Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Danilaev, P. G.

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页数:115

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价格:136

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isbn号码:9789067643481

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• 偏微分方程
• 反问题
• 抛物型方程
• 系数反问题
• 数值分析
• 正则化方法
• 函数空间
• 有限元方法
• 应用数学
• PDE

复杂系统动力学中的逆问题研究：聚焦非线性演化方程的应用 书籍简介 本书深入探讨了在涉及复杂系统动力学分析和建模中至关重要的逆问题领域，特别是关注那些由非线性偏微分方程（PDEs）所描述的演化过程。本书旨在为研究人员、高级研究生和工程师提供一个全面而深入的视角，介绍如何从有限的、可能带有噪声的观测数据中，反演出驱动系统演化的内在参数、源项或边界条件。 第一部分：逆问题的数学基础与挑战 本书的开篇部分，奠定了解决复杂非线性演化方程逆问题的数学和理论基础。 第一章：非线性演化方程的分类与性质 本章首先回顾了描述自然界中各种物理、生物、化学过程的经典非线性偏微分方程，例如KdV方程、非线性薛定谔方程、反应-扩散方程（如FitzHugh-Nagumo模型）和Navier-Stokes方程的简化形式。重点分析了这些方程的定解条件、解的存在性、唯一性和光滑性。 非线性效应的引入： 详细分析了非线性项（如二次、三次或更复杂的函数形式）如何显著影响系统的稳定性和解的结构，并讨论了在处理非线性问题时，线性化方法（如微扰法）的适用范围和局限性。 演化方程的半群理论基础： 借助巴纳赫空间上的连续半群理论，为后续处理无限维系统中的逆问题提供了严谨的框架。 第二章：正问题与逆问题的结构性差异 本章着重阐述了正问题（给定参数和初始/边界条件，求未来的系统状态）与逆问题（给定部分系统状态，求驱动参数）之间的本质区别。 适定性（Well-posedness）的挑战： 详细分析了逆问题通常具有的不适定性特征，即解对输入数据的微小扰动高度敏感（病态性）。这包括对解的唯一性（参数可能无法被数据完全确定）和稳定性（数据噪声放大）的严格论证。 信息缺失的量化： 研究了数据观测限制如何导致逆问题的欠定性，即存在多个参数集都能在有限观测点上产生相似的解。引入信息熵和可观测性矩阵的概念来量化信息缺失的程度。 第二部分：稳定化方法与正则化理论 鉴于逆问题的固有不适定性，本书的第二部分将核心精力放在如何通过数学技巧稳定化这些问题，使其能够被数值求解。 第三章：经典正则化方法与理论框架 本章系统介绍了解决病态逆问题的主流正则化技术。 Tikhonov 正则化： 详述了基于能量泛函最小化的Tikhonov方法。重点讨论了正则化参数 $alpha$ 的选择策略，包括广义交叉验证（GCV）、L曲线法和偏差-方差权衡分析。 谱截断与截断误差分析： 针对依赖傅里叶或小波分解的方法，分析了在高频部分截断对解的收敛速度和物理意义的影响。 变分正则化与非光滑项： 引入 $L^1$ 范数（Total Variation, TV）正则化在逆问题中的应用，特别是在反演稀疏性源项或需要保持解的边缘清晰度时的优势。 第四章：统计推断与贝叶斯框架下的逆问题 本章将视角转向概率论和统计学，提供了一种处理不确定性的强大工具。 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法： 详细介绍如何利用Metropolis-Hastings或Gibbs采样器来探索参数空间的后验分布。强调了先验知识（Prior Information）在贝叶斯框架中对稳定化逆问题的关键作用。 噪声模型的建立： 深入分析了不同观测噪声模型（如高斯白噪声、泊松噪声）对后验分布计算和参数估计精度的影响。 模型误差处理： 讨论了在贝叶斯框架内如何纳入对正问题模型本身误差的考量，即参数估计与模型选择的结合。 第三部分：特定非线性演化方程的逆问题求解实例 本书的最后一部分将理论方法应用于具体的、具有实际物理意义的非线性系统。 第五章：反演反应-扩散系统中的源项与激活能 本章关注生物学和化学中的反应-扩散模型。假设系统状态 $mathbf{u}(mathbf{x}, t)$ 的观测是已知的，目标是反演出空间分布的反应速率常数 $kappa(mathbf{x})$ 或外部施加的源项 $f(mathbf{x}, t)$。 非局部性影响分析： 由于反应项的非线性（如化学反应的指数依赖性），分析了局部观测数据对反演整个反应场的影响，并论证了为何需要更长的时间序列数据。 交替最小化策略： 针对包含非线性项和待定参数的混合优化问题，提出了一种交替迭代优化策略，交替执行参数更新和状态求解（正问题求解）。 第六章：流体力学中的边界条件与粘度反演 本章聚焦于Navier-Stokes方程的简化模型（如非牛顿流体或特定边界层方程）中的逆问题。 逆向边界值问题： 研究如何通过测量流体内部的压力或速度梯度，反演出驱动流动的边界剪切力或入口速度分布。这通常涉及对非线性对流项的处理。 粘滞系数与非线性耗散： 探讨在存在湍流模型（例如雷诺数依赖的有效粘度）时，如何通过积分观测数据反演出流动的有效粘滞系数场。这通常需要结合大涡模拟（LES）或RANS模型作为正演算子。 第七章：非线性波动方程的反问题：声学与弹性波成像 本章探讨了逆散射问题在非线性介质中的推广。 时间反演与能量聚焦： 介绍时间反演方法在非线性波动方程中的局限性，并探讨如何利用二次或更高阶的非线性项来增强反演的定位精度，特别是在低信噪比的环境下。 目标函数设计： 针对非线性成像，设计了基于能量不守恒或特定高阶导数匹配的目标泛函，以区分由介质非线性特性引起的信号变化和由数据噪声引起的扰动。 总结与展望 本书最后总结了当前非线性演化方程逆问题研究的前沿方向，包括：利用深度学习（如神经算子网络）构建高效的非线性正演映射，加速迭代反演过程；以及在数据稀疏和模型不确定性并存的真实世界场景下，发展更鲁棒的混合正则化和集成学习方法。本书旨在激励研究人员开发更具普适性和稳定性的工具，以应对日益复杂的科学和工程挑战。

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仅凭《Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application》这个书名，我就对这本书产生了极大的期待，尤其是在我最近接触到一些与参数辨识相关的研究项目之后。抛物型方程在描述物理现象时，其系数往往蕴含着重要的物理信息。例如，在流体力学中，粘性系数决定了流体的流动特性；在材料科学中，导热系数反映了材料的保温性能。然而，在许多实际情况下，这些系数是难以直接测量的，或者其值会随着时间和空间发生变化。这时，我们就需要依赖于“逆问题”的方法，通过观测到的系统响应来反推这些未知系数。这本书的题目清晰地表明了它将专注于这一特定类型的逆问题，而且聚焦于抛物型方程，这本身就是一个非常活跃的研究领域。我猜想，书中会系统地介绍解决这类逆问题的理论基础，包括必要和充分的条件，保证解的存在性、唯一性和稳定性。这通常涉及到泛函分析、偏微分方程理论以及概率论等多个数学分支的工具。此外，我对书中可能涉及到的数值方法也非常感兴趣，尤其是那些能够处理高维、非线性、以及带有噪声的实际数据的方法。例如，反向传播算法、机器学习辅助的参数估计方法等，在现代科学计算中扮演着越来越重要的角色，如果书中能有所提及，那将是非常宝贵的。

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这本书的书名《Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application》着实让我好奇，虽然我还没有机会深入翻阅，但仅仅从这个标题，我便能感受到其学科的深度和专业性。这似乎是一本面向研究人员和高年级学生的著作，聚焦于一个相对小众但至关重要的数学领域——逆问题，特别是针对抛物型方程的系数逆问题。我猜想，书中会对如何从观测到的系统行为反推出其内部未知参数（即系数）的数学模型和算法进行详尽的阐述。抛物型方程本身就广泛应用于描述扩散、传热、波动等现象，而逆问题则意味着我们不是预测未来，而是试图理解过去的根本原因。这就像是医学诊断，我们通过病人的症状（观测数据）来推断病因（方程的系数）。我期待这本书能够提供严谨的数学理论框架，包括存在性、唯一性和稳定性分析，这是逆问题研究的核心难点。同时，鉴于“Application”一词，书中应该还会涵盖这些理论在实际问题中的应用，例如地球物理勘探（利用地震波数据反推地下介质性质）、生物医学成像（如电化学阻抗成像）、材料科学（分析材料内部结构）等。这类问题往往数据稀疏、噪声大，对算法的鲁棒性和效率要求极高。因此，我期望书中不仅有理论，更有实用的数值方法和算法设计。

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《Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application》这个书名，立刻勾起了我对科学建模和数据反演领域的好奇心。在我的认知里，抛物型方程是描述许多自然现象的关键数学工具，例如扩散过程、热传导以及某些生物学和经济学模型。而“系数逆问题”则意味着我们不仅仅满足于使用已知的方程来预测系统的演变，而是更进一步，试图从观测到的系统行为中，反向推断出隐藏在方程背后的参数——也就是那些“系数”。这是一种从结果倒推原因的研究范式，其挑战性和重要性不言而喻。我推测，这本书会深入探讨在不同条件下（比如不同类型的数据观测、不同的方程形式）如何有效地解决这些系数逆问题。这其中必然涉及到深刻的数学理论，例如关于问题的适定性（existence, uniqueness, and stability）的分析，以及如何设计有效的算法来克服实际计算中的难点。我特别期待书中能探讨一些前沿的算法，例如那些利用机器学习技术来加速或改进逆问题的求解过程，又或者是一些能够处理不完全或噪声数据的高级数值方法。这些方法在诸如遥感数据分析、医学诊断成像、以及环境监测等领域都有着巨大的应用潜力，这本书的“Application”部分，想必会为我打开新的视野。

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这本书的书名《Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application》透露出一种严谨的学术气息，让我对其内容产生了浓厚的兴趣。我个人对数学建模和科学计算有着浓厚的兴趣，而逆问题正是连接理论与实践的桥梁。抛物型方程在众多科学和工程领域扮演着核心角色，无论是描述热量如何扩散，还是模拟化学反应的动力学过程，其身影无处不在。然而，我们常常面临一个挑战：方程中的关键参数（系数）是未知的，需要从观测到的现象中加以推断。这本书似乎正是为了解决这一难题而生，它将引导读者深入理解如何设计和分析求解这类系数逆问题的数学方法。我尤其好奇书中会如何处理这些逆问题的内在不适定性。通常，逆问题是病态的，微小的观测误差可能会导致解的巨大偏差，这使得稳定性分析和正则化技术成为研究的关键。因此，我期待书中能够详细介绍各种正则化方法，如Tikhonov正则化、迭代正则化、模型无关正则化等，并探讨它们在不同类型抛物型方程逆问题中的适用性和优缺点。此外，能否在书中看到关于反演问题的数值算法的讨论，比如基于最优化方法的迭代算法，或是基于机器学习和人工智能的现代方法，也将是我非常关注的。

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《Coefficient Inverse Problems for Parabolic Type Equations and Their Application》这个书名，在我看来，直指当下科学研究中的一个重要前沿。抛物型方程，比如我们熟悉的传热方程，在描述动态过程时至关重要。而“系数逆问题”则意味着我们不再是简单地利用已知方程去预测未来，而是反过来，从已知的观察结果出发，去探寻方程背后最根本的那个“秘密”——它的系数。这就像是一个侦探，从现场留下的蛛丝马迹，去还原案件发生的真相。我可以想象，书中会深入探讨各种类型的抛物型方程，例如具有常数系数的，或者更复杂的，包含时变或空间依赖性系数的方程。对于每一个类型，都会有相应的逆问题提法，比如已知边界数据或内部数据，求解方程的导数项、扩散项或者反应项的系数。这本书的吸引力还在于其“Application”部分，这暗示着它不仅仅停留在纯粹的数学理论层面，更会触及实际应用。我猜测，书中可能会引用一些具体的案例，例如在石油勘探中，通过地表采集的地震波信息，反推出地下油藏的物性参数；或者在医学影像中，利用外部探测信号，重构体内组织的电导率或介电常数。这类应用往往需要非常巧妙的数学工具和计算策略来克服实际数据的局限性。

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