Introduction to Singular Perturbations (North-Holland Series in Applied Mathematics & Mechanics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press Inc

作者:R.E. O'Malley

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1974-06-28

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125259507

丛书系列:

图书标签:

• Singular Perturbations
• Perturbation Theory
• Differential Equations
• Applied Mathematics
• Mathematical Analysis
• Asymptotic Methods
• Dynamical Systems
• Control Theory
• Numerical Analysis
• Mechanics

《摄动论基础：理论与应用》 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探讨处理具有多个时间或空间尺度系统中的数学工具和物理洞察力。重点聚焦于在系统行为受主要（外解）和次要（内解）影响的领域中的分析方法。我们将系统地构建一个从基础概念到高级分析技术的框架，强调对物理现象的直观理解与数学严谨性的结合。 第一部分：渐近分析的基础与基本概念 本部分将奠定整个论述的数学基础，引入分析复杂系统的核心工具——渐近展开。我们首先从最简单的常微分方程（ODE）模型开始，介绍如何识别和处理系统中的小参数 $epsilon$。 Chapter 1: 渐近展开的原理与定义 详细阐述渐近展开的严格定义，包括大$x$和零点附近（小$x$）的展开。区分不同类型的收敛性，如逐点收敛、一致收敛和更一般的渐近收敛。 介绍泰勒级数和洛朗级数在近似分析中的局限性，引出更灵活的渐近级数（如泡利级数、艾尔米特级数）的概念。 探讨函数的比较：$f(x) sim g(x)$ 意味着什么？如何利用大O和微小o符号来精确描述误差项。 Chapter 2: 均匀渐近展开与匹配原理的初步介绍 引入均匀渐近展开（Uniform Asymptotic Expansion）的概念，强调其在系统行为跨越不同区域时保持有效性的重要性。 首次触及匹配原理（Method of Matched Asymptotic Expansions, MAE）的核心思想：如何通过定义“过渡区”并将不同区域的展开式进行连接来获得整个解的有效近似。 演示如何处理线性边界层问题，例如一个简单的对流-扩散方程，其中对流项在边界附近变得显著。 第二部分：线性奇异摄动问题 本部分将集中于线性方程的分析，系统地展示如何应用匹配原理来精确求解那些在几何或参数上存在显著尺度的差异的问题。 Chapter 3: 常微分方程中的边界层理论 刚性/松弛问题： 详细分析形如 $epsilon y'' + a(x) y' + b(x) y = f(x)$ 的二阶线性ODE。探讨如何识别奇点（如边界或内部层的位置）。 拉普拉斯方法与WKB近似的起源： 介绍WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）方法作为求解线性二阶ODE $epsilon^2 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ 的有效手段。探讨局域解的构造，以及在拐点（Turning Points）附近需要进行的特殊处理（如靛蓝函数）。 多重尺度分析的初步应用： 针对包含快速振荡项或具有不同时间尺度的线性系统，介绍平均化方法。 Chapter 4: 边界值问题与特征值问题 深入研究具有内边界层（Interior Layers）的线性问题，例如当系数的符号改变时导致的内部层形成。 探讨特征值问题的摄动分析。如何利用摄动方法来近似计算受小参数影响的本征值和本征函数。这包括非自伴随问题的一般处理框架。 第三部分：非线性奇异摄动问题的挑战与高级方法 当系统是非线性的，奇异摄动问题变得更加复杂，因为边界层本身或内部层的位置可能依赖于解的性质，导致自由边界或非线性平衡的出现。 Chapter 5: 奇性摄动下的非线性 ODE 与限制流 消隐极限与菲林根（Filippov）解： 分析形如 $epsilon dot{x} = f(x, t, epsilon)$ 的慢/快动力学系统。引入限制流（Reduced Flow）的概念，即当 $epsilon o 0$ 时的稳态解。 刚性系统与环面展开： 探讨多维非线性系统中的刚性问题。对于具有多个时间尺度的振荡系统，介绍霍普夫（Hopf）分支和周期解的稳定性分析。 Chapter 6: 内部层、激发与模式形成 非线性内部层： 详细研究非线性方程中内部层（如激波或过渡区）的宽度和形状的确定。这通常需要求解一个自洽的常微分方程，例如曼德尔施塔姆（Mandelstam）方程。 激发（Relaxation Oscillations）： 分析在快速耗散和缓慢累积（“击发”）机制共同作用下产生的非线性振荡。重点介绍诺金（Krasnoselskii-Lifshitz）方法和几何奇点理论在分析这些系统中的应用。 第四部分：偏微分方程中的摄动 本部分将视角扩展到偏微分方程（PDEs），特别关注反应-扩散系统和波现象中的摄动分析。 Chapter 7: 反应-扩散系统中的层理论 单稳态和多稳态系统： 分析 $epsilon^2 Delta u = f(u, x)$ 形式的椭圆型方程。重点讨论激波层（Traveling Waves）的形状和速度的确定。 薛定谔方程的半经典近似： 重新审视WKB方法在量子力学中的应用，即在普朗克常数 $hbar$ 较小时，如何通过经典轨道来近似量子行为。 Chapter 8: 自由边界与演化问题 Stefan 问题与相变： 讨论在相变（如冰的融化）问题中，界面位置的演化如何通过摄动理论来建模。界面速度通常是依赖于界面两侧温度梯度的。 薄膜方程与润湿现象： 分析具有非常小厚度的自由表面流体（如润湿或蒸发）的非线性演化方程，展示边界层如何影响宏观流动。 总结与展望 本书的最终目标是使读者不仅掌握计算技巧，更能培养对摄动现象的物理直觉。通过大量的、精心选择的案例研究（涵盖流体力学、化学反应、电磁学和材料科学），本书强调了匹配原理的普适性和力量。最终，读者将能够识别问题的关键尺度，并选择最合适的渐近工具来解析复杂系统的行为。后续的章节可能引导读者探索更深层次的主题，如随机摄动、高阶非线性系统中的混沌行为，以及基于变分方法的摄动技术。

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