Carleman's Formulas in Complex Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:L.A. Aizenberg

出品人:

页数:319

译者:

出版时间:1993-01-31

价格:USD 139.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792321217

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 复分析
• Carleman公式
• 积分表示
• 特殊函数
• 渐近分析
• 复变函数
• 数学分析
• 数值分析
• 调和分析
• 函数论

复变函数中的柯尔曼公式：深入探究与应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的复变函数理论框架，重点探讨了在这一领域中具有里程碑意义的柯尔曼公式（Carleman's Formulas）的数学结构、推导过程及其在多个分析分支中的广泛应用。全书结构严谨，论证详实，力求在理论深度与清晰度之间取得完美平衡，适合高年级本科生、研究生以及从事相关领域研究的数学家和物理学家研读。 第一部分：复变函数基础与调和分析的基石 在深入探讨柯尔曼公式之前，本书首先为读者奠定了坚实的复变函数理论基础。 第一章：复变量函数与柯西-黎曼方程 本章系统回顾了复数域的拓扑结构，如开集、闭集、紧集以及连通性。随后，详细阐述了复变函数的全纯性（Holomorphicity）概念，并严格推导了著名的柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）偏微分方程，明确了全纯函数光滑性的重要特征。我们探讨了全纯函数的幂级数展开、一致收敛性，并介绍了复变函数在解析函数理论中的核心地位。 第二章：柯西积分理论与留数计算 本章聚焦于复变函数积分学的两大支柱：柯西积分定理和柯西积分公式。通过引入柯西积分公式，我们确立了函数在域内性质与边界性质之间的深刻联系。紧接着，本书详细阐述了留数（Residue）的概念，包括如何识别奇点类型（可去奇点、极点、本性奇点）以及计算不同类型奇点的留数。最后，我们展示了如何利用留数定理对实积分进行高效计算，这是后续高级主题应用的基础。 第三章：调和函数与位势论入门 调和函数是复分析与偏微分方程交叉领域的核心。本章引入了二维拉普拉斯算子，并定义了调和函数。我们论证了调和函数具有无限次可微性，并介绍了平均值性质（Mean Value Property）。随后，本书展示了全纯函数的实部和虚部必然是调和函数，并探讨了泊松核（Poisson Kernel）在单位圆盘上对调和函数进行延拓的性质。调和函数的势论基础，特别是其与复势（Complex Potentials）的联系，为理解柯尔曼公式的物理背景提供了必要的工具。 第二部分：柯尔曼公式的精确表述与推导 本部分是全书的核心，致力于对柯尔曼公式进行详尽的理论剖析。 第四章：插值问题与卡尔曼的洞察 本章首先回顾了在实分析中，如何通过有限个点的信息来重构一个函数（如多项式插值）。随后，我们将视角转向复平面，讨论了在特定条件下，如何利用函数在可数点集上的取值来唯一确定一个全纯函数。卡尔曼的开创性工作正是在于解决了在整个复平面上，哪些函数可以被其在一个离散点集上的值完全确定。 第五章：柯尔曼公式的构造性证明 本章提供了柯尔曼公式的详细、自洽的构造性证明。我们将公式分解为若干关键的“构建块”，展示了如何利用无穷乘积和函数逼近的技巧，构建出满足特定零点和特定函数值的全纯函数。证明过程强调了收敛性和唯一性，特别是如何处理无穷点集上的信息传递问题。读者将理解该公式是如何在复平面上架起“离散信息”与“整体函数结构”之间的桥梁。 第六章：公式的推广与变体 柯尔曼公式并非单一的等式，它存在多种形式，取决于所施加的约束条件。本章探讨了对原始公式的若干重要推广： 1. 具有特定增长率的函数类中的柯尔曼公式： 考虑在特定指数阶（Order of Growth）内，函数被其零点完全确定的条件。 2. 边界值问题与柯尔曼公式： 讨论在有界域边界上定义的函数值如何通过柯尔曼型公式被延拓到内部。 3. 与波恩-雅科比公式的联系： 探讨柯尔曼公式在传播问题和反问题中的潜在类比。 第三部分：应用领域：从逼近到几何函数论 柯尔曼公式的威力在于其跨学科的应用能力。本部分将展示其在理论数学和应用领域中的重要作用。 第七章：函数逼近论中的应用 在本章中，我们探讨了柯尔曼公式在函数逼近理论中的直接应用。它提供了一种构造具有特定零点和局部性质的“基函数”的方法。具体而言，我们分析了如何利用该公式来构建在特定函数空间（如Hardy空间或Bergman空间）中稠密的函数族，从而为更复杂的函数逼近问题提供了基础工具。 第八章：几何函数论与单值化 在几何函数论中，一个核心问题是如何将复杂的黎曼曲面映射到标准域（如单位圆盘）上。柯尔曼公式在证明某些单值化定理时发挥了关键作用，尤其是在处理具有复杂奇异结构（如无限多个边界点或特定类型的奇点）的区域时。我们详细展示了如何通过构建具有特定“穿孔”结构的函数，来逐步实现从复杂区域到简单区域的双全纯映射。 第九章：复变函数在物理学中的映射 本章将理论推向应用。在电磁学和流体力学中，许多问题最终归结为求解满足特定边界条件的拉普拉斯方程，这通常依赖于解析函数的表示。我们展示了柯尔曼公式如何用于构建具有特定源项分布（对应于函数零点）的势函数，特别是在处理无限介质中的边界值问题时，其公式的简洁性和完备性优势得以凸显。 第十章：展望：无穷维空间中的泛函与公式 作为总结，本章探讨了将柯尔曼公式的理念推广到无限维空间中函数空间的可能性。这涉及泛函分析和算子理论的前沿交叉点，例如在无限维希尔伯特空间中，寻找能够完全确定某个算子或泛函的“离散信息集合”的类似物。本章旨在激发读者对该经典公式未来研究方向的思考。 全书配有大量精选的习题，旨在巩固读者的理论理解，并鼓励他们将公式应用于具体问题的求解。通过对柯尔曼公式的系统学习，读者将能更深刻地理解复变函数结构之美及其在现代数学和物理学中的不朽价值。

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这本关于复分析的著作简直是为那些渴望深入理解数学核心的人量身定做的。作者在讲解时，那种对细节的执着和对概念清晰度的追求，让人印象深刻。我尤其欣赏它在引入新概念时所采用的循序渐进的方式，哪怕是那些初看起来相当晦涩的定理，也能被巧妙地分解成易于理解的小块。书中对各种例题的选择也十分精妙，它们不仅仅是简单的练习，更像是通往更深层次理解的桥梁，能够帮助读者在实践中检验和巩固所学的理论知识。阅读过程中，我感觉自己像是被一位经验丰富的向导带着，穿越了复分析这片广袤而迷人的数学领域，每走一步都充满了发现的喜悦。这种教学方式，着实能激发学习者的求知欲，让人忍不住想要去探索更多。

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坦白说，这本书的难度是毋庸置疑的，它绝非那种可以轻松翻阅的读物。它要求读者对基础的复变函数理论有扎实的把握，否则很容易在细节处迷失方向。然而，正是这种挑战性，使得这本书成为了真正有价值的资源。它没有回避那些复杂的证明，反而将它们完整地呈现出来，让读者得以一窥数学家是如何进行严密论证的。我花了比预期多得多的时间来消化其中的内容，尤其是一些关于调和函数和微分形式的章节，需要反复咀嚼才能真正领悟其精髓。但这种“啃硬骨头”的过程，带来的知识积累是任何浅尝辄止的阅读都无法比拟的，它真正地打磨了读者的专业素养。

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不得不提的是，这本书的排版和逻辑结构真是令人赞叹。它不像某些教科书那样堆砌公式，而是将理论的构建过程描述得如同精密的建筑蓝图，每一步的推导都环环相扣，严谨而富有美感。对于那些习惯于从几何直观理解数学概念的读者来说，书中对抽象代数结构的引入可能会是一个挑战，但作者在这方面做得非常出色，通过恰当的比喻和图形化的解释，极大地缓解了这种认知上的不适感。它迫使读者跳出固有的思维定式，去拥抱纯粹的逻辑推演，这对于提升一个人的数学思维的抽象层次，是极为有益的。读完前几章，我感觉自己的逻辑分析能力得到了显著的提升，这收获远超我对一本专业参考书的预期。

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从阅读体验的角度来看，这本书的文字风格非常正式且具有学术的厚重感，这无疑是专业书籍的特点。但有趣的是，在一些关键的定理阐述之后，作者会插入一些简短的、仿佛是“智者低语”一般的评论，这些评论往往一语中的地指出了该定理的深层含义或其历史背景。这些点睛之笔，极大地丰富了本书的内涵，避免了纯粹的公式堆砌带来的枯燥感。它既是严谨的参考手册，又带有一丝哲学思辨的味道，使得每一次翻阅都像是与一位深谙此道的智者进行了一次深层次的对话。总的来说，这是一部需要投入大量精力，但回报也同样丰厚的经典之作。

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这本书在某些章节的广度上给我留下了极为深刻的印象。它似乎不满足于仅仅停留在复分析的基础框架内，而是将触角延伸到了更广阔的数学世界，比如与偏微分方程和代数几何的交汇点。这种跨学科的视野，极大地拓宽了我对复分析在现代数学体系中地位的认识。那些对理论应用感兴趣的读者，可能会发现书中提供了许多深刻的启发，这些启发不仅仅是公式层面的，更多是关于如何看待和构建数学模型的问题。作者巧妙地将这些看似孤立的领域串联起来，展现了一种宏大的数学图景，让人在阅读时充满了敬畏之心。

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