Duality in Vector Optimization pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bot, Radu Ioan/ Grad, Sorin-mihai/ Wanka, Gert

出品人:

页数:416

译者:

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价格:1382.00

装帧:

isbn号码:9783642028854

丛书系列:

图书标签:

• Vector Optimization
• Duality
• Nonlinear Programming
• Convex Optimization
• Mathematical Programming
• Optimization Theory
• Multiobjective Optimization
• Game Theory
• Variational Analysis
• Sensitivity Analysis

《向量优化的双重性：理论、方法与应用》 引言 在现代科学研究和工程实践中，优化问题无处不在。从经济学中的资源配置到工程学中的设计优化，再到计算机科学中的机器学习算法，优化是解决复杂问题的核心驱动力。然而，许多现实世界的决策场景并非仅仅追求单一目标的最佳化，而是需要在多个相互冲突的目标之间进行权衡与取舍。这种多目标决策的挑战催生了向量优化这一重要领域。向量优化研究的对象是向量值函数的最优性问题，它旨在寻找一组解，使得所有目标函数在某种意义上都达到最优，或者在不同目标之间取得满意的折衷。 传统的最优化方法通常聚焦于标量函数的极值问题，即找到一个或一组参数，使得一个单一的实数值函数达到最大或最小。然而，现实世界的复杂性常常要求我们同时考虑多个衡量标准。例如，在产品设计中，我们可能希望同时最小化成本、最大化性能、延长寿命，并减少环境影响。这些目标往往是相互制约的，提高一个目标可能会牺牲另一个。向量优化正是为了应对这种多维度的优化挑战而发展起来的。 向量优化问题的核心在于“最优”的定义。由于目标函数返回的是一个向量，我们无法像标量函数那样简单地比较大小来判断哪个解更优。因此，向量优化引入了“帕累托最优”（Pareto optimality）的概念，也称为非劣性（non-inferiority）。一个解被称为帕累托最优，如果不存在其他解可以同时在所有目标上优于它，并且在至少一个目标上严格优于它。帕累托最优解的集合构成了我们所说的“帕累托前沿”（Pareto front），它代表了所有可能的可行折衷方案。 《向量优化的双重性：理论、方法与应用》一书深入探讨了向量优化的理论基础、核心方法以及在各个领域的广泛应用。本书的核心论点围绕“双重性”展开，这里的“双重性”可以从多个层面来理解： 理论上的双重性： 向量优化问题本身就蕴含着一种内在的双重性，体现在 primal 问题（原问题）和 dual 问题（对偶问题）之间的联系。通过对偶理论，我们可以从一个新的视角理解向量优化问题的结构，获取更深层次的性质，并可能设计出更有效的求解算法。 决策者与优化器之间的双重性： 在实际应用中，向量优化问题常常需要决策者来定义目标函数的权重、偏好或者约束条件。这种决策者与算法之间的互动，体现了一种双重性的关系，决策者的主观判断与算法的客观计算相结合，共同导向最优解。 解集表征的双重性： 帕累托前沿的表征本身也存在双重性。一方面，我们可以通过直接生成帕累托最优解的集合来刻画问题的解；另一方面，也可以通过构建一系列单目标优化问题（例如加权求和法）来间接获得帕累托前沿的信息。 应用中的双重性： 许多应用场景下，向量优化问题的解并非是唯一的，而是呈现出多种可能的优良组合，这反映了不同目标之间存在的内在权衡和选择的灵活性。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的向量优化知识体系，帮助理解其理论精髓，掌握实用的求解方法，并激发在不同领域探索其应用的可能性。 第一部分：理论基础 本部分将奠定向量优化的理论基石，系统介绍其基本概念、性质和关键定理。 第一章：向量优化问题的基本概念 向量值函数与向量优化问题定义： 明确向量优化问题的数学表述，包括目标向量函数 $f(x) = (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x))$，其中 $x$ 是决策变量，$m$ 是目标函数的数量。 偏序关系与向量比较： 介绍在向量空间中进行比较的非全序关系，特别是“弱帕累托优于”（$preceq$）和“强帕累托优于”（$prec$）的概念。 帕累托最优解（非劣解）： 严格定义帕累托最优解，即不存在一个解 $x'$ 使得 $f_i(x') le f_i(x)$ 对所有 $i=1, ..., m$ 成立，并且存在至少一个 $j$ 使得 $f_j(x') < f_j(x)$。 弱帕累托最优解（弱非劣解）： 定义弱帕累托最优解，即不存在一个解 $x'$ 使得 $f_i(x') < f_i(x)$ 对所有 $i=1, ..., m$ 成立。 帕累托前沿（非劣解集）： 定义帕累托前沿为所有帕累托最优解对应的目标向量组成的集合。 集合的凸性与帕累托最优性： 探讨目标向量集的凸性与帕累托最优性之间的关系，凸集与非凸集对应的帕累托前沿具有不同的性质。 第二章：集合论在向量优化中的应用 凸集与凹集： 回顾凸集和凹集的定义及其在数学规划中的重要性。 凸优化的概念： 介绍凸优化的基本理论，包括凸函数的性质、Jensen 不等式、分离超平面定理等，并将这些概念延伸到向量优化。 凸向量优化问题： 定义和分析凸向量优化问题，强调凸性在保证帕累托前沿性质（例如，帕累托前沿的凸包）方面的重要性。 Farewell引理与相关性质： 介绍与凸集和帕累托最优性相关的关键引理，为后续理论推导奠定基础。 第三章：向量优化的对偶理论 Lagrange 对偶与向量优化： 将传统的 Lagrange 对偶理论推广到向量优化问题。介绍 Lagrange 乘子函数和对偶问题的构建。 弱对偶性与强对偶性： 探讨向量优化问题中的弱对偶性和强对偶性，分析何时可以实现强对偶性，以及强对偶性在求解中的意义。 对偶解的性质： 分析对偶解的性质，以及对偶解与原问题帕累托最优解之间的关系。 Lagrangian 松弛方法： 介绍基于 Lagrange 松弛的向量优化求解思路，如何通过求解一系列标量优化问题来逼近帕累托前沿。 对偶几何解释： 提供对偶理论的几何直观解释，例如通过支撑超平面来理解对偶性。 第二部分：求解方法 本部分将深入介绍用于求解向量优化问题的各种方法，从经典的转化为单目标优化方法到更现代的元启发式算法。 第四章：将向量优化转化为单目标优化 加权求和法： 介绍将向量优化问题转化为一系列加权求和标量优化问题的方法。讨论权重的选择策略及其对帕累托前沿覆盖的影响。 $epsilon$-约束法： 详细阐述 $epsilon$-约束法，即固定部分目标函数的上界，将其余目标函数优化。分析 $epsilon$ 值的选取及其对帕累托前沿的探索。 指数加权法： 介绍指数加权法，一种对加权求和法的改进，在处理非凸问题时可能更有效。 边界交叉法： 介绍边界交叉法，一种用于生成帕累托前沿上特定区域解的方法。 各种方法在凸与非凸问题中的适用性： 对比分析不同方法在处理凸向量优化问题和非凸向量优化问题时的优劣。 第五章：基于向量的优化方法 目标规划法： 介绍目标规划法，一种在决策者设定目标值后，寻求最小化目标与实际值之间偏差的方法。 理想点法（Reference Point Method）： 探讨理想点法，决策者设定一个理想点，然后寻找最接近理想点的帕累托最优解。 归一化法： 介绍归一化技术，如何处理量纲不一的目标函数，以及在向量优化中的应用。 效用函数法： 介绍如何构建效用函数来量化决策者的偏好，并将向量优化问题转化为最大化效用函数的问题。 第六章：元启发式算法在向量优化中的应用 多目标遗传算法（MOGA）： 介绍多目标遗传算法的基本原理，如 NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II) 等，及其在生成帕累托前沿方面的强大能力。 多目标粒子群优化（MOPSO）： 探讨多目标粒子群优化算法，如何在粒子群算法框架下处理多个目标。 多目标进化策略（MOES）： 介绍多目标进化策略，以及其在探索搜索空间和收敛性方面的特点。 其他元启发式算法： 简要介绍蚁群算法、模拟退火算法等在多目标优化领域的应用。 收敛性与多样性的权衡： 讨论在元启发式算法中，如何平衡算法的收敛性（逼近真实帕累托前沿）和多样性（在帕累托前沿上获得均匀分布的解）。 第七章：求解向量优化问题的数值技巧 算法实现细节： 讨论具体算法的实现注意事项，例如种群大小、交叉率、变异率等参数的设置。 收敛性判据： 介绍用于评估多目标优化算法收敛性的指标，例如收敛前沿距离（CFD）、超体积（Hypervolume）等。 多样性评估指标： 介绍用于评估帕累托前沿多样性的指标，例如间距（Spacing）等。 混合算法设计： 探讨如何将不同的算法结合使用，以期获得更好的求解效果。 高维向量优化问题的挑战： 分析当目标函数数量很大时，求解向量优化问题所面临的“维数灾难”等挑战，并介绍相应的处理策略。 第三部分：应用领域 本部分将展示向量优化在各个学科领域中的实际应用，强调其解决现实世界复杂问题的能力。 第八章：工程设计与制造中的向量优化 结构优化： 例如，在航空航天、汽车制造中，同时优化结构的强度、刚度、重量和成本。 材料设计： 设计具有特定强度、导电性、导热性等多种性能组合的新型材料。 生产调度与资源分配： 在制造过程中，同时优化生产效率、成本、交货时间和资源利用率。 机器人路径规划： 在机器人学中，寻找最优路径，同时考虑路径长度、能量消耗、安全性等目标。 第九章：金融与经济学中的向量优化 投资组合优化： 投资者在追求最大化收益的同时，还需要最小化风险。向量优化方法可以帮助构建满足不同风险偏好的投资组合。 资源配置： 在经济系统中，如何合理配置有限的资源，以同时满足生产、消费、环境保护等多方面需求。 宏观经济模型： 在宏观经济政策制定中，需要平衡经济增长、通货膨胀、就业率等多个目标。 第十章：环境科学与可持续发展中的向量优化 环境影响评估： 在项目决策中，需要同时考虑经济效益、社会效益和环境效益，并寻求最佳的平衡点。 能源系统优化： 例如，在电力系统中，同时优化能源生产成本、环境污染排放、供电可靠性等。 水资源管理： 在水资源分配中，需要兼顾农业灌溉、工业用水、生活用水和生态用水等需求。 第十一章：机器学习与数据科学中的向量优化 模型选择与调参： 在机器学习模型训练过程中，可能需要同时优化模型的准确率、泛化能力、训练速度、模型复杂度等。 特征选择： 选择一组最能代表原始数据的特征，同时最小化特征数量和提高分类或回归性能。 多任务学习： 在同时训练多个相关任务时，需要找到一个模型能够很好地适应所有任务。 推荐系统： 设计推荐算法，同时兼顾用户满意度、商品多样性、商业利益等。 第十二章：生物医学与健康科学中的向量优化 药物研发： 在药物研发过程中，需要同时优化药物的疗效、副作用、代谢稳定性等。 治疗方案设计： 为患者设计个性化的治疗方案，同时考虑疗效、毒副作用、治疗成本和患者生活质量。 基因组学与蛋白质组学： 在生物信息学分析中，可能需要同时优化模型的准确性、鲁棒性等。 结论 《向量优化的双重性：理论、方法与应用》一书不仅系统梳理了向量优化领域的理论框架和求解技术，更着眼于其在解决实际复杂问题中的强大潜力。本书强调的“双重性”贯穿于理论、方法与应用之中，揭示了向量优化问题内在的丰富性和多维度决策的本质。通过对偶理论的深入探讨，我们得以窥见问题的深层结构；通过对各类求解方法的细致分析，我们掌握了探索帕累托前沿的利器；而丰富的应用案例则展示了向量优化在推动科学进步和解决现实挑战中的关键作用。 本书的编写旨在为研究人员、工程师、数据科学家以及对多目标决策感兴趣的读者提供一本权威的参考。我们相信，随着计算能力的不断提升和理论研究的深入，向量优化将在未来扮演越来越重要的角色，帮助我们在日益复杂的世界中做出更明智、更全面的决策。

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