Classical Geometries in Modern Contexts pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhauser Verlag AG

作者:Benz, Walter

出品人:

页数:289

译者:

出版时间:2007-10

价格:$ 145.77

装帧:

isbn号码:9783764385408

丛书系列:

图书标签:

几何学
欧几里得几何
非欧几何
射影几何
现代几何
数学史
数学教育
高等数学
拓扑学
代数几何

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具体描述

This book is based on real inner product spaces X of arbitrary (finite or infinite) dimension greater than or equal to 2. With natural properties of (general) translations and general distances of X, euclidean and hyperbolic geometries are characterized. For these spaces X also the sphere geometries of MAbius and Lie are studied (besides euclidean and hyperbolic geometry), as well as geometries where Lorentz transformations play the key role. The geometrical notions of this book are based on general spaces X as described. This implies that also mathematicians who have not so far been especially interested in geometry may study and understand great ideas of classical geometries in modern and general contexts. Proofs of newer theorems, characterizing isometries and Lorentz transformations under mild hypotheses are included, like for instance infinite dimensional versions of famous theorems of A.D. Alexandrov on Lorentz transformations. A real benefit is the dimension-free approach to important geometrical theories. Only prerequisites are basic linear algebra and basic 2- and 3-dimensional real geometry.

远古的智慧，当代的对话：几何学在现代科学与艺术中的新篇章本书深入探讨了那些看似古老、深植于人类文明初期的几何学概念，如何与二十一世纪的尖端科学、复杂工程、乃至艺术设计思潮产生深刻的共鸣与互动。我们并非重述欧几里得或黎曼的经典教科书，而是着眼于如何将这些基础结构，作为理解和塑造我们所处世界的强大工具，应用到当代语境之中。第一部分：超越平面的结构——拓扑学与非欧几何的回归在这一部分，我们将目光投向那些挑战我们直觉感知的空间结构。拓扑学，这门被誉为“橡皮泥几何学”的学科，在现代物理学中扮演了至关重要的角色。我们将详细分析流形理论在描述时空结构上的必然性，特别是如何利用同调与上同调群来分类和理解高维空间的内在属性。这并非抽象的数学游戏，而是理解弦理论中紧化空间（如卡拉比-丘流形）的基石。我们将探讨拓扑不变量，如亏格（genus），如何成为区分不同物理模型或材料结构的关键指标。接着，我们将重访非欧几何，但不是停留在双曲和椭圆几何的课堂演示上。我们关注其在广义相对论中对引力场描述的无可替代性，并延伸至离散微分几何的应用。在计算机图形学和数据可视化领域，如何使用双曲几何构造出具有高效信息承载能力的层级结构界面（如超链接网络的可视化），将成为重点讨论内容。我们还将审视黎曼曲率张量在描述物质分布对时空弯曲的影响时，如何被重新概念化为一种描述信息熵密度的工具。第二部分：离散与计算的几何学——从算法到现实现代世界建立在数字信息之上，而数字世界的基础构建模块——像素、网格、三维模型——无不依赖于离散几何的原理。本章聚焦于计算几何学的最新进展及其对工程设计的革命性影响。我们将深入分析Delaunay三角剖分和Voronoi图在优化资源分配（如蜂窝网络基站布局）、风险评估（如地震带划分）中的应用。如何高效地在任意复杂的曲面上进行网格划分，以保证有限元分析（FEM）的稳定性和精度，是本节的核心技术挑战。我们将探讨计算拓扑数据分析（TDA），利用持久同调（Persistent Homology）从海量、高维的传感器数据（如金融市场波动或气候模型输出）中提取出稳定、可解释的“形状特征”。此外，计算表示理论与几何不变性的结合，催生了新一代的图神经网络（GNNs）。我们不再将数据视为欧几里得空间中的向量，而是视为定义在特定拓扑结构上的函数。如何设计对旋转、平移甚至更复杂的李群变换保持不变的卷积核，是实现可泛化AI模型的关键。第三部分：几何学与生命的形态——生物、材料与美学几何结构不仅存在于抽象的数学和冰冷的机器中，它们更是生命形式和功能得以实现的蓝图。本部分探讨了几何学在形态发生学和材料科学中的体现。我们将考察晶格结构如何决定新材料的宏观性能。从密堆积原理在新型催化剂设计中的指导意义，到准晶体的非周期性对称性如何提供超凡的硬度和耐热性，几何学的精确性直接转化为物质的实用价值。在生物学领域，最小曲面理论（如Soap Film的形态）在解释细胞膜的张力平衡和蛋白质折叠的能量最小化路径中扮演了核心角色。我们将分析微分几何如何被用来量化DNA的双螺旋结构的扭曲度和超螺旋状态，以及这种几何参数如何直接影响基因表达。最后，我们将审视分形几何在艺术与建筑中的“复兴”。我们探讨曼德博集合及其迭代过程如何提供一种量化复杂性和自相似性的新美学标准。现代建筑师如何利用分形维度来设计既有结构稳定性又具备自然韵律感的立面，展示了经典数学思想在当代审美构建中的强大生命力。通过对这些前沿应用的考察，本书旨在揭示，几何学并非历史的陈迹，而是理解、预测和构建我们复杂世界的动态语言。掌握这些“现代语境”下的几何思维，是跨越学科鸿沟，实现真正创新所必需的底层能力。