Modern Theory of Summation of Random Variables pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Zolotarev, V.M.

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:1997-9

价格:$ 491.27

装帧:

isbn号码:9789067642705

丛书系列:

图书标签:

• 随机变量
• 求和理论
• 概率论
• 数学分析
• 随机过程
• 极限理论
• 统计学
• 泛函分析
• 鞅理论
• 大数定律

经典概率论：从基础到前沿的严谨探索 本书聚焦于概率论的坚实基础、经典理论的精深剖析，以及其在现代科学与工程中的核心应用。它并非一本关于随机变量求和的专门论述，而是旨在构建读者对概率论宏伟图景的深刻理解，涵盖了从测度论基础到马尔可夫过程的完整体系。 第一部分：概率论的公理化基础与测度论的引入 本书的开篇致力于为概率论的现代表述奠定严格的数学基石。我们摒弃了仅依赖于频率和直觉的传统叙述，转而深入探讨测度论（Measure Theory）在概率论中的决定性作用。 1. 集合论与拓扑预备： 首先回顾必要的集合代数、$sigma$-代数（Sigma-Algebra）的构造及其重要性质。这为定义“事件”提供了精确的框架。 2. 测度与概率空间： 详细阐述勒贝格测度（Lebesgue Measure）的概念及其推广，并将其引入概率论的范畴。定义概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$，其中 $Omega$ 是样本空间，$mathcal{F}$ 是由事件组成的 $sigma$-代数，而 $P$ 则是满足科尔莫戈洛夫公理的概率测度。重点讨论外测度、可测函数以及积分的构造，特别是勒贝格积分（Lebesgue Integration）的定义及其在期望计算中的优越性。 3. 随机变量的严格定义： 随机变量被定义为从样本空间到实数集的满足特定可测性条件的函数。本书详细区分了离散型、连续型和混合型随机变量，并探讨了它们的联合分布、边缘分布和条件分布的测度论表述。 第二部分：随机变量的特性与极限理论 在奠定测度论基础后，本书转向概率论的核心内容——随机变量的描述性工具与描述其渐进行为的极限定理。 4. 随机变量的数字特征： 深入分析期望、方差、矩（Moments）的概念。不同于仅仅计算有限矩，本书着重讨论矩的存在性、$ ext{L}^p$ 空间中的随机变量，以及期望的性质，例如全期望定理（Law of Total Expectation）的严谨证明。 5. 概率不等式与收敛性概念： 概率不等式是分析随机变量行为的有力工具。详细讨论马尔可夫不等式、切比雪夫不等式，并引入更精细的霍夫丁不等式（Hoeffding's Inequality）和切尔诺夫界（Chernoff Bounds）。关于随机变量序列的收敛性，本书系统区分并论证了以下五种主要的收敛模式：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、几乎必然收敛（Almost Sure Convergence）以及 $ ext{L}^p$ 收敛。对这些收敛模式之间的逻辑关系进行全面梳理和证明。 6. 极限定理的深度剖析： 这是概率论的基石。 大数定律（Law of Large Numbers）： 严格证明弱大数定律（WLLN）和强大数定律（SLLN）。讨论其在统计估计稳定性和频率解释中的意义。 中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 经典 CLT 的详细推导，包括使用特征函数（Characteristic Functions）的简洁证明方法。扩展探讨了多元 CLT、Lindeberg-Feller CLT 等更具实用价值的变体。 第三部分：特征函数、再生性与随机过程的引入 本部分将分析工具提升至更高的抽象层次，并开始构建随机过程的框架。 7. 特征函数与生成函数： 特征函数（Characteristic Function）被视为随机变量的“指纹”。详细探讨其存在性、唯一性、连续性定理以及在处理和证明极限定理中的核心地位。讨论矩母函数（Moment Generating Functions）及其局限性。 8. 随机向量与多元分析： 扩展到多维空间，分析随机向量的联合分布、协方差矩阵以及相关性。重点讨论正态分布族（Multivariate Normal Distribution）的性质、正交性、条件期望的投影性质以及协方差矩阵的确定性。 9. 独立性与可分性： 深入研究独立事件和独立随机变量的定义，并讨论可测函数与独立性的关系。探讨随机变量序列的独立性与收敛性的相互影响。 第四部分：条件期望与随机过程的初步探索 本部分是通往更高级随机分析的桥梁，强调条件概率在动态系统中的作用。 10. 条件期望的测度论定义： 彻底抛弃传统条件概率的直觉定义，采用基于 $ ext{L}^1$ 空间上的 Radon-Nikodym 定理导出的条件期望 $mathbb{E}[X|mathcal{G}]$。详细讨论其唯一性、投影性质、迭代性以及与鞅（Martingale）理论的内在联系。 11. 随机过程的初步概念： 介绍随机过程的基本术语（状态空间、索引集）。重点介绍马尔可夫链（Markov Chains）的概念，包括一步转移概率、状态分类（常返性与瞬时性）、平稳分布的求解及其在极限行为分析中的应用。 --- 本书的读者对象是数学、统计学、金融工程、物理学或计算机科学等领域中，需要对概率论有深刻、严谨理解的研究生、高年级本科生以及专业研究人员。它假设读者具备扎实的微积分、线性代数和基础实分析知识。本书通过大量的理论推导和精选的例题，确保读者不仅掌握“是什么”，更能理解“为什么”，从而能够自信地在概率论的任何分支进行深入研究。本书的重点在于理论的严谨性和结构性，而非侧重于具体的随机变量求和运算的技巧性汇总。

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这本**《随机变量求和的现代理论》**（Modern Theory of Summation of Random Variables）简直是一场智力上的探险。从我翻开第一页开始，我就感觉自己被卷入了一个充满深刻洞察和复杂结构的数学世界。作者在处理极限理论和依分布收敛性时所展现出的严谨性令人印象深刻。特别是关于中心极限定理在非独立、同分布（i.i.d.）变量下的推广部分，讲解得极其细致入微，每一个证明步骤都经过了精心的构建和打磨。我尤其欣赏作者在介绍特征函数和生成函数时采用的独特视角——他们不仅仅是工具的展示，更是揭示随机现象背后深层结构的关键钥匙。对于那些对概率论有坚实基础，并渴望深入理解现代数理统计和随机过程理论核心的读者来说，这本书无疑是一份宝藏。它要求读者投入大量的时间和精力去消化吸收，但最终的回报是无可估量的，它拓宽了我对概率空间构造及其拓扑性质的理解边界，远超出一般教科书所能提供的深度。

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坦率地说，这本书的专业程度已经达到了令人敬畏的境界。它更像是一本给研究人员和高阶研究生准备的参考手册，而不是面向普通概率论学习者的读物。书中关于高阶矩的估计和界限的探讨，特别是引入了诸如切比雪夫不等式和霍夫丁不等式的更具辨识力的现代变体时，其分析的精细程度令人叹为观止。作者似乎非常热衷于探索“边界条件”下的行为，即在随机变量的尾部行为和极端事件的累积效应方面，提供了大量锐利的分析工具。我花了大量时间去理解书中关于方差的和与期望的和在不同收敛模式下的相互作用，这种对细节的执着，使得这本书成为了一部关于“加法”如何塑造不确定性的权威著作。它的语言是精确到原子级别的，容不得丝毫的含糊，这对于追求知识精确性的读者来说是巨大的福音。

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这本书的结构安排体现了一种高度的成熟和对主题的深刻掌握。它没有遵循传统的线性叙事，而是将核心的随机变量求和理论置于一个更广阔的测度论和泛函分析的框架下进行考察。书中关于弱收敛和强收敛差异性的讨论，以及如何利用这些概念来构造更精细的随机模型，是我认为全书的亮点之一。作者在引入新的数学工具时，总是能够非常自然地将其与已建立的求和理论联系起来，使得读者能够清晰地看到理论工具的演进路径。更值得称赞的是，书中对于理论的实际应用背景的描述虽然简洁，但却精准有力，让你明白为什么这些抽象的求和法则在物理、金融或工程领域中是不可或缺的。这本书的深度要求读者必须对实分析有非常扎实的把握，否则很容易在某些复杂的积分和极限操作中迷失方向。

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这本书的价值在于它提供了一种看待随机求和问题的全新、高度优化的视角。它不仅仅是复述已有的经典结果，更是在挑战和精炼这些结果的表达方式和证明方法。我对书中关于收敛速度的分析尤为赞赏——作者没有满足于仅仅证明收敛的存在性，而是深入研究了“收敛得多快”的问题。这种对收敛率的细致解剖，结合了对信息论中熵概念的巧妙运用，构建了一套强大的分析框架。在我看来，这本书成功地填补了教科书与前沿研究论文之间的一道鸿沟。它以一种近乎极简主义的方式，提炼出了随机变量求和理论中最核心、最精妙的逻辑骨架，毫不拖泥带水，直击数学美学的核心。对于希望真正掌握现代概率论工具箱，并能自信地将其应用于复杂系统建模的严肃学者而言，这本书是案头必备的经典之作。

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我必须坦诚，阅读这本书是一次对耐心的终极考验，但其回报是无可替代的。这本书的叙事风格非常独特，它不像那些温和的入门读物，而是直接将你抛入到问题的深水区，仿佛在邀请你与作者一同进行一场高强度的智力搏击。对于那些寻求对大数定律的各种形式进行深入剖析的读者，这本书提供了比任何我读过的文献都要细致入微的分析。书中对黎曼求和与随机积分之间的联系的探讨，尤其是在涉及鞅论和马尔可夫过程的背景下，展现出了一种近乎诗意的数学美感。作者似乎对每一个看似微小的技术细节都抱有极大的热情，这使得许多原本晦涩的定理变得清晰可辨，尽管这个“清晰”依然建立在高度抽象的数学语言之上。我常常发现自己在读完一个章节后，需要停下来，反复咀嚼其中的逻辑链条，这是一种既痛苦又令人兴奋的阅读体验。

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