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出版者:

作者:Johnson, Norman L./ Kemp, Adrienne W./ Kotz, Samuel

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2008-3

价格:7255.00 元

装帧:

isbn号码:9780470383377

丛书系列:

图书标签:

• 统计学
• 数学
• 概率论
• 离散分布
• 单变量
• 统计学
• 数学
• 分布理论
• 随机变量
• 概率模型
• 统计推断
• 应用概率

深入探索多元统计学的广阔天地 《Multivariate Statistical Analysis: Theory and Application》 一本全面、深入、面向实践的多元统计学专著 导言：超越单一变量的局限 在自然科学、社会科学、工程技术乃至商业决策中，我们面对的现实世界往往是多维的。单个变量的分析往往只能提供片面的信息，无法揭示变量间复杂的相互依赖关系和潜在结构。本书《Multivariate Statistical Analysis: Theory and Application》正是为了弥补这一知识鸿沟而精心编写的。它旨在为读者提供一个扎实且前沿的多元统计学知识体系，不仅涵盖了从基础理论推导到复杂模型构建的全过程，更强调这些工具在真实世界数据分析中的实际应用。 本书的目标读者群体广泛，包括但不限于高级本科生、研究生、统计学及相关领域的科研人员、数据科学家以及需要进行复杂数据分析的专业人士。我们假设读者已具备扎实的概率论和数理统计学基础，能够理解矩阵代数的基本概念。 --- 第一部分：基础奠基与核心概念（Foundations and Core Concepts） 本部分致力于为后续复杂的多元分析打下坚实的基础，确保读者对核心概念有精确的理解。 第一章：多元随机变量与概率分布 本章从多元向量的定义出发，系统回顾了多元正态分布（Multivariate Normal Distribution）的概率密度函数、特征函数、矩性质以及其在线性组合下的封闭性。我们详细讨论了协方差矩阵在描述数据散度和依赖关系中的关键作用，并引入了Wishart分布作为协方差矩阵的抽样分布，这是进行参数估计和假设检验的理论基石。同时，对非正态的多元分布，如多元 $t$ 分布和混合分布，进行了初步介绍。 第二章：数据可视化与初步探索 在进行正式建模之前，有效的数据探索至关重要。本章重点介绍如何用图形化方法揭示高维数据的结构。内容包括：散点图矩阵（Scatter Plot Matrix）、边际直方图、等高线图（针对低维情况）以及投影法（如Chernoff脸谱和星形图）来概括多变量信息。我们强调了识别多重共线性（Multicollinearity）和异常值（Outliers）在多元数据中的重要性，并介绍了Mahalanobis距离作为衡量观测点偏离分布中心程度的有效度量。 第三章：矩阵代数在统计学中的应用 多元统计学本质上是矩阵代数的应用。本章回顾并强化了必要的矩阵理论，特别是与统计推断直接相关的部分：矩阵的迹（Trace）、行列式（Determinant）、特征值与特征向量的计算及其几何意义。重点讨论了正定矩阵（Positive Definite Matrices）的性质，以及如何利用矩阵分解（如Cholesky分解）来简化计算和理解模型结构。 --- 第二部分：参数估计与假设检验（Estimation and Inference） 本部分聚焦于如何从样本数据对总体参数进行可靠的估计和严谨的统计推断。 第四章：均值向量的估计与检验 本章是多元统计推断的核心。我们详细推导了均值向量的极大似然估计（MLE），并讨论了其性质。检验部分的核心是Hotelling's $T^2$ 统计量，它被视为单样本和双样本 $t$ 检验的多元推广。本章将深入分析 $T^2$ 检验的推导过程、统计功效，并探讨在协方差矩阵未知或非对称情况下的稳健性考虑。 第五章：协方差结构分析 对协方差矩阵 $Sigma$ 本身的分析构成了许多后续模型的基础。我们研究了 $Sigma$ 的一致性估计（Unbiased Estimation）和 MLE。随后，本章转向对 $Sigma$ 的假设检验。关键内容包括：检验协方差矩阵的球形性（Sphericity）、检验两个或多个总体的协方差矩阵是否相等（如Box's $M$ 检验的原理介绍，虽然其对非正态性敏感，但理论基础重要），以及如何检验协方差矩阵是否为对角矩阵。 --- 第三部分：降维技术（Dimensionality Reduction Techniques） 当数据维度过高时，直接分析变得困难且低效。本部分介绍如何通过数学变换提取数据中的主要信息。 第六章：主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） PCA 是最经典的线性降维方法。本章详述了 PCA 的理论基础：通过正交变换最大化数据方差的原理。内容包括：基于协方差矩阵和相关系数矩阵的特征值分解法、主成分得分的计算、碎石图（Scree Plot）在确定主成分数量上的应用，以及如何解释主成分的载荷（Loadings）。我们还讨论了如何评估降维后数据的保留信息量，并介绍了主成分回归作为处理多重共线性的方法。 第七章：因子分析（Factor Analysis, FA） 与 PCA 侧重于方差最大化不同，因子分析试图解释变量间的协方差结构，假设观测变量是少数潜在（不可观测）因子的线性函数加上特有误差。本章深入探讨了因子模型的设定、共同因子（Common Factors）与特有因子（Unique Factors）的区分。重点讲解了各种因子提取方法（如最大似然法、主轴因子法）以及因子旋转（正交旋转与斜交旋转）在提高解释性方面的必要性。 --- 第四部分：结构探索与分类方法（Structure Exploration and Classification） 本部分关注如何从数据中发现内在结构，并将观测值进行分组或预测。 第八章：判别分析（Discriminant Analysis, DA） 判别分析旨在建立一个模型，用以区分来自不同群体的观测样本。本章详细介绍了费希尔线性判别函数（LDA）的推导，它基于最大化组间方差与最小化组内方差的原则。同时，我们深入探讨了二次判别分析（QDA），并在何时选用 LDA 或 QDA 上提供了实践指导。本章也涵盖了判别函数的统计显著性检验以及分类准确率的评估。 第九章：聚类分析（Cluster Analysis） 聚类分析是一种无监督学习技术，旨在发现数据点之间的自然分组。本章系统介绍了两大类聚类方法： 1. 分层聚类（Hierarchical Clustering）： 包括凝聚法（Agglomerative）和分裂法（Divisive），并详细讨论了各种连接标准（如Ward, Complete, Single Linkage）。 2. 分区聚类（Partitioning Methods）： 重点讲解 K-均值（K-Means）算法的工作原理、如何选择最优的 $K$ 值（如Elbow Method），以及其局限性。 我们还探讨了如何使用距离和相似性度量来指导聚类过程。 --- 第五部分：高级专题与建模（Advanced Topics and Modeling） 本部分涵盖了更复杂的模型，涉及结构方程和时间序列的初步交叉。 第十章：典型相关分析（Canonical Correlation Analysis, CCA） CCA 用于研究两个变量集之间的关系。本章的核心在于找到一组变量组合，使得两组变量的线性组合之间的相关性最大化。我们详细阐述了如何计算典型变量（Canonical Variates）和典型相关系数（Canonical Correlations），以及如何检验这些相关性的显著性，从而揭示两个多变量集合之间潜在的共同维度。 第十一章：结构方程模型（Structural Equation Modeling, SEM）简介 本章作为 SEM 的入门，介绍了测量模型和结构模型的基本框架。我们讨论了验证性因子分析（Confirmatory Factor Analysis, CFA）作为测量模型的应用，以及如何通过路径分析来检验假设的因果关系模型。本章强调了模型拟合优度指标（如 $chi^2$ 检验、RMSEA、CFI等）的解读，为读者进入更专业的结构模型构建做好准备。 --- 结论：连接理论与实践 《Multivariate Statistical Analysis: Theory and Application》不仅是一本数学教科书，更是一本应用指南。全书穿插了丰富的R语言和Python（附带Statsmodels/Scikit-learn）的实操案例，这些案例选自金融、生物信息、市场调研等多个领域，帮助读者将抽象的数学公式转化为具体的分析结果。通过学习本书，读者将能够自信地处理高维数据集，揭示数据背后的复杂结构，并做出基于充分统计证据的决策。多元统计学的世界广阔且充满挑战，本书愿为您提供最坚实的工具箱和最清晰的路线图。

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