The Transforms and Applications Handbook pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Poularikas, Alexander D. (EDT)

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:1622.00元

装帧:

isbn号码:9780849385957

丛书系列:

图书标签:

• Transforms
• Fourier Transform
• Laplace Transform
• Wavelet Transform
• Signal Processing
• Image Processing
• Engineering Mathematics
• Applied Mathematics
• Mathematical Physics
• Data Analysis

《精妙结构与现实映射：现代数学工具箱》 内容提要： 本书旨在为读者提供一个深入且实用的现代数学工具集，重点聚焦于那些在工程、物理、数据科学和复杂系统分析中扮演核心角色的分析框架。我们避开了特定函数变换（如傅里叶或拉普拉斯变换）的传统综述模式，转而构建一个关于结构如何影响信息流动的理论基础。全书围绕抽象代数结构、拓扑学基础、非线性动力学以及高维几何概率这四大支柱展开，旨在揭示从基础规律到宏观现象的内在联系。 第一部分：结构与对称——代数映射的基石 (The Foundations of Algebraic Mapping) 本部分深入探索了群论和环论在描述物理系统对称性中的关键作用。我们首先回顾了基础的抽象代数概念，但迅速过渡到更具应用性的领域，如李群（Lie Groups）在描述连续对称性方面的优势。重点讨论了如何使用表示论（Representation Theory）将复杂的酉群和特殊酉群操作转化为可处理的矩阵运算。 李群与守恒定律的联系： 详细分析了诺特定理（Noether's Theorem）的现代代数视角，展示了每一种连续对称性如何对应一个特定的守恒量。这不仅仅是回顾，而是通过具体案例——如薛定谔方程中的时间平移对称性——来展示如何利用群结构来预测系统的基本行为，无需求解微分方程的细节。 张量分析的代数基础： 阐述张量如何作为多重线性映射的自然语言，而不是仅仅作为坐标变换的工具。通过引入微分流形上的外代数（Exterior Algebra），我们构建了一个严谨的框架来处理向量场、流形上的积分和曲率。 第二部分：连接性与连续性——拓扑洞察 (Topological Insights into Connectivity) 本部分将拓扑学的概念——如连通性、紧致性和同调群——引入实际分析的领域。我们关注的重点是：系统组件之间的“形状”和“洞”如何影响信息的传播和稳定区域的界定。 持久同调（Persistent Homology）： 这是本书在拓扑分析中的核心贡献之一。我们详尽地介绍了如何使用持久同调来识别数据集中不同尺度上的“特征”，例如在材料科学中识别孔隙结构或在金融时间序列中定位周期性结构。我们不仅讨论了理论构建，还提供了算法实现的关键考量，包括对噪声的鲁棒性分析。 流形学习的几何约束： 探讨了如何在高维数据集中寻找低维的嵌入流形。重点分析了测地线距离（Geodesic Distance）在区分局部结构和全局结构中的重要性，并将其与经典的欧几里得距离进行了对比，强调了在非线性嵌入空间中，路径的选择如何彻底改变距离的含义。 第三部分：动态演化——非线性系统与混沌的几何 (The Geometry of Nonlinear Evolution) 本部分专注于描述和预测随时间变化的复杂系统。我们强调相空间（Phase Space）的几何性质是理解系统长期行为的唯一途径。 庞加莱截面与周期性识别： 详细阐述了庞加莱截面如何将高维连续动力学简化为低维离散映射，从而有效地识别系统的极限环和周期轨道。我们通过洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）的分析，展示了如何通过几何投影揭示混沌的内在有序结构。 稳定性分析与Lyapunov指数： 深入探讨了Lyapunov指数在量化系统对初始条件敏感性方面的作用。本书提供了计算和解释多组Lyapunov指数的系统方法，区分了真正的混沌、伪随机性以及可预测的稳定行为。对于涉及反馈回路和延迟微分方程的系统，我们专门分析了延迟对吸引子形态的影响。 第四部分：概率的深度——高维空间中的统计推断 (Statistical Inference in High-Dimensional Geometries) 在现代科学中，数据维度通常远超人类直觉所能处理的范围。本部分将概率论与高维几何相结合，以应对“维度灾难”。 测度论与概率密度函数的几何： 重新审视了条件概率和贝叶斯推断，但将其置于测度论的严格框架下。重点讨论了在无限维希尔伯特空间中定义和处理概率积分（如路径积分的变分方法）。 随机过程的路径依赖性： 区别于标准的布朗运动分析，本章重点研究了具有记忆效应和非马尔可夫性质的随机过程。通过引入随机微分方程（SDEs）中的伊藤积分（Itô Calculus）的几何意义，我们探讨了这些过程如何生成具有特定结构（如长期相关性）的观测序列，这对金融建模和材料损伤模拟至关重要。 信息几何基础： 最后，本书简要介绍了信息几何的概念，将统计模型族视为黎曼流形。通过费希尔信息矩阵（Fisher Information Matrix）作为黎曼度量，我们量化了模型参数空间中的“距离”或“可区分性”，为模型选择和参数估计提供了几何直觉。 目标读者群： 本书面向具有坚实微积分和线性代数基础的研究生、工程师和高级技术专业人员。它不假设读者对特定转换技术有先验知识，而是力图建立一个统一的、基于结构和几何的分析哲学，使读者能够灵活地选择和组合这些现代数学工具来解决跨学科的复杂问题。阅读本书后，读者将能够批判性地评估现有模型，并为新出现的复杂现象构建更具洞察力的数学描述。

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