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出版者:

作者:Andrilli, Stephen Francis/ Hecker, David

出品人:

页数:644

译者:

出版时间:2003-10

价格:$ 134.47

装帧:

isbn号码:9780120586219

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 初等线性代数
• 数学
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• 线性方程组
• 数学分析

好的，这里为您提供一份关于《高等代数基础》（假设这是您希望我描述的一本与《Elementary Linear Algebra》内容不同、但结构相似的替代图书）的详细图书简介，这份简介将聚焦于该书的独特视角、内容组织和教学方法，以满足您不希望内容与原书重叠且需要详细、自然的要求。 --- 《高等代数基础：从结构到应用》 本书简介 《高等代数基础：从结构到应用》是一部旨在为数学、物理、工程学以及计算机科学等领域的学生提供坚实代数基础的教材。本书突破了传统教材的窠臼，不再将线性代数视为一个孤立的计算工具集，而是将其视为研究向量空间结构、线性变换的内在性质以及代数系统间的同构性的强大框架。我们的核心理念在于：理解“为什么”比单纯掌握“如何做”更为重要。 全书共分为七个主要部分，逻辑清晰，层层递进，确保读者在掌握严格的理论推导能力的同时，也能深刻领悟代数思想在现代科学中的应用广度。 --- 第一部分：基础与数域的拓展 本部分专注于构建必要的预备知识和抽象思维的基石。我们首先对集合论、映射和关系进行严谨的回顾，但重点立即转移到数域的代数结构上。 不同于仅停留在实数域和复数域，本书详细探讨了有限域（如 $mathbb{F}_p$）和有理数域的扩域的构造。我们引入抽象向量空间的概念，将其置于更一般的模（Module）的背景下进行初步讨论，从而为后续对更高维结构的研究奠定基础。核心内容包括：基、维数的严格定义、线性组合的唯一性表示，并强调了坐标系选择的任意性与结构不变性之间的关系。 第二部分：线性变换与代数同态 这是全书的理论核心。我们不再将线性变换视为矩阵乘法，而是将其定义为保持向量空间结构的同态映射。本章详尽分析了核（Kernel）和像（Image）的性质，并利用同构定理（Isomorphism Theorems）展示了不同视角下向量空间结构之间的联系。 关键章节深入探讨了线性泛函，并引入了对偶空间（Dual Space）。我们细致分析了二次型与双线性形式的联系，并以拉格朗日插值定理的代数解释作为应用实例，展示了如何利用对偶空间来“探测”原空间的信息。 第三部分：矩阵的结构与相似性 在这一部分，矩阵被重新定义为“线性变换在特定基下的表示”，强调了矩阵表示的依赖性。我们重点关注如何选择“最好的”基，使得矩阵表示能够最清晰地揭示变换的本质。 本书引入了相似性理论的深入探讨，包括初等因子理论的经典视角，以及如何利用有理标准型（Rational Canonical Form）来避免特征值的复杂计算，实现矩阵表示的唯一性。特征值的讨论被置于特征多项式的根与极小多项式（Minimal Polynomial）的联系这一更广阔的代数框架下。 第四部分：内积空间与几何化 本部分将代数结构与几何直觉相结合，主要在内积空间（包括复数域上的厄米特空间）上展开。 我们详细阐述了施密特正交化过程的代数意义——它是一种将任意基转化为“最优”正交基的算法——并将其推广到无限维空间，为傅里叶分析和希尔伯特空间的初步概念做铺垫。关于正交投影的讨论，本书着重于求解最小二乘问题的几何和代数解释，将其置于射影几何的范畴内。 第五部分：谱理论与标准分解 这是对线性变换几何性质最深刻的探究。我们聚焦于谱（Spectrum）的代数结构，即特征值和特征向量。本书引入了谱定理，并区分了实对称矩阵、一般矩阵以及正规矩阵的谱性质。 针对非对称矩阵，我们详细阐述了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的构造过程，强调其在处理线性常微分方程组（LODE）中的不可替代性。我们通过引入不动点定理和凯莱-哈密顿定理的构造性证明，展示了代数结构如何直接导向强大的分析结论。 第六部分：线性代数在高级结构中的体现 本部分是本书应用和连接其他数学分支的桥梁。 张量代数（Tensor Algebra）的介绍被置于多线性映射的背景下，而不是简单的分量计算。我们定义了张量积，并解释了其作为两个向量空间“乘积”的通用性。此外，本书探讨了线性群（General Linear Group）的结构，包括其子群（如特殊线性群 $SL(n)$ 和正交群 $O(n)$）的拓扑和代数性质，为后续学习群论打下基础。 第七部分：计算方法与代数算法 虽然本书侧重理论，但对实用性也给予充分重视。本部分探讨了矩阵分解背后的代数原理。我们详细分析了LU分解、QR分解和奇异值分解（SVD）的代数构造，重点在于理解这些分解如何揭示矩阵的秩、近似最佳秩和空间的正交分解。 特别是SVD，被视为对任意线性变换进行“拉伸-旋转-拉伸”分解的几何和代数签名，它完美地连接了内积空间理论和矩阵分析。 --- 教学特色与目标 1. 强调结构不变性： 始终围绕“什么量在坐标变换下保持不变”这一核心问题展开，培养读者的抽象思维。 2. 理论的严谨性： 所有定理的证明都力求完整和精确，但配备了大量的直观几何插图和实例解析。 3. 计算与理论的平衡： 算法的引入是为了验证理论，而非取代理论。例如，高斯消元法被置于“行空间和列空间关系”的视角下讨论。 目标读者： 物理学、数学、理论计算机科学及电子工程等专业本科高年级或初级研究生。 《高等代数基础：从结构到应用》承诺引导读者穿越代数的迷宫，最终掌握的不仅仅是一套解题技巧，而是一种看待世界中线性关系和结构对称性的全新、深刻的视角。

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这本书的语言风格出乎我的意料，它没有那种传统教科书的刻板和冷漠，反而带着一种引导者般的耐心和鼓励。作者在介绍新的定理和引理时，总是先铺垫好必要的背景知识，用一种非常平易近人的口吻解释“为什么我们需要这个工具”，而不是直接抛出公式让人死记硬背。这种教学思路非常尊重读者的认知过程，仿佛一位经验丰富的导师在你身边，一步步引导你跨越理解上的障碍。特别是当涉及到一些关键的证明步骤时，作者会特意停下来，用加粗的文字强调“注意这里是关键的逻辑转换”，这种细微之处的关怀，让我在攻克那些复杂的证明时，内心感到踏实许多。它不仅仅是一本知识的汇编，更像是一部精心打磨的教学范本，让人在学习的过程中感受到知识的魅力而非枯燥的符号运算。

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我花了大量时间研习了其中关于向量空间结构的部分，发现作者在阐述理论概念时，总能巧妙地穿插一些非常贴近实际应用的例子，这极大地帮助我理解那些抽象的数学结构。例如，在介绍线性变换的核与像时，书中不仅仅给出了严格的定义，还用计算机图形学中坐标变换的例子进行了生动的说明，使得原本晦涩的知识点瞬间变得具象化。更值得称赞的是，书中的习题设计非常有层次感，从最基础的计算练习到需要综合运用多个定理的证明题，难度梯度设计得非常平滑合理。我发现即便是那些看似简单的练习题，其背后也蕴含着对核心概念的精确考察，迫使读者不能仅仅停留在表面理解。完成这些习题后，我感觉对线性代数这门学科的理解深度有了质的飞跃，不再是零散知识点的堆砌，而是形成了一个有机的知识体系。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那种沉稳又不失现代感的封面风格，让我对内容充满了期待。拿到手上就能感受到纸张的质地，厚实且触感舒适，即便是长时间阅读，眼睛的疲劳感也相对较低。我尤其欣赏它在排版上的用心，字体选择恰到好处，行距和字间距的拿捏非常到位，使得复杂的数学符号和公式也能清晰易读，这对于学习代数这样需要高度精确性的学科来说，无疑是一个巨大的加分项。书本的侧边留白也做了很好的处理，方便读者在阅读时随时做笔记和批注，这对于我这种喜欢在书本上留下学习痕迹的人来说非常实用。整体而言，这本书在视觉和触觉上都提供了一种高质量的阅读体验，让人愿意沉下心来，与书中的知识进行深入的互动，而不是仅仅应付考试的工具书。书的装订也很牢固，即便是频繁翻阅查找特定章节，也未发现有松动的迹象，这保证了书籍的耐用性，可以作为长期的参考资料收藏。

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这本书最大的优点，在我看来，是它在知识的组织结构上所体现出的高度逻辑性。章节之间的过渡极其自然，很少出现突然跳跃性的概念引入，读者可以沿着作者设定的路径，稳步构建起整个线性代数的知识框架。每一个新的章节都是建立在前一章节的坚实基础之上，使得学习的连贯性极强，不会让人产生“学了后面忘了前面”的困扰。例如，行列式性质的引入，就是为了更便捷地判断线性方程组解的存在性和唯一性，这种目标驱动式的教学设计，让学习过程充满了目的性。翻阅目录时就能感受到这种清晰的层级结构，从基础的线性方程组到复杂的特征值理论，每一步都铺垫得井井有条，体现了作者深厚的数学教育功底和严谨的治学态度。

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深入阅读后，我开始关注这本书在理论深度上的广度与精度。对于矩阵分解，无论是特征值分解还是奇异值分解（SVD），作者都给出了非常详尽的推导过程，并且清晰地阐述了这些分解在数据科学和工程领域中的实际意义，而非仅仅停留在代数运算层面。这种理论与实践紧密结合的处理方式，对于我未来希望从事计算领域的工作来说，是至关重要的。此外，书中对正交性和最小二乘法的讨论非常深入，不仅涵盖了理论基础，还展示了如何在非精确数据环境下利用这些工具进行最优估计，这远超出了我对一本基础代数教材的期望。可以说，它为后续学习更高级的数值分析或优化理论打下了极其坚实的基础，知识的衔接非常自然流畅。

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