们如何影响群的结构。 本部分的关键内容包括： 李群的结构分解： 重点介绍李群的极分解（Polar Decomposition）和Cartan分解（Cartan Decomposition），它们是理解半单群结构的基础。 表示论基础： 介绍有限维表示的理论，包括完约性（Completeness）和单位表示（Unitary Representations）的概念。特别是对紧致李群，我们将利用Peter-Weyl定理来展示完约性，并讨论如何通过权（Weights）来系统地分类不可约表示。 非紧致李群的结构： 探索非紧致李群（如$SL(n, mathbb{R})$）的结构，引入极大紧子群（Maximal Compact Subgroups）和对应的对称空间。这为理解赫米蒂（Hermitian）对称空间和柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）几何奠定了基础。 第三部分：因子数较少的群族：聚焦与简化 本书的独特之处在于其对“因子数较少”群族的深入剖析。在群论的分类中，许多结构可以分解为更基本的、更简单的“因子”的直积或半直积。当一个群的分解中，这种因子数量受到严格限制时（例如，仅有一个或两个非平凡因子），其结构分析和分类过程会显著简化，并暴露出独特的几何或代数特征。 我们关注以下几个关键群族： 1. 简单群的结构： 重新审视简单（Simple）和半简单（Semi-simple）代数群和李群，它们是所有更复杂群的基础构建块。对于具有有限因子数的半简单群，其结构完全由其根系决定。 2. 准分裂（Quasi-split）群： 研究在特定域上定义时，分解相对直接的群。这类群在局部对称空间理论和表示论中具有特殊的地位。 3. 有限因子数下的李群分解： 探讨如何将一个李群分解为一个紧群与一个非紧李群的半直积（或其它形式）。当“非紧部分”的因子数很少时，我们能更精确地描述其表示的张量积结构和不变量。例如，分析当一个李群可以分解为具有特定结构（如环面或特定有限维李群）的乘积时，其无穷小生成元和特征值的分布规律。 4. 特定维度上的特例： 深入研究低维度（例如维度小于或等于4）或具有特定秩（Rank）的群族。在这些限制下，代数群和李群的分类问题得到了近乎完全的解决，展现出异常简洁的美感。 第四部分：方法论与高级主题 为支撑对这些特定群族的分析，本书还涵盖了先进的数学工具： $G$-流形与齐性空间： 阐述代数群作用于代数簇或李群作用于流形时，如何通过研究不动点集（固定子群）来简化群结构分析。当因子数较少时，这些不动点集的几何性质往往具有高度的规律性。 Cartan–Killing 形式的分析： 讨论如何使用Killing形式来识别半单性，并进一步区分不同类型的群。对于因子数少的结构，Killing形式的退化或非退化性质提供了明确的分类标准。 表示的张量积分解： 探讨在低维或特定简单群作用下，表示的张量积如何分解。因子数较少的群通常具有更可预测的张量积分解规则，这在量子场论和数学物理的某些应用中至关重要。 结论 《代数群与因子数较少的李群》为研究人员和高级学生提供了一座桥梁，连接了抽象的代数结构与具体的几何实现。通过聚焦于那些具有可控分解特性的群族，本书不仅巩固了读者的基础知识，更引导他们探索群论分类理论中那些最富洞察力和结构美感的领域。本书强调了从代数几何视角对李群结构进行分析的优越性，尤其是在处理那些“非典型的”或结构受限的群体系时。 ---

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