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出版者:The Mathematical Association of America

作者:Harriet Pollatsek

出品人:

页数:177

译者:

出版时间:2009-8-31

价格:USD 67.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780883857595

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 李群
• 代数拓扑
• 微分几何
• 表示论
• 拓扑群
• 群论
• 抽象代数
• 高等数学
• 数学分析

《李群》 一、 引入：空间、对称性与群的魅力 数学的广袤天地中，总有一些概念宛如璀璨的星辰，照亮我们理解宇宙结构与内在规律的道路。李群，便是这样一颗耀眼的星辰。它以一种深刻而优雅的方式，将代数结构（群）与几何结构（光滑流形）巧妙地融合在一起，揭示了连续对称性的本质。从物理学中对基本粒子和时空结构的描述，到几何学中对曲面和空间的分类，再到动力系统和微分方程的分析，李群都扮演着至关重要的角色。 本书《李群》旨在为读者提供一个全面而深入的视角，去探索这个迷人而强大的数学分支。我们不只是学习一个抽象的数学定义，而是去理解李群如何自然地出现在各种科学研究的场景中，它们所带来的洞察力是如何改变我们对世界的认识。我们将穿越代数与几何的边界，体验连续变换所蕴含的无穷奥秘。 二、 李群的核心：群的连续性与结构的和谐 传统意义上的群，是描述离散变换（如置换、矩阵乘法）的有力工具。然而，许多重要的变换，例如旋转、平移，它们本身是连续的。如何捕捉和研究这些连续的对称性？这正是李群诞生的土壤。 一个李群，本质上是一个既是群又是光滑流形的集合，并且群的运算（乘法和求逆）在该流形上是光滑的。这种“光滑性”赋予了李群丰富的几何和分析性质。它意味着我们可以使用微积分的工具来研究李群，例如泰勒展开、导数等。这种光滑性使得李群结构比离散群更加丰富和精妙，也为其带来了强大的分析工具。 想象一下，我们考虑所有三维空间中的旋转。这些旋转操作构成了一个群。同时，每一个旋转都可以通过三个角度（例如欧拉角）来唯一确定，这构成了一个三维球面，是一个光滑流形。而且，两个旋转的复合以及单个旋转的逆操作，在角度空间中也是光滑的。这便是一个典型的李群——三维特殊正交群 SO(3)。 本书将从李群的基本定义出发，逐步深入到其核心概念。我们将探讨李群的例子，如一般线性群 GL(n, R)、特殊线性群 SL(n, R)、正交群 O(n) 和特殊正交群 SO(n)，以及酉群 U(n) 和特殊酉群 SU(n) 等，它们在量子力学和粒子物理中扮演着核心角色。我们将理解同态、同构等群论的基本概念在李群范畴内的特殊含义，以及李群的子群、正规子群和商群的概念。 三、 李代数：微观视角下的连续对称 李群的强大之处，很大程度上源于它与“李代数”之间不可分割的联系。李代数可以被看作是李群在单位元附近的一个“局部线性化”的描述。如果将李群想象成一个圆滑的曲面，那么李代数就是这个曲面在某一点（通常是单位元）的切空间。 尽管李代数本身是向量空间，并且带有特殊的“李括号”运算，但它却能够编码李群的许多关键信息，尤其是关于群的局部结构。在很多情况下，研究一个李群比直接研究其整体结构要困难得多，而研究其对应的李代数则相对容易，并且可以从中推断出很多关于李群的性质。 我们将深入探讨李代数的定义，包括向量空间结构和李括号的性质（双线性性、反对称性、雅可比恒等式）。本书将介绍一些重要的李代数，如一般线性李代数 gl(n, R)、特殊线性李代数 sl(n, R)、正交李代数 so(n) 和酉李代数 u(n) 等，它们分别对应着前面提到的李群。 李代数与李群之间的桥梁，是通过“指数映射”建立的。指数映射允许我们从李代数中的元素（向量）“映射”回李群中的元素（变换）。这个过程就像是从局部（切空间）“生长”出整体（流形）。我们将详细讲解指数映射的定义、性质以及它在李群和李代数之间建立的深刻联系。 四、 表示论：对称性的解读与应用 理解一个李群的真正意义，往往需要研究它的“表示”。一个李群的表示，就是将李群的元素映射到某个向量空间上的线性变换（矩阵）。通过研究这些线性变换，我们可以将抽象的李群“具象化”，从而更好地理解其结构和性质。 表示论是研究李群及其李代数结构的重要工具。通过对李群进行表示，我们可以将其抽象的代数结构映射到更易于操作的线性代数结构上。例如，在量子力学中，粒子常常具有自旋，而自旋就是粒子在某些对称群（如 SU(2)）下的表示。 本书将系统地介绍李群的表示理论。我们将学习什么是李群的表示、向量空间、线性变换以及李代数的表示。我们将探讨不可约表示的概念，这是表示论中的一个核心思想，任何表示都可以分解为一系列不可约表示的直和。我们将介绍如何计算和分类李群的不可约表示，例如通过权重和根系的概念。 表示论不仅是理论研究的工具，更在物理学、化学、密码学等领域有着广泛的应用。例如，在量子化学中，对称性分析和表示论可以帮助我们理解分子的结构和光谱性质；在粒子物理中，各种粒子的性质和相互作用都与它们所属的对称群的表示密切相关。 五、 结构与分析：李群的深层几何 除了代数结构和表示，李群还拥有丰富的几何和分析性质，这些性质使得它们成为研究光滑流形和几何结构的有力工具。 本书将深入探讨李群的内部结构。我们将学习李群的连通分支，以及单连通李群和非单连通李群的区别。我们将介绍李群的中心，以及单李群和半单李群的概念，它们是分类李群的两个重要范畴。 此外，我们将研究李群上的微分几何。例如，我们将探讨李群上的测地线，以及如何利用李代数来分析这些几何对象。我们将介绍李群的柯西-黎曼方程的推广，以及李群上的微分形式和积分。 对于更高级的读者，本书还会涉及李群与纤维丛、主丛之间的关系，以及它们在微分几何和拓扑学中的应用。我们将看到，李群的结构如何影响着流形的几何性质，以及如何通过李群的对称性来理解流形的整体结构。 六、 应用之广：连接数学与现实的桥梁 《李群》一书的魅力，不仅在于其精妙的数学理论，更在于它在众多科学领域的广泛应用。 物理学： 从经典力学中的洛伦兹变换到量子力学中的庞加莱群、SU(2) 和 SU(3) 群，李群是描述基本对称性和粒子性质的语言。量子场论、弦理论等前沿领域都离不开李群的工具。 几何学： 李群被用来分类和研究各种几何空间，例如爱因斯坦提出的黎曼几何，其中曲率的对称性就与李群密切相关。 动力系统： 李群可以用来分析和理解具有连续对称性的动力系统，例如在保守系统中，守恒量常常与李群的生成元有关。 控制理论： 在机器人学和控制系统中，我们经常需要描述和控制物体的运动，而这些运动往往可以用李群来表示。 密码学： 一些现代密码学算法的设计也借鉴了李群的代数结构。 本书将通过精选的例子和案例分析，展示李群理论在这些领域的具体应用，帮助读者建立起数学理论与实际问题之间的联系，激发他们利用李群的知识去解决现实世界中挑战的兴趣。 七、 学习路径与读者群体 本书《李群》适合具有扎实线性代数、微积分和群论基础的数学、物理学、工程学及相关领域的本科生、研究生以及科研人员。对于对抽象数学和几何有浓厚兴趣的读者，本书也将提供一次深刻的探索之旅。 本书的编写力求严谨又不失趣味，理论推导清晰，概念阐释生动。我们将从直观的例子入手，逐步引向抽象的理论，再回到具体的应用。每个章节都包含丰富的练习题，帮助读者巩固所学知识，并进一步探索相关主题。 八、 结语：开启理解对称性与连续性的新篇章 《李群》是一扇通往深刻理解自然界中对称性与连续性奥秘的大门。它不仅仅是一本教科书，更是一份邀请，邀请您踏上一段激动人心的数学探索之旅。通过学习李群，您将获得一种全新的视角来审视宇宙的结构，理解物理定律的优雅，以及感受数学所蕴含的普遍之美。希望本书能成为您在李群世界中探索的可靠向导，帮助您开启理解对称性与连续性的全新篇章。

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