An Introduction to Riemannian Geometry and the Tensor Calculus pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge

作者:Weatherburn, C.E.

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 41.80

装帧:

isbn号码:9780521091886

丛书系列:

图书标签:

• Riemannian Geometry
• Tensor Calculus
• Differential Geometry
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Geometry
• Calculus
• Topology
• Manifolds
• Advanced Mathematics

黎曼几何与张量微积分导论 一个关于时空曲率、度量张量与微分几何的探索之旅 本书旨在为读者深入浅出地介绍黎曼几何与张量微积分的精彩世界。这门学科是现代物理学（尤其是广义相对论）和数学（如微分几何、拓扑学）的基石，它为我们理解宇宙的本质、时空的几何结构提供了强有力的工具。本书将带领读者从最基础的概念出发，逐步构建起理解这些深奥理论所需的数学框架。 第一部分：张量微积分的基石 在深入探讨黎曼几何之前，理解张量微积分的语言至关重要。张量是线性代数中向量和矩阵概念的自然推广，它们是描述物理量在不同参考系下如何变换的通用工具。 向量空间与基变换： 我们将从向量空间的基本概念开始，探讨线性无关、基的概念，以及坐标基如何随着参考系的旋转、平移而发生变换。这将帮助读者建立起对“向量”在不同视角下的直观认识。 协变向量、逆变向量与张量： 引入协变（contravariant）和逆变（covariant）向量的概念，解释它们与普通向量的区别，以及它们在坐标变换下的行为模式。在此基础上，我们将定义张量，包括张量积、张量缩并等基本运算。特别地，我们将重点讲解二阶张量，如度量张量，它们在描述几何性质中扮演着核心角色。 指标符号与求和约定： 学习爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention），这是一种简洁的数学记法，能极大地简化张量方程的书写。我们将详细介绍上指标（contravariant index）和下指标（covariant index）的意义，以及如何通过张量缩并消去指标。 张量代数与基本运算： 深入研究张量的加法、减法、标量乘法、张量积、张量缩并等运算。我们将通过具体的例子，如对称张量、反对称张量，来展示这些运算的物理意义和几何解释。 张量的导数： 介绍张量在空间中的变化率，这需要借助“协变导数”的概念。协变导数考虑了基向量在空间中的变化，是描述曲面上曲线变化、向量场散度和旋度等概念的关键。我们将区分普通偏导数和协变导数，并阐明它们的联系。 第二部分：微分几何的几何直觉 本部分将带领读者进入微分几何的世界，重点关注黎曼流形（Riemannian manifold）的几何性质。流形是光滑的“空间”，其局部看起来像欧几里得空间，但整体上可以具有复杂的形状和曲率。 流形的概念： 从曲线和曲面出发，逐步推广到高维流形。介绍流形上的坐标图、坐标变换、光滑函数、切空间等概念。这将为读者提供一个在抽象的几何空间中进行计算和推理的框架。 度量张量（Metric Tensor）： 度量张量是黎曼几何的核心。它定义了流形上的内积，从而能够测量距离、角度和体积。我们将详细探讨度量张量的性质，如正定性、对称性，以及它如何决定流形上的几何结构。 距离与测地线（Geodesics）： 利用度量张量，我们可以定义流形上两点之间的距离。我们将介绍测地线的概念，它们是在曲面上“最短”的路径，类似于欧几里得空间中的直线。测地线是理解流形几何性质的重要工具。 曲率（Curvature）： 曲率是描述流形弯曲程度的度量。我们将从曲面上曲率的直观例子出发，引入黎曼曲率张量（Riemann curvature tensor）。这个张量包含了流形在高维空间中的所有曲率信息。 里奇曲率（Ricci Curvature）与斯卡拉曲率（Scalar Curvature）： 介绍里奇曲率张量和斯卡拉曲率，它们是从黎曼曲率张量缩并得到的重要数量。里奇曲率在广义相对论中与能量动量张量直接关联，是描述时空弯曲如何产生引力的关键。 法向向量、法向曲率与主曲率： 对于嵌入在更高维空间中的曲面，我们将介绍法向向量、法向曲率等概念，帮助读者建立曲率的几何直观。 第三部分：黎曼几何与张量微积分的交汇 本部分将整合前两部分的内容，展示黎曼几何与张量微积分如何协同工作，解决实际问题。 联络（Connection）与协变导数（Covariant Derivative）： 协变导数是描述向量场在流形上如何“平行移动”的工具。它需要一个“联络”来定义。在黎曼几何中，我们通常使用 Levi-Civita 联络，它是由度量张量唯一确定的。我们将深入理解协变导数的性质，以及它在定义曲率、测地线等概念中的核心作用。 平行移动（Parallel Transport）： 探索平行移动的概念，即沿着流形上的曲线，在保持方向“不变”的情况下移动向量。在曲面上，平行移动的向量最终会发生旋转，这种现象直接与曲率相关。 曲率张量的具体计算： 展示如何利用度量张量和 Levi-Civita 联络，计算黎曼曲率张量、里奇曲率张量和斯卡拉曲率。我们将提供一些具体的流形（如球面、环面）的计算示例，帮助读者掌握计算技巧。 张量方程在黎曼几何中的应用： 学习如何书写和处理包含张量的微分方程，例如描述测地线的测地线方程。 广义相对论的初步展望： 简要介绍黎曼几何和张量微积分在广义相对论中的应用。爱因斯坦场方程本质上是一个描述时空曲率（由度量张量决定）与物质能量分布（由能量动量张量描述）关系的张量方程。本书将为理解这些方程奠定必要的数学基础。 本书的特点： 循序渐进： 从最基本的概念入手，逐步深入，确保读者能够扎实地掌握每一个环节。 理论与实践结合： 在讲解抽象概念的同时，提供大量的例子和计算，帮助读者建立直观的几何理解。 强调物理背景： 穿插介绍黎曼几何和张量微积分在物理学中的重要应用，激发读者的学习兴趣。 清晰的数学表述： 严谨的数学定义和证明，同时注重对概念的清晰解释，避免生硬的符号堆砌。 通过学习本书，读者将能够： 熟练运用张量代数和微积分的工具。 深刻理解流形和度量张量的几何意义。 掌握曲率的概念及其计算方法。 为进一步学习广义相对论、微分几何等高级课题打下坚实的基础。 本书适合对数学和物理学有浓厚兴趣的本科生、研究生，以及希望系统学习黎曼几何与张量微积分的科研人员。踏上这段探索之旅，你将打开一扇通往更深层次理解宇宙奥秘的大门。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆