Differential Equations with Mathematica, Third Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Martha L. Abell

出品人:

页数:876

译者:

出版时间:2004-2-16

价格:USD 94.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780120415625

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• Mathematica
• 数学
• 高等数学
• 数值分析
• 科学计算
• 工程数学
• 数学建模
• 偏微分方程
• 常微分方程

探索高等数学的精妙与应用：一部面向现代科学计算的经典教材 《微积分的深度解析与计算实践》 作者团队： [此处可以想象一组资深的数学家和计算科学专家] 出版社： [此处可以想象一家享有盛誉的学术出版社] 页数： 约 1200 页（精装） 定价： [此处可以设定一个符合学术专著定位的价格] --- 内容概述：超越基础，直抵理论前沿与工程实践的桥梁 本书旨在为学习高等数学（特指微积分及其在分析学、应用数学中的延伸）的学生和研究人员提供一个全面、深入且高度计算化的学习路径。我们摒弃了传统教材中侧重于繁琐笔算技巧的弊端，转而聚焦于概念的严格构建、理论的内在联系以及现代计算工具在解决复杂问题中的威力。本书覆盖了从经典微积分到现代分析工具箱中的核心知识点，特别强调了如何利用强大的符号运算和数值计算能力来验证理论、探索模型和解决实际工程挑战。 全书结构分为四个宏大的部分，层层递进，确保读者不仅理解“如何计算”，更能洞察“为何如此计算”。 --- 第一部分：微积分的坚实基础与几何直觉（The Bedrock of Calculus） 本部分重新审视了单变量和多变量微积分的全部核心内容，但其切入点是极限的严谨定义与函数空间的拓扑直觉。 第一章：极限、连续性与可微性的新视角 我们从 $epsilon-delta$ 语言出发，建立起严谨的分析基础。然而，重点迅速转向拓扑学的初步概念，如开集、闭集和紧集在实数线上的意义，为后续的高维推广打下基础。我们引入了更现代的函数逼近概念，如均匀收敛的直观与形式，并展示了这些概念如何影响导数的实际应用（例如，在优化问题中对解的稳定性分析）。 第二章：导数的深层含义与应用几何 本章深入探讨了导数作为最佳线性近似的本质。除了传统的极值点、拐点分析外，本章花费大量篇幅讨论了微分形式（Differential Forms）的初步介绍，作为理解多变量函数梯度、散度、旋度的统一语言。在应用部分，我们重点讲解了非线性系统的分析，使用泰勒展开的矩阵表示法来预测局部行为，并用几何直觉阐释了雅可比行列式在坐标变换中的意义。 第三章：积分学：从黎曼和到勒贝格思想的萌芽 传统的黎曼积分被系统化地介绍，但我们的重点放在了定积分的物理意义——即作为某种“累积量”的通用模型。本章后半段是本书的亮点之一：我们引入了积分的广义概念，探讨了反常积分的收敛判据（如狄利克雷判别法），并简要引入了测度论（Measure Theory）的思想，使得读者对勒贝格积分的优越性有一个直观的理解，尽管不深入其复杂细节。 --- 第二部分：多变量分析与矢量微积分（Multivariable Analysis and Vector Calculus） 本部分是本书的核心，它将微积分的工具推广到高维空间，是连接纯数学与应用科学的关键。 第四章：偏导数、梯度与方向导数：高维的运动分析 本章详细阐述了偏导数的计算，并着重于梯度向量场的物理意义。我们通过大量实例（如热传导、电势分布）说明梯度场是如何指向函数增长最快的方向。引入了Hessian 矩阵，并详细讨论了其在二阶极值判断中的作用，包括特征值分析在识别鞍点和局部曲率上的重要性。 第五章：多元函数的优化与拉格朗日乘子法 本章系统地解决了带约束的优化问题。我们不仅推导了经典的拉格朗日乘子法，还探讨了其在经济学资源分配和工程结构设计中的应用。对于不可微或非凸问题，我们介绍了KKT 条件的基本思想，作为现代优化理论的基石。 第六章：矢量微积分的统一框架：格林、斯托克斯与高斯定理 本章是矢量微积分的集大成者。我们不仅仅是陈述和应用三大基本定理，而是从积分的维度一致性出发，统一推导它们。我们强调了闭合区域的边界积分与区域内部积分之间的深刻关系，并深入分析了保守场（Conservative Fields）的性质及其与势函数的联系，这对于理解保守力在物理学中的作用至关重要。 --- 第三部分：无穷级数、傅里叶分析与逼近理论（Series, Transforms, and Approximations） 本部分关注函数的“分解”与“重建”，这是信号处理、偏微分方程求解的数学核心。 第七章：序列与级数：收敛性的严格检验 除了基本收敛性测试（比值检验、根值检验）外，本章聚焦于一致收敛性对函数空间的影响。我们详细讨论了幂级数（Power Series）的性质，特别是其收敛半径和端点行为。 第八章：傅里叶级数与周期函数的分解 本章以傅里叶级数为核心，阐释了任何适度光滑的周期函数都可以被分解为正弦和余弦波的叠加。我们详细讨论了吉布斯现象（Gibbs Phenomenon），并通过几何角度解释了傅里叶级数在不连续点附近的振荡特性。同时，我们引入了傅里叶积分的概念，作为处理非周期函数的桥梁。 第九章：泰勒级数与函数逼近 本章超越了标准泰勒多项式，探讨了最佳多项式逼近的概念，引入了切比雪夫多项式的思想，用以说明如何在给定区间上实现最小的最大误差。这为数值方法中插值和拟合提供了理论支撑。 --- 第四部分：微分方程导论与数值思维（Introduction to Differential Equations and Numerical Thinking） 本部分将分析工具应用于动态系统的描述，并强调了在解析解不可得时，数值方法的必要性。 第十章：常微分方程（ODE）的解法与定性分析 本章系统回顾了高阶线性常微分方程的解析解法，包括常数系数、变系数方程（如欧拉方程）。然而，重点放在了定性分析上：我们使用相平面（Phase Plane）分析来研究二阶非线性系统的稳定性、极限环和分岔行为，即使无法求出解析表达式，也能描绘出系统的长期演化路径。 第十一章：偏微分方程（PDE）的经典模型 我们聚焦于三个最核心的线性偏微分方程：热传导方程、波动方程和拉普拉斯方程。我们通过分离变量法求解这些方程在简单几何域中的初边值问题，并简要介绍了傅里叶变换在求解无界区域问题中的威力。 第十二章：数值方法的理念与验证 认识到大多数真实世界的方程缺乏初等解析解，本章引入了数值思维。我们详细分析了欧拉法和龙格-库塔法的原理，并不仅仅停留在公式推导上，而是着重讨论截断误差、局部误差与全局误差的积累，以及如何通过改变步长来控制解的精度。这部分强调了数值解的“有效性”和“稳定性”概念。 --- 本书的独特优势 1. 计算驱动的教学法： 每一章都穿插了“计算洞察”（Computational Insights）部分，引导读者思考如何利用强大的计算引擎（而非仅限于笔算）来探索复杂函数的性质、验证定理的边界条件或可视化高维几何结构。 2. 理论与应用的无缝衔接： 理论的引入始终基于一个实际问题或一个深刻的几何直觉，避免了纯粹的形式主义。从流体力学到优化设计，数学概念被视为解决实际困难的工具。 3. 面向未来的视角： 本书在经典微积分的基础上，自然地过渡到了现代分析工具（如形式微分、测度论的初步概念），为读者后续学习泛函分析、拓扑学或高级数值分析打下了坚实且富有洞察力的基础。 目标读者： 本科高年级学生、研究生，以及需要系统性复习高等数学并掌握现代计算方法的工程、物理、经济学等领域的专业人士。本书适合作为高级微积分、矢量分析或数学物理基础课程的教材或参考书。

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这本书的叙事风格非常严谨且富有逻辑性，它不像某些当代教材那样过度追求“轻量化”或“娱乐化”，而是坚定地站在数学的严密性基础之上。作者在引入新概念时，会清晰地界定其适用范围和前提假设，这对于未来需要将理论应用于严苛科研环境的读者来说是极其宝贵的品质。我尤其欣赏它在处理定性分析与定量求解之间的平衡艺术。它不会简单地给出公式和求解步骤，而是花费时间去讨论解的存在性、唯一性以及稳定性——这些才是真正决定一个数学模型是否“有用”的关键所在。这种对理论深度的坚守，使得这本书的价值远超出一门入门课程的范畴，更像是一本可以长期参考的工具书。每当我在处理一个实际问题时，都会发现书中的某个章节能提供恰到公允的理论支撑，帮助我做出更审慎的判断，而不是盲目地套用数值方法。

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阅读体验上，这本书的排版和图示设计也达到了专业级的水平。很多数学书籍的通病就是图文分离或者图表模糊不清，但这本却做得非常出色。每一张插图、每一个函数图像的绘制都极为精准，它们不是那种为画而画的点缀，而是作为解释复杂数学关系的视觉辅助工具，其重要性不亚于文字本身。特别是在讲解高维系统或者相平面分析时，那些三维甚至更高维度的图形，作者似乎总能找到最佳的视角来呈现关键的动态行为，这比纯粹依赖符号演算要直观得多。此外，书中的注释和边栏信息也非常丰富，提供了许多深入研究的方向和历史背景知识，这让阅读过程不再局限于课本的框架内，反而成了一种知识的延伸和拓宽。我经常会因为一个不经意的脚注而暂停阅读，去查阅那些更深层次的理论基础，这极大地丰富了我对整个学科体系的认知结构，而不是仅仅停留在解题技巧层面。

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这本书真是本让人耳目一新的教材，它不仅仅是枯燥的数学公式堆砌，更像是一位经验丰富的老师，用非常直观和现代的方式，带着读者一步步深入微分方程的世界。尤其是它对理论概念的阐述，总能找到最恰当的比喻和实际应用场景，让那些抽象的数学语言变得触手可及。我记得有一次我在处理一个复杂的物理模型时遇到了瓶颈，正当我感到迷茫的时候，书中关于特定类型方程解的讨论，那种清晰的逻辑推导和每一步的细致解释，简直是茅塞顿开。它并没有急于展示最终的复杂解法，而是花费大量篇幅去构建理解的基石，这对于初学者来说至关重要，也让有一定基础的人能更扎实地回顾和巩固。作者在选择例题上也极为考究，那些选材既有足够的挑战性，又紧密联系工程和科学前沿，读起来一点也不觉得乏味，反而充满了探索的乐趣。这种由浅入深、层层递进的教学设计，极大地提升了我的学习效率和对这门学科的整体把握能力。

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老实说，这本书的份量确实不轻，它要求读者付出相当的专注力和时间。但这种“厚重感”恰恰是其价值的体现。它不是那种读完一遍就能“掌握”的速成手册，而更像是一套需要反复研磨的工具箱。我特别喜欢它在章节末尾设置的那些开放式讨论题，这些题目往往不直接要求计算某个数值，而是引导读者去思考不同边界条件对系统长期行为的影响，或者比较两种不同建模方法的优劣。这种引导性的提问方式，培养的不是解题机器，而是具有独立思考和批判性分析能力的数学应用者。它迫使你走出舒适区，真正去理解数学语言背后的物理或工程含义，而不是仅仅停留在符号操作的层面，对于希望将数学作为解决实际问题核心工具的人来说，这是一笔非常值得的投资。

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这本书在内容广度和深度上的取舍拿捏得非常到位，它成功地在基础理论的完整性和对前沿技术的覆盖之间架起了一座坚固的桥梁。我惊喜地发现，它并没有仅仅停留在经典的常微分方程部分，而是花了相当大的篇幅去探讨偏微分方程（PDEs）的引言性内容，并且非常巧妙地将一些现代的数值逼近思想融入了对解析解的讨论之中。这种前瞻性的内容设置，使得读者在学完这本书后，即便没有立即接触专门的数值分析课程，也对如何处理那些没有初等解析解的复杂系统有了一个基本的概念框架。这种布局极大地拓宽了读者的视野，让人意识到微分方程并非一个封闭的学科，而是与计算科学、物理学、生物学等领域深度交织的前沿阵地，激发了继续深入探索的欲望。

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