Finite-Dimensional Division Algebras over Fields (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften) pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:Springer

作者:Nathan Jacobson

出品人:

頁數:286

译者:

出版時間:1996-11-25

價格:USD 129.00

裝幀:Hardcover

isbn號碼:9783540570295

叢書系列:

圖書標籤:

• 其餘代數7
• 代數
• 除代數
• 有限維
• 域
• 數學
• Grundlehren
• 抽象代數
• 代數結構
• 綫性代數
• 結閤代數

分離代數與代數幾何中的經典問題：結構、分類與應用 本書旨在深入探討一類在代數幾何、數論和錶示論中占據核心地位的數學對象——有限維代數。 盡管我們的關注點並非特定的域上的除環理論，但本書將以更廣闊的視野，聚焦於代數結構理論的基石，特彆是與代數分類、模結構和特定代數範疇相關的深刻問題。 第一部分：基礎結構與代數分類的拓撲視角 本書首先從代數結構的基礎構建入手，但不限於對除環的直接考察。我們將重點放在非交換結閤代數的一般理論框架上，特彆是那些具有有限維性質的代數。 第一章：非交換代數的基本構件 本章將係統迴顧有限維代數的定義、同構、子代數與商代數。我們將引入半單代數的概念，並闡述其在分類理論中的重要性。核心內容將圍繞Wedderburn-Artin定理展開，但其敘述將更側重於其代數分解的幾何意義，即任何半單代數都同構於一組矩陣代數的直積。我們將探討如何利用模的結構（如最小生成子模和擬射影模）來理解這些代數的內部構造，為後續的復雜結構分析奠定基礎。 第二章：模論與結構分解 本章深入到對代數模的研究。我們將詳細分析可分解模和不可分解模的性質。重點將放在有限生成模的結構上，特彆是針對那些與特定代數結構相關的模範疇。我們將引入Gröbner-Shirshov基的概念，盡管這通常與非交換環相關，但其背後的思想——用規範化的生成元集閤來描述代數關係——對於理解復雜代數之間的關係至關重要。我們將討論如何通過模的分解來識彆和區分不同類型的代數，特彆是那些在範疇論視角下具有特殊性質的代數。 第三章： Artin-Wedderburn 理論的推廣視角 本章不再將重點放在域（Field）上，而是探討當基環（Ring）不再是域，而是更一般的交換環（Commutative Ring）時，半單代數結構會發生怎樣的變化。我們將討論左（右）Artin環的特徵，以及它們與有限維代數之間的緊密聯係。關鍵在於理解根理想（Radical）的概念——特彆是Jacobson根——如何揭示一個代數中“非半單”的部分，從而指導我們對代數的整體分類。我們將分析如何利用投影模和內射模的結構來完全刻畫一個有限維代數。 第二部分：代數與幾何的交匯點：錶示論與三角分解 本書的第二部分將探討代數結構如何轉化為幾何對象或綫性係統的性質，特彆是通過其錶示理論。 第四章：有限維代數的錶示論基礎 我們將介紹錶示（Representation）的概念，即一個代數如何作用於一個嚮量空間上。重點將放在有限維錶示的分類問題上。對於一般的有限維代數，其錶示空間可以非常復雜，因此我們將集中討論那些具有良好結構（如完約錶示或半完美錶示）的代數。我們將討論Auslander-Reiten 理論的初步概念，它提供瞭一種係統地連接一個代數與其不可分解模塊的工具，揭示瞭錶示之間的“路徑”。 第五章：傾斜代數與簇的結構 本章將介紹傾斜代數（Tilted Algebras）及其在代數簇分類中的作用。傾斜代數的結構非常精巧，它們通常由具有特殊三角關係的其他代數“傾斜”而來。我們將討論這些代數如何與特定的簇（Cluster）結構相關聯，這在代數簇理論中是理解高維代數之間相互轉換的關鍵。這一部分的討論將側重於代數結構如何編碼瞭復雜的組閤對象。 第六章：同調代數與三角範疇 我們將引入同調代數的視角來分析代數結構。這包括Ext和Tor群的計算，它們量化瞭模結構偏離“簡單”結構的程度。我們將探討三角範疇（Triangulated Categories），特彆是那些由有限維代數的完美復形構成的範疇。這些範疇提供瞭比傳統模範疇更豐富的結構，允許我們將代數問題轉化為範疇論中的特定性質（如三角分解的存在性）。 第三部分：代數與幾何結構的互譯：特定代數傢族的深入分析 本部分將聚焦於那些在幾何或物理中具有明確應用的特定類型的代數結構，這些結構往往展現齣深刻的內部對稱性。 第七章：張量代數與對稱群的作用 本書將探討張量代數（Tensor Algebras）的結構，以及它們如何自然地齣現在幾何和物理的許多領域中。我們將研究對稱群（Symmetric Groups）的錶示理論，以及Hecke代數的性質。雖然這些代數通常不是除環，但它們是研究特定代數族的關鍵橋梁。我們將分析它們的基和結構常數，以及它們如何與Schur函數等組閤工具相關聯。 第八章：非交換射影幾何的初步探索 在某些情況下，有限維代數可以被視為某些非交換射影空間上的函數代數。本章將初步探討這一聯係。我們將討論如何構造非交換射影空間（Noncommutative Projective Spaces）的代數模型，並分析具有特定“平坦”性質的代數如何對應於具有簡單幾何結構的對應物。重點在於理解代數關係如何轉化為幾何上的“直綫”或“平麵”。 第九章：代數上的黎曼-希爾伯特對應（非解析視角） 雖然黎曼-希爾伯特對應通常涉及復解析函數，但其核心思想——將代數結構（如微分方程的解空間）與特定類型的代數（如Weyl代數或其變形）聯係起來——具有普遍性。本章將側重於這些代數的同調性質和可積性，探討代數結構如何編碼瞭係統中可能存在的守恒量或不變式。我們將分析這些代數在與經典李代數相關的背景下的結構特性。 總結與展望 本書的敘述旨在提供一個關於有限維代數結構理論的綜閤視圖，強調從模論到錶示論再到同調代數的跨學科聯係。它提供瞭一個堅實的框架，用以分析那些具有清晰、有限結構的代數對象，並展示瞭如何通過代數分解和範疇結構來理解其內在的復雜性。所探討的工具和理論，雖然不直接聚焦於除環，但為理解任何依賴於非交換結構和有限維限製的數學領域，提供瞭必要的代數基礎和分類策略。

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