Modular Forms and Functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Rankin, Robert A.

出品人:

页数:400

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 97.18

装帧:

isbn号码:9780521091688

丛书系列:

图书标签:

• Modular Forms
• Modular Functions
• Number Theory
• Complex Analysis
• Algebraic Number Theory
• Automorphic Forms
• Representation Theory
• q-series
• Elliptic Curves
• L-functions

《模形式与函数》是一部深入探讨数学中一个迷人分支的著作，它巧妙地融合了数论、复分析和代数几何的思想。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的框架，去理解模形式所蕴含的深邃结构及其在数学各个领域中的广泛应用。 本书的起点是对模形式的基本概念进行详尽的介绍。我们将首先聚焦于最基础的模形式，即在整数模群 $SL_2(mathbb{Z})$ 下具有特定变换性质的复函数。我们会详细阐述这些函数的定义，包括其在复上半平面 $mathbb{H}$ 上的解析性、变换方程以及增长条件。读者将学习到如何通过这些定义来识别和构造简单的模形式，例如常数函数和 $Delta$ 函数（j-不变量的模形式）。 在深入探讨模形式的性质之前，本书将回顾并强化必要的背景知识。对于复分析部分，我们将重点关注黎曼曲面、复积分、留数定理等概念，这些都将是理解模形式行为不可或缺的工具。对于数论部分，我们会简要复习群论、模算术以及二次域等，它们为模形式的结构提供了重要的数论视角。 本书的一个核心内容是模形式的傅里叶展开（Fourier expansion）。我们将揭示模形式在复上半平面上的周期性如何导致其具有一种特殊的傅里叶级数形式。这不仅仅是形式上的展开，更是理解模形式内在结构的钥匙。通过分析傅里叶系数，我们可以获得关于模形式的重要信息，例如其权重、模（modulus）以及在不同模群下的性质。我们将引入Petersson内积的概念，这是一个在模形式空间上定义的内积，它允许我们将模形式视为一个有限维向量空间中的元素，并研究这些元素的正交性、基以及投影等性质。 随着对基本模形式理解的加深，本书将进一步扩展到更一般的模形式。我们将介绍主模群（principal congruence subgroups）及其相关的模形式，这些模形式在理解模曲线（modular curves）的几何结构方面起着关键作用。本书将深入探讨模曲线的代数几何性质，例如其亏格（genus）、点以及它们的算术性质。这一部分将是连接数论和代数几何的关键桥梁，展示模形式如何在研究丢番图方程（Diophantine equations）和数论函数（arithmetic functions）等问题中发挥重要作用。 本书还将详细介绍 q-级数（q-series）在模形式理论中的核心地位。模形式的傅里叶系数往往与著名的 q-级数，如 Jacobi theta 函数和 q-二项式系数（q-binomial coefficients）紧密相关。我们将探索这些 q-级数与模形式之间的深刻联系，以及它们如何在组合学、统计力学和量子场论等领域中出现。 除了传统的模形式，本书还将介绍一些相关的类： 椭圆曲线（Elliptic Curves）与模形式的联系： 这是本书的另一个亮点。我们将详细阐述 Taniyama-Shimura-Weil 猜想（现已证明为定理），该猜想指出每个椭圆曲线都与一个模形式相关联。这个猜想的证明是现代数论最伟大的成就之一，它极大地推动了数论和代数几何的发展。本书将引导读者理解证明背后的主要思想和技术，展示模形式如何在研究椭圆曲线的性质，特别是其 L-函数（L-functions）和秩（rank）方面发挥核心作用。 希格斯模形式（Siegel Modular Forms）： 为了将讨论扩展到更高维度的对称空间，本书将介绍希格斯模形式。这些是定义在复域（complex domain）上半空间（upper half-space）上的函数，它们是模形式在多变量情况下的推广。我们将探讨希格斯模形式的定义、性质以及它们在数论、表示论和代数几何中的应用，例如在研究二次型（quadratic forms）和辛几何（symplectic geometry）方面。 自守形式（Automorphic Forms）： 模形式可以被看作是自守形式的一个特例。本书将提供一个关于自守形式的引人入胜的介绍，涵盖其基本概念、表示论的观点以及 Langlands 纲领（Langlands Program）的宏伟愿景。我们将解释自守形式如何成为连接数论、表示论和调和分析（harmonic analysis）的通用语言，以及模形式在这一更广泛框架中的位置。 为了使本书内容更具实践性和可操作性，我们将包含大量的例子和计算。从计算具体的模形式的傅里叶系数，到验证模曲线的性质，再到构造椭圆曲线与模形式之间的对应关系，这些例子将帮助读者巩固理论知识，并培养解决实际数学问题的能力。 本书的写作风格将力求清晰、严谨且易于理解，即使对于那些在某些领域尚未有深厚基础的读者，也能循序渐进地掌握复杂的概念。我们相信，《模形式与函数》将为数学专业学生、研究人员以及对现代数学前沿感兴趣的读者提供一个宝贵的资源，带领他们探索模形式世界中丰富的结构和深刻的洞见。 本书的每一章都经过精心设计，以确保内容的逻辑性和连贯性。在介绍一个新概念时，我们会首先给出其直观的解释，然后是严格的数学定义，最后通过具体的例子来加深理解。我们还将尽可能地指出相关研究的历史背景和发展脉络，让读者了解模形式理论的演进过程。 例如，在讨论模群时，我们不会仅仅给出 $SL_2(mathbb{Z})$ 的定义，而是会从它在复上半平面上的作用开始，解释它如何将具有特定性质的函数“保持不变”，从而引出模形式的概念。对于 Petersson 内积，我们会从它在模形式空间上的定义出发，解释其如何赋予这个空间一个几何结构，并讨论其在模形式分解和正交基的构造中的作用。 在代数几何的部分，我们将详细介绍模曲线 $X_1(N)$ 的构造，并分析其上的点和自同构群。我们还会讨论 $j$-函数（j-function）的性质，它作为模函数（modular function）的一个典型代表，在模形式理论中扮演着举足轻重的角色。 关于椭圆曲线与模形式的联系，我们将深入探讨 Birch and Swinnerton-Dyer 猜想（BSD 猜想）与模形式 L-函数之间的关系，并简要介绍 Wiles 工作如何最终证明了 Taniyama-Shimura-Weil 猜想，以及该猜想对费马大定理（Fermat's Last Theorem）的解决所产生的深远影响。 对于希格斯模形式，我们会关注其在多变量复分析中的定义，以及与辛群（symplectic group）的作用。我们会介绍其傅里叶展开，以及在数论中研究二次型和代数簇（algebraic varieties）等问题中的应用。 最后，在关于自守形式的部分，我们将介绍其更一般化的定义，以及与李群（Lie groups）和表示论的联系。Langlands 纲领的目标是建立数论对象（如伽罗瓦表示，Galois representations）与分析对象（如自守形式）之间的深刻联系，本书将为读者勾勒出这一宏伟蓝图的轮廓，并指出模形式在其中扮演的关键角色。 通过本书的学习，读者将不仅能够掌握模形式的基本理论和方法，更能深刻理解模形式在现代数学研究中的核心地位和广泛影响力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。

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