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出版者:

作者:Boccara, Nino

出品人:

页数:572

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 73.39

装帧:

isbn号码:9780387495132

丛书系列:

图书标签:

• 计算
• Mathematica
• 编程
• 数学软件
• 算法
• 符号计算
• 数值计算
• 科学计算
• 高等数学
• 计算机代数
• 数据分析

深入探索计算思维与数学建模的基石：《现代科学计算方法导论》 本书旨在为理工科学生、研究人员以及所有对复杂系统分析和数值模拟感兴趣的读者，提供一套系统、深入且实用的现代科学计算方法论。它不依赖于任何特定软件的特定语法，而是聚焦于支撑所有计算系统的核心数学原理、算法设计、误差分析与高效实现策略。 --- 第一部分：计算的基石——浮点数、误差与稳定性 在深入任何复杂的计算模型之前，理解计算机如何表示和处理数字至关重要。本部分将带领读者从最基础的层面理解计算的局限性与精度。 1.1 浮点数的艺术与陷阱： 深入探讨IEEE 754标准，解析单精度（Single Precision）和双精度（Double Precision）浮点数的内部结构、表示范围和精度损失的机制。我们将详细分析舍入误差的来源（截断与幅度），并展示简单算术运算（如减小量级或相加/相减）如何积累成不可忽视的误差。 1.2 误差的传播与放大： 区分固有误差（输入数据的不确定性）与计算误差（算法导致的误差）。我们将引入条件数（Condition Number）的概念，用严谨的数学语言阐释一个问题本身的“敏感性”如何决定了解的稳定性。通过具体的数值例子，说明病态问题（Ill-conditioned Problems）的危害性。 1.3 算法的稳定性分析： 引入前向误差（Forward Error）和后向误差（Backward Error）的分析框架。讲解什么是数值稳定算法，并对比分析一些常见算法（如求解线性系统或多项式求根）在不同输入条件下的稳定性表现。重点讨论Richardson外推法和Romberg积分法在提高精度方面的原理。 --- 第二部分：离散化方法的构建——线性代数与方程求解 现代科学计算的核心任务之一是求解大型线性或非线性方程组。本部分着重于高效、可扩展的矩阵运算和迭代求解技术。 2.1 线性系统的直接解法： 回顾高斯消元法（Gaussian Elimination），并详细分析其复杂度和操作次数。重点讲解LU分解（LU Decomposition）及其在求解多个具有相同系数矩阵的系统中的效率优势。讨论Cholesky分解在处理对称正定矩阵时的优化和稳定性。 2.2 矩阵分解与结构利用： 探讨如何根据矩阵的特性（稀疏性、带状结构）选择更高效的分解方法，如带状矩阵的简化求解。分析QR分解在最小二乘问题和特征值计算中的核心地位，而非仅作为求解Ax=b的手段。 2.3 迭代法的核心思想与收敛性： 当矩阵规模过大或过于稀疏时，直接法不再适用。本部分深入研究雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法的收敛条件和速率。引入残差的概念，并详细阐述预处理技术（Preconditioning）如何显著加速收敛，这是处理大规模问题的关键。 2.4 Krylov子空间方法进阶： 介绍共轭梯度法（CG, Conjugate Gradient）的构建原理，特别是它如何保证在有限步内精确求解对称正定系统。推广到更一般的非对称系统，探讨GMRES和BiCGSTAB等迭代方法的结构和内存需求。 --- 第三部分：连续问题的离散化——微分方程的数值解法 物理学、工程学和生物学中的绝大多数模型都以微分方程的形式存在。本部分关注常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值逼近技术。 3.1 常微分方程（ODE）的初值问题： 详细分析欧拉法（Euler Method）的稳定性和一阶精度。重点介绍Runge-Kutta（RK）族方法，特别是RK4的结构和精确性来源。讨论多步法（如Adams-Bashforth和Adams-Moulton）在计算效率上的优势与引入附加稳定域问题的权衡。 3.2 ODE的刚性问题（Stiffness）： 识别和处理刚性系统，解释为什么显式方法在刚性问题上会失败。深入探讨隐式方法（Implicit Methods），如后向欧拉法（Backward Euler）和隐式Runge-Kutta方法，及其求解非线性代数方程的难度。 3.3 偏微分方程（PDE）的离散化： 介绍求解椭圆型（如稳态扩散）、抛物线型（如热传导）和双曲型（如波传播）方程的基本策略。 有限差分法（FDM）： 重点讲解如何利用中心差分、前向差分和后向差分构造离散近似，并分析其对网格划分的依赖性。 基本有限元方法（FEM）概述： 从变分原理出发，介绍形函数（Shape Functions）的概念，理解FEM如何将微分问题转化为代数问题，及其在处理复杂边界条件时的优势。 --- 第四部分：优化、拟合与插值——数据驱动的计算 科学研究往往需要从观测数据中提取规律或寻找最优解。本部分关注数据拟合、函数逼近和优化算法。 4.1 插值与函数逼近： 区分内插（Interpolation）与外推（Extrapolation）。深入分析拉格朗日插值法的局限性（Runge现象）。详细讲解分段多项式插值，特别是样条插值（Spline Interpolation）——强调三次样条的二阶连续性在平滑度上的优越性。 4.2 最小二乘法与回归分析： 阐述线性最小二乘问题的几何意义。讲解如何通过正规方程组求解，以及在数值上更优越的正交多项式方法（如最小二乘拟合中的切比雪夫多项式）。介绍非线性最小二乘问题，并引入高斯-牛顿法（Gauss-Newton）及其收敛性讨论。 4.3 基础优化算法： 聚焦于无约束优化问题。详细介绍梯度下降法的原理、步长选择策略（如精确线搜索与不精确线搜索）。讨论牛顿法和拟牛顿法（如BFGS算法）如何利用二阶导数信息来加速收敛，以及它们在实际应用中的成本与收益。 --- 第五部分：随机性与积分——蒙特卡洛方法与数值积分 当解析方法失效时，随机抽样和数值积分成为强大的替代工具。 5.1 高效的伪随机数生成： 讨论高质量伪随机数生成器的标准（如线性同余生成器、Mersenne Twister）及其周期和统计特性。 5.2 蒙特卡洛积分的原理与应用： 解释蒙特卡洛方法如何通过大量随机抽样来估计积分值。重点分析其收敛速度（与维度无关的特性）及其在处理高维积分问题时的优势。讨论重要性抽样（Importance Sampling）技术以降低方差。 5.3 确定性数值积分： 系统的回顾牛顿-科茨公式（Newton-Cotes Formulas），包括梯形法则和辛普森法则。深入研究高斯求积（Gaussian Quadrature）的理论基础——最大化代数精度，并分析其在求解单变量积分时的极高效率。 --- 总结与展望 本书的最终目标是培养读者将复杂的科学问题抽象为可计算模型的思维能力，并能根据问题的特性（如维度、稀疏性、刚性）选择、实现和验证最合适的数值算法。通过对这些核心方法的深入理解，读者将能够独立构建健壮、高效的计算模拟框架，为跨学科的科学探索打下坚实的计算基础。

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后面有关于混沌和分形的例子，很有意思

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Mathematica 8小时上手。

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一日速成，极限操作。

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后面有关于混沌和分形的例子，很有意思