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出版者:Information Science Reference

作者:Tohru Nitta

出品人:

页数:504

译者:

出版时间:2009-1-30

价格:USD 195.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781605662145

丛书系列:

图书标签:

• Neural
• Networks
• Complex
• -valued
• 神经网络
• 复数神经网络
• 深度学习
• 机器学习
• 信号处理
• 数值计算
• 优化算法
• 理论分析
• 应用研究
• 人工智能

《多复变函数论》 内容梗概 《多复变函数论》是一部系统阐述多复变函数基本理论、重要工具和前沿应用的专著。本书旨在为读者提供一个扎实而全面的多复变函数知识体系，帮助他们理解和掌握这一在数学、物理、工程等领域具有广泛影响的学科。全书共分为十六章，从基础概念出发，逐步深入到高级理论和研究方向。 第一章：复向量空间与多复变函数基础 本章是全书的基石，首先回顾并拓展了复数和复向量空间的基本概念。我们将引入 $mathbb{C}^n$ 的结构，讨论向量范数、内积，并定义复线性空间。在此基础上，引入多复变函数的概念，即从 $mathbb{C}^n$ 的一个开集映射到 $mathbb{C}$ 或 $mathbb{C}^m$ 的函数。我们将定义这些函数的定义域、值域，并探讨其连续性、可微性等基本性质。特别地，将介绍全纯函数（holomorphic function）的概念，这是多复变函数论的核心，并初步探讨其与单复变函数论中全纯函数的联系与区别。 第二章：多复变函数的积分与积分公式 本章将多复变函数的积分理论向前推进。我们从定义复链（chain）和复积分（complex integral）开始，并讨论这些积分的性质。在此基础上，将详细介绍多复变函数版的柯西积分公式（Cauchy integral formula）。我们将推导适用于区域内全纯函数的积分表示，这为后续理论的发展提供了关键工具。此外，本章还会探讨多复变函数版本的柯西积分定理（Cauchy integral theorem），以及其在证明函数性质中的作用。 第三章：多复变函数的可微性与柯西-黎曼方程 本章深入研究多复变函数的可微性。我们将明确定义全微分（total differential）和全纯（holomorphic）的概念，并严格推导多复变函数的全纯条件，即推广的柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）。我们将分析这些方程在 $mathbb{C}^n$ 中的形式，并证明全纯函数一定满足这些方程。反之，我们也将在适当的条件下证明满足柯西-黎曼方程的函数是全纯的。本章还将讨论全纯函数的无穷次可微性，以及其泰勒展开（Taylor expansion）的性质。 第四章：多复变函数的解析延拓与解析函数 解析延拓（analytic continuation）是研究复变函数的重要手段。本章将介绍多复变函数解析延拓的基本原理，包括单值解析延拓和多值解析延拓的概念。我们将探讨如何在一个区域上定义一个函数，然后将其“延伸”到更大的区域。此外，本章将详细讨论解析函数（analytic function）的性质，证明解析函数可以通过幂级数（power series）表示，并探讨这些级数的收敛域。 第五章：多复变函数的幂级数与收敛 本章专注于多复变函数中的幂级数。我们将定义多元幂级数，并研究其收敛域。我们将介绍区域收敛（domain of convergence）的概念，并证明幂级数在收敛域内定义了一个解析函数。本章将深入探讨幂级数的性质，如逐项求导和求积，以及它们与所表示函数的解析性质的关系。 第六章：区域的单叶性与多叶性 本章将探讨多复变函数在映射方面的性质，特别是关于区域的变形。我们将引入单叶性（univalence）的概念，即函数将区域映成一个无重叠的区域。我们将研究一些单叶函数，并探讨单叶性与函数导数的关系。此外，本章还将讨论多叶性（multivalence），即函数可能将区域映成一个有重叠的区域，并引入黎曼曲面（Riemann surface）的概念来处理多叶函数。 第七章：多复变函数的度量与几何 本章将从几何的视角审视多复变函数。我们将引入一种度量（metric）来衡量 $mathbb{C}^n$ 中区域的“大小”和“形状”。我们将介绍一些重要的度量，如单位球上的海 berg 度量（Hermitian metric）和庞加莱度量（Poincaré metric）。通过这些度量，我们可以更好地理解函数的映射性质，例如保角映射（conformal mapping）的几何意义。 第八章：单位球与凸域 单位球（unit ball）是多复变函数论中一个非常重要的研究对象。本章将集中讨论单位球上的函数性质，并引入凸域（convex domain）的概念。我们将研究在单位球和凸域上定义的函数的特殊性质，例如全值函数（biholomorphic function）的存在性与唯一性。 第九章：全值映射与单值映射 本章将深入探讨全值映射（biholomorphic mapping）和单值映射（univalent mapping）。我们将研究连接两个区域的全值映射的存在性与唯一性条件，并介绍一些著名的全值映射定理，如黎曼映射定理（Riemann mapping theorem）的推广。 第十章：复积分的理论与应用 本章将进一步深化复积分的理论。我们将介绍闭链积分（integral over closed chains）的概念，并探讨其与同调论（homology theory）的联系。本章还将介绍一些更一般的积分公式，并讨论其在求解微分方程和研究函数性质中的应用。 第十一章：Lelong-Griffiths 级数与Chern 类 本章将进入更高级的研究领域，介绍 Lelong-Griffiths 级数（Lelong-Griffiths number）和 Chern 类（Chern classes）。我们将探讨这些概念在多复变函数论中的意义，以及它们如何与复流形（complex manifold）上的几何和拓扑性质相关联。 第十二章：复流形基础 本章将介绍复流形（complex manifold）的基本概念。我们将定义复流形，并讨论其上的切空间（tangent space）和向量场（vector field）。我们将学习如何在复流形上定义全纯函数和全纯映射，为后续更复杂的理论打下基础。 第十三章：复黎曼曲面 本章将聚焦于复黎曼曲面（complex Riemann surface）的研究。我们将介绍复黎曼曲面的构造和分类，以及其上的函数论性质。我们将探讨复黎曼曲面在代数几何（algebraic geometry）和拓扑学（topology）中的应用。 第十四章：Kahler 流形与Calabi-Yau 流形 本章将介绍 Kahler 流形（Kahler manifold）和 Calabi-Yau 流形（Calabi-Yau manifold）的概念。我们将探讨这些特殊的复流形在微分几何（differential geometry）和理论物理（theoretical physics）中的重要性，例如在弦理论（string theory）中的应用。 第十五章：全纯向量丛 本章将引入全纯向量丛（holomorphic vector bundle）的概念。我们将研究向量丛的定义、构造和分类，以及其在复几何和代数几何中的应用。 第十六章：前沿研究方向与应用展望 本书最后一章将对多复变函数论的一些前沿研究方向进行展望，并介绍其在相关领域的应用。我们将讨论当前的研究热点，例如复几何与拓扑学的交叉，以及多复变函数在机器学习、信号处理等新兴领域的潜在应用。 《多复变函数论》适合作为高等院校数学、物理、工程等专业研究生和高年级本科生的教材或参考书，同时也为从事相关领域研究的科研人员提供有价值的参考。本书的编写力求严谨、清晰，并辅以适量的例题和习题，以帮助读者更好地掌握多复变函数论的精髓。

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初翻开这本书，我立刻被其严谨的数学推导和清晰的逻辑结构所震撼。作者似乎对复数分析和现代深度学习的交汇点有着极其深刻的理解，能够用一种近乎诗意的笔触，将原本枯燥的矩阵运算和梯度下降过程，描绘成一场在复平面上进行的优雅的“寻优舞蹈”。我特别欣赏书中对“相位敏感性”的探讨，这在处理波形数据时至关重要，而传统的实值网络往往只能通过增加网络深度或节点数量来间接捕捉这些微妙的关系。如果书中能详细对比复值网络与实值网络在相同数据集上的效率、收敛速度及模型表达能力的差异，并提供详尽的对比实验数据，那对于指导实际工程应用将具有无可估量的价值。我希望能看到那些令人眼前一亮的、前所未闻的复值激活函数的设计思路，以及它们背后的数学合理性，而不仅仅是对现有实值函数的简单复数化。这种对基础原理的深挖，才是真正区分一本好书和一本优秀教科书的关键。

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我倾向于认为，这本书的出现标志着深度学习领域正在走向一个更成熟的阶段，即开始系统性地探索和利用更丰富的数学工具集。《Complex-valued Neural Networks》的视角是宏大且富有前瞻性的，它不仅仅是介绍了一种新的网络类型，更是在倡导一种处理周期性、旋转性和相位信息的新范式。我希望看到书中不仅仅停留在模仿实值网络结构，而是真正挖掘复数域本身的内在结构优势，比如在构建更具不变性的模型方面，复数域是否能提供比传统数据增强更优雅的解决方案？如果作者能够联系到更底层的物理学或信息论原理，来论证复值网络的必然性，那这本书的理论深度将得到极大的提升。总而言之，它给人的感觉是，这是一份为下一代人工智能研究者准备的“工具箱钥匙”，它打开的不仅仅是代码库，更是思维模式的升级。

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作为一名致力于前沿算法探索的工程师，我对这本书的实际操作指南部分抱有极高的期待。理论固然重要，但如果不能顺利地将其转化为可运行的代码，那么再精妙的理论也只是纸上谈兵。我希望书中能够针对主流的深度学习框架（如PyTorch或TensorFlow）提供详尽的、可复制的实现教程，特别是如何高效地在GPU上并行处理复数值的张量运算。复数运算的内存占用和计算复杂度往往是实际应用中的一个瓶颈，书中是否提供了针对性的优化技巧和性能瓶颈分析？例如，在构建复值卷积层或复值循环层时，如何平衡模型的表达能力和计算资源的消耗？一本优秀的实践指南，应该能够让读者在读完后，立即能够信心满满地着手构建一个解决特定复数域问题的SOTA（State-of-the-Art）模型，而不是在实现细节上反复受挫。这种从理论到实践的无缝过渡，是衡量一本技术书籍实用价值的核心标准。

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这本书的排版和术语一致性给我留下了深刻的印象。在如此前沿且跨学科的领域中，统一的数学符号约定至关重要。作者显然在这方面下了苦功，确保了从第一章到最后一章，符号的定义都是清晰且一致的，避免了读者在阅读过程中因符号歧义而产生的困惑和中断。特别是对于那些新提出的复值网络结构，作者不仅提供了公式推导，还附带了清晰的图示来辅助理解其内部的信号流向，这一点对于几何直觉的建立非常关键。我发现这种对细节的关注，极大地提升了阅读体验，使得我可以专注于理解算法的精髓，而不是在费力地解码作者想要表达的数学意图上耗费精力。如果书中还能提供一个详尽的术语表，收录所有关键的复分析和神经网络概念，那无疑会使其成为一本可以长期放在手边参考的工具书。

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这本《Complex-valued Neural Networks》的书名本身就极具吸引力，对于一个长期在传统实值神经网络领域摸爬滚打的研究者来说，它犹如一扇通往更广阔、更精妙数学世界的窗户。我期望它能深入浅出地剖析复数域在神经网络结构、激活函数设计乃至优化算法上的独特优势。我尤其关注它如何处理复数运算中固有的相位信息和幅度信息的分离与融合问题。如果书中能详尽阐述基于复数域的线性代数基础如何迁移到深度学习框架中，并提供足够多的实际案例，比如在电磁波处理、量子计算模拟或者特定信号处理任务中的应用，那它无疑将是领域内的一部里程碑著作。我期待的不仅仅是理论的堆砌，而是能看到作者如何巧妙地将抽象的复数分析与工程实践中的复杂模型训练完美结合起来，展示出复值网络在处理具有内在周期性或旋转对称性数据时的优越性。那种阅读体验应当是酣畅淋漓的，知识的脉络清晰可见，令人忍不住想要立刻动手实现书中的模型。

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