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出版者:

作者:Lacie, Christina

出品人:

页数:412

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 16.94

装帧:

isbn号码:9780764139956

丛书系列:

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掌控全局：精通高等代数与微积分的全新指南 本书面向所有对数学核心概念有深入探究需求的学习者，旨在提供一个全面、深入且极具实践性的学习框架，帮助读者彻底理解高等代数和微积分这两大数学支柱的内在联系与实际应用。 【第一部分：高等代数的坚实地基】 本部分将从最基础的集合论和逻辑推理出发，逐步构建起一个严谨的代数结构认知体系。我们摒弃了传统教材中枯燥的公式堆砌，转而采用更注重概念推导与几何直观的讲解方式。 第一章：集合、映射与逻辑基础 深入探讨集合论的公理化基础，详细分析各种等价关系和偏序关系。着重讲解命题逻辑、谓词逻辑在数学证明中的作用，教授如何构建清晰、无懈可击的数学论证。不同于简单的定义回顾，本章通过大量现实世界的例子（如算法复杂度分析、数据库查询结构）来阐释抽象概念的实用价值。 第二章：群论的优雅结构 群是现代数学的基石之一。本章不仅详述了群、子群、陪集和正规子群的定义，更将重点放在同态与同构的概念上。我们将使用代数几何中的例子来展示同构的强大威力——即在不同表象下，相同结构本质的发现。详细分析循环群、二面体群和对称群的结构，并引入Sylow定理，为理解有限群的内部结构提供强大的分析工具。章节末尾将涉及商群的构造及其在解决模运算问题中的应用。 第三章：环与域的深入剖析 从更一般的代数结构——环开始，我们将区分交换环、整环以及域。重点分析理想的概念，并展示如何利用理想来构造商环，这与第一部分中讨论的商群有着深刻的类比。对多项式环的讨论将详尽展开，包括唯一分解整环（UFD）和欧几里得整环的性质，这为后续学习抽象代数和数论打下坚实基础。域的扩张理论（伽罗瓦理论的初步介绍）将展示代数如何解决经典的几何构造问题（如化圆为方）。 第四章：线性代数：向量空间的几何与代数统一 线性代数是连接代数与分析的桥梁。本章不满足于矩阵运算，而是聚焦于向量空间的本质。详细阐述线性无关性、基、维数的概念，并用几何语言解释这些抽象概念。我们深入探讨线性变换，将其视为向量空间之间的“结构保持者”，并详细分析矩阵表示法如何依赖于所选基的选择。特征值和特征向量的求解被置于对对角化的几何意义的理解之下，而非仅仅作为求解方程的步骤。最后，本章将涉及内积空间和正交性，为后续傅里叶分析打下基础。 --- 【第二部分：微积分的动态世界】 本部分将微积分的理解提升到“极限思维”的高度，强调其在描述变化、累积和优化方面的无可替代的作用。我们将严格遵循极限定义，构建分析学的严密性。 第五章：极限、连续性与基本定理的严谨性 本章从$epsilon-delta$语言出发，对极限的严格定义进行彻底的解析。我们将证明序列的收敛性，并过渡到函数极限。连续性的概念将被置于拓扑空间的语境下进行初步讨论。随后，我们将系统地证明微分学中的核心定理，如中值定理及其推论。对泰勒定理的深入探讨，将揭示函数局部行为的精确逼近能力。 第六章：导数的本质：变化率的精确度量 导数的概念被分解为瞬时变化率、斜率、以及最优解的必要条件。本章重点攻克隐函数求导、参数方程求导以及多元函数偏导数的计算。隐函数定理的几何解释（切平面）将帮助读者理解多维空间中的局部线性近似。优化问题（最大值/最小值）将通过拉格朗日乘数法进行系统处理，强调约束条件下的极值搜索。 第七章：积分：黎曼和的精妙收敛 本章细致考察定积分的定义——黎曼和。我们不仅学习如何计算积分，更关键的是理解积分作为“无限细分求和”的本质。我们将详细证明微积分基本定理（FTC），并分析其作为微分逆运算的意义。不定积分的技巧（替换法、分部积分法、三角代换等）被系统分类整理。同时，本章将引入反常积分的概念，探讨其收敛性的判断标准。 第八章：微分方程导论：描述自然界动态模型 微分方程是应用数学的核心。本章从一阶和二阶常微分方程（ODE）入手。对于一阶方程，将详细讲解变量分离法、一阶线性方程的积分因子法，以及精确方程的判断与求解。对于二阶常系数齐次与非齐次方程，将集中于特征方程法和待定系数法，并引入拉普拉斯变换作为一种强大的求解工具（仅作概念介绍，不深入其傅里叶变换的复杂细节）。重点在于建立物理模型（如振动、衰减）与微分方程之间的直接联系。 第九章：序列、级数与功率级数：无限之和的控制 本部分是对前述极限概念的延伸。我们将严格区分序列收敛与级数收敛。对正项级数，系统应用比较检验、比值检验和根值检验。交错级数的处理则引入阿贝尔检验。功率级数的讨论是本章的重点，详细分析其收敛半径与收敛区间，并展示如何通过微分和积分操作，在收敛区间内对函数进行项内操作，从而生成更复杂的函数级数表示。 --- 【综合应用与思维训练】 全书穿插了大量跨学科的案例研究，例如： 群论在密码学中的基础应用（有限域与椭圆曲线的初步概念）。 线性代数的奇异值分解（SVD）在数据降维中的作用。 多元微积分在多元回归分析中的梯度下降法。 本书的结构设计旨在培养学习者从具体问题抽象出数学模型，并运用严谨的代数工具和动态分析方法来求解和验证的能力。它不仅是知识的汇编，更是数学思维的精进手册。

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